专题02等腰三角形专项训练(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形专项训练 题型01.等腰三角形性质应用 题型02.等边三角形性质应用 题型03.等腰三角形判定应用 题型04.等腰三角形性质与判定综合 题型05.等腰三角形识别与作图 题型06.等腰三角形点的存在性探究 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 题型08.等边三角形判定与性质综合 题型09.等腰三角形与折叠问题 题型10.等腰三角形动点问题 题型11.等腰三角形分类讨论问题 题型12.等腰三角形与最值问题 解答题5题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 【易错高能提醒】一踩就丢分 1.分类讨论必做给边长不给腰底 ➜ 分两种情况 ➜ 再用三边关系检验 2.三线合一只在等腰里有普通三角形别乱用！ 3.角度计算必用顶角 = 180° − 2× 底角 【终极记忆口诀・酷炫好背】 两边相等等腰现，底角相等永不变。 一线分身顶三线，对称图形最耀眼。 等角对等能判定，等边三角更全面。 题型01.等腰三角形性质应用 1．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高线长为________． 4．在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 5．已知为等腰三角形，，，若，则的值为______． 6．如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型02.等边三角形性质应用 8．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．如图，是等边三角形，若，则________ °． 10．如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 11．如图，分别以的三边为边，在BC的同侧作一个等边，，，且点B，A，E在同一直线上，连结DF，EF．若，与的面积之和为，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 题型03.等腰三角形判定应用 12．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 13．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 14．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 16．如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 17．如图，是的高，，则的长是________． 18．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 19．如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 题型04.等腰三角形性质与判定综合 20．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 21．如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 22．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____． 23．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 题型05.等腰三角形识别与作图 24．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（    ）个． A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 25．如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．    26．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 27．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 28．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 题型06.等腰三角形点的存在性探究 29．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．8 30．如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 _____个．    31．已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，在直线上有一点，连接、，三角形是等腰三角形，则点的坐标为______． 32．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 33．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 34．用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 35．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 36．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 37．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 38．“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 39．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 题型08.等边三角形判定与性质综合 40．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 41．在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 42．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 43．如图，等腰，，，则________． 44．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 45．如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型09.等腰三角形与折叠问题 46．如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 47．如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 48．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 49．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 50．如图，在中，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，连接，求的度数． 题型10.等腰三角形动点问题 51．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 52．如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 53．如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 54．如图，在等边中，D，E分别为边上的两个动点，且总使，与相交于点F，于点G，以下结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 55．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 题型11.等腰三角形分类讨论问题 56．如图，在中，，，，为的中点，动点在边上，连接，当为等腰三角形时，的长为__________． 57．如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 58．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 59．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 60．如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 题型12.等腰三角形与最值问题 61．如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 62．如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_______． 63．如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 64．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 65．如图，在等边中，点分别是边上一点，． (1)如图1，过点作于点，且，，求的长； (2)如图2，若点是上的一点，连接交于点，且，以为边向右侧作等边，连接，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上一点，连接，以为边向右侧作等边，连接，当取最小值时，直接写出的最小值． 解答题. 66．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 67．如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，，． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)的面积为________； (3)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t秒． ①当点P在上运动且使时，求出此时点P的坐标； ②当是以为腰的等腰三角形时，t的值为________． 68．如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 69．如图，长方形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的长． 70．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 71．如图，在中，，，，．请判断的形状，并说明理由． 72．在等边中，点在边上，点在边上，，与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长线段至点，连接，当时，证明：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形专项训练 题型01.等腰三角形性质应用 题型02.等边三角形性质应用 题型03.等腰三角形判定应用 题型04.等腰三角形性质与判定综合 题型05.等腰三角形识别与作图 题型06.等腰三角形点的存在性探究 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 题型08.等边三角形判定与性质综合 题型09.等腰三角形与折叠问题 题型10.等腰三角形动点问题 题型11.等腰三角形分类讨论问题 题型12.等腰三角形与最值问题 解答题5题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02.重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 【易错高能提醒】一踩就丢分 1.分类讨论必做给边长不给腰底 ➜ 分两种情况 ➜ 再用三边关系检验 2.三线合一只在等腰里有普通三角形别乱用！ 3.角度计算必用顶角 = 180° − 2× 底角 【终极记忆口诀・酷炫好背】 两边相等等腰现，底角相等永不变。 一线分身顶三线，对称图形最耀眼。 等角对等能判定，等边三角更全面。 题型01.等腰三角形性质应用 1．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 2．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 3．等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高线长为________． 【答案】12 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度． 【详解】解：如图，在中，，作底边的高， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：． 4．在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 【答案】 20度 【分析】分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为排除不符合的情况． 【详解】解：若为底角， 则两底角之和为，这与三角形内角和为矛盾，故只能是顶角， 两底角之和为， 又等腰三角形两底角相等， 底角为． 5．已知为等腰三角形，，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 6．如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积，关键是知识点的灵活应用；根据等腰三角形三线合一可得，进而利用勾股定理可得的长，利用等面积可求，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵中，是的中线， ∴， ∴， ∵于点，， ∴， ∴，即：， ∴在中，， 故选：A ． 7．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型02.等边三角形性质应用 8．一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 故选：C． 9．如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 10．如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 【答案】 48 【分析】求出，求差即可. 【详解】解：由题意，， ∴. 11．如图，分别以的三边为边，在BC的同侧作一个等边，，，且点B，A，E在同一直线上，连结DF，EF．若，与的面积之和为，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用，通过判定三角形全等将阴影部分的图形进行转换是解题的关键． 如图，设与的交点为M，与的交点为N，根据等边三角形的性质可判定，根据全等三角形的性质进而证明，得到．过点D作于点G，过点E作于点H，由等边三角形的性质结合勾股定理得到，，，，再根据得到，运用完全平方公式得出．证明得到，从而得到，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为M，与的交点为N， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∴． 过点D作于点G，过点E作于点H， ∵在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得在等边中，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴． 故选：A 题型03.等腰三角形判定应用 12．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 13．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【详解】解：在中，， 则：； 无法得到， 故选B． 14．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定：等角对等边． 根据等角对等边即可求解边长． 【详解】解：∵在中，， ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 16．如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线与平行线的性质推出，，然后等量代换求解即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：14． 17．如图，是的高，，则的长是________． 【答案】4 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据等角对等边，结合三线合一和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； 故答案为：4． 18．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 19．如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】先证明，推出，再根据，结合三角形外角的性质可得，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型04.等腰三角形性质与判定综合 20．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的性质即可作出判断. 【详解】解：∵在 中，， ∴是等腰三角形，为底边. ∵D是的中点， ∴是底边上的中线. 根据等腰三角形三线合一的性质，同时也是底边上的高和顶角的平分线. ∴A、B、C选项正确 对于D选项，是底边上的中线，不是腰上的中线（腰上的中线应连接腰的中点和对角顶点），故D不正确. 故选：D. 21．如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 22．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，可得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长；过点A作 于点P，根据，可得，即可求出． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ； 过点A作 于点P， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵D为边上中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去） 故选：B． 题型05.等腰三角形识别与作图 24．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（    ）个． A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 25．如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．    【答案】/度 【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，    在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 26．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 27．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 【答案】8 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据两边相等的三角形是等腰三角形进行画图即可． 【详解】解：如图所示： ， 这样的点C有8个， 故答案为：8． 28．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 题型06.等腰三角形点的存在性探究 29．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论 【详解】解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧 若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧 若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个 由上可知，满足条件的点N共有4个 故选：B 【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键 30．如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 _____个．    【答案】 【分析】根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，      ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 31．已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，在直线上有一点，连接、，三角形是等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】利用一次函数求得、的坐标，然后利用勾股定理列方程，即可求得的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点， ，， ， 设， 当AB=BC时，则， 解得∶ 或2， 或； 当AC=BC时， 解得∶， ∴点C； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到勾股定理和等腰三角形的定义，难度不大，分类讨论思想的运用是解题的关键． 32．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 33．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 题型07.反证法证明等腰三角形相关命题 34．用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法第一步应假设命题的结论不成立，命题要证明的结论为， ∴第一步应先假设． 35．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设结论不成立，即 【详解】∵命题：“在中，，则”， ∴假设为：， 故选：D 【点睛】本题考查了用反证法证明命题，掌握反证法的假设为结论不成立是解决问题的关键 36．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 【答案】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 37．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同的直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设． 38．“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 39．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 题型08.等边三角形判定与性质综合 40．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 41．在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形判定是等边三角形，从而得解． 【详解】∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 42．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 43．如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 44．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 45．如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，判断是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据即可求解． 【详解】解：等腰中，， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故选：C． 题型09.等腰三角形与折叠问题 46．如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【答案】 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，则，由折叠得，推导出，则，因为，，所以，由勾股定理得，求得，据此即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵将沿折叠，点落在点处，与交于点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． ∵， ∴． 故答案为： 47．如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 【答案】5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 48．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴． 49．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查图形折叠的性质、含有角的直角三角形的性质、等边对等角、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由等边对等角以及三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，再利用含有角的直角三角形的性质以及一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴，． 设，则，， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 50．如图，在中，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质求证是等边三角形，由勾股定理得，即可求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由折叠可得，，， 是等边三角形， ， 又，，， ， 是直角三角形，且， ． 题型10.等腰三角形动点问题 51．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 52．如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵，是等腰三角形， 分三种情况讨论： ①时，， ∴，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 53．如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为E，连接， ∵是等边三角形， 又∵点D为边中点， ∴，， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，取到最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 54．如图，在等边中，D，E分别为边上的两个动点，且总使，与相交于点F，于点G，以下结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识﹒根据等边三角形性质得到，根据“”即可证明；根据得到，求出，，即可证明；根据E为边上的动点，得到不一定等于，即可得到不一定等于，问题得解﹒ 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵E为边上的动点， ∴不一定等于， ∵， ∴不一定等于，故③错误﹒ 故选：C 55．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型11.等腰三角形分类讨论问题 56．如图，在中，，，，为的中点，动点在边上，连接，当为等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或或2 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，求出，，再进行分类讨论，即当时，或当时，或当时，且先逐个情况作图分析列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当时，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 即， 解得（负值已舍去）； 当时，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 即， 解得（负值已舍去）； ∴； 当时，如图所示： ∴， 综上所述：的长为或或2． 57．如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 【答案】 5 3或7.5 【分析】（1）设时间为x，表示出、、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】解：设出发时，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴，解得， ∴出发时，是等边三角形； 设出发时，是直角三角形， 此时分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 即，解得； ②当， ∵， ∴， ∴， 即，解得， 综上所述，出发或时，是直角三角形． 58．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 59．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)、9、 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质，求解即可； （3）作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， ， 解得，； （2）解：， 当时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， . 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、9、时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图： 可知 ∵ ∴ ∴ 的最小值为 60．如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再求出发后的长，再次利用勾股定理求解即可； （2）分情况讨论：当点P在上时，，及过点C作于点D，求出此时的值；当点P在上时，及的情况下，此时的值； （3）设点P运动的路程为，点Q运动的路程为，分两种情况讨论：当P、Q相遇前和P、Q相遇后，此时和的长，再根据直线把的周长分成相等的两部分列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】注意数形结合、分类讨论的思想方法的运用． 题型12.等腰三角形与最值问题 61．如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】连接，根据等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质得出，当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，再利用垂线段最短和等面积法求最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 当时，的值最小， 此时，， ∴， ∴的最小值为12． 62．如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_______． 【答案】16 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半等内容，作E关于直线的对称点，连接时最小，此时也是最小，再求解即可． 【详解】解：作E关于直线的对称点，连接则， 当、P、F三点共线时取等， 而时最小，此时也是最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 63．如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 64．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 【详解】解：过作，如图， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 65．如图，在等边中，点分别是边上一点，． (1)如图1，过点作于点，且，，求的长； (2)如图2，若点是上的一点，连接交于点，且，以为边向右侧作等边，连接，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上一点，连接，以为边向右侧作等边，连接，当取最小值时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)的最小值为． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求解； （2）延长至，使，证明，推出，再证明，推出，即可得到； （3）以为边作等边，证明和，得到是线段的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 延长至，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当取最小值， ∴， ∵等边，， ∴，，， ∵， ∴， 以为边作等边，连接，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上， 当时，取得最小值，如图， 此时，点和点重合，记与交于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 解答题. 66．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，进而求出三个内角的度数，即可判断的形状； （2）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴，， ∵ ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 67．如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，，． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)的面积为________； (3)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t秒． ①当点P在上运动且使时，求出此时点P的坐标； ②当是以为腰的等腰三角形时，t的值为________． 【答案】(1)， (2)30 (3)①；②或3或6 【分析】（1）根据，求出的长即可得点， 点的坐标； （2）根据三角形面积公式求解即可． （3）①根据题意得出，当点在线段上运动时，，即可得，求出，即可解答．②分为当点在上运动时，若，若，当点在线段上运动时，若，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ． （2）解：∵，， ∴， ∴的面积． （3）解：， ①如图，当点在线段上运动时，， ∵， ， ， 解得：， ∴． ②当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况： 当点在上运动时，， 若，过点作于， ， ， ， ， ∴， 解得：； 若，如图， 则， 解得：； 当点在线段上运动时，， 则， 若， 则， 解得：； 综上，或3或6． 68．如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用三角形内角和求出，结合等腰三角形性质得到；再根据平行线的性质得到，结合已知条件推导出，最后通过证明，利用全等三角形对应角相等求出的度数； （2）由全等三角形的对应边相等得到，再结合全等的对应角求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 且； ∵， ∴； 又∵，， ∴； 在和中，， ∴； ∴； （2）解：由得：，； ∵， ∴； 又∵， ∴是等边三角形． 69．如图，长方形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的长． 【答案】 【分析】根据长方形的性质得到，由折叠的性质和平行线的性质证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 70．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 71．如图，在中，，，，．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】先利用勾股定理求出，，进而得到，据此可得是等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 72．在等边中，点在边上，点在边上，，与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长线段至点，连接，当时，证明：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先由等边三角形性质得到相关边与角的相等关系，再由全等三角形的判定与性质得到，从而在由三角形内角和定理计算即可得证； （2）先由等边三角形性质得到①；再由字形的两个三角形得到②；从而确定，最后由等角对等边即可得证； （3）过点作，交于点，证得是等边三角形，设，则，结合及含的直角三角形性质，得到中的直角边，进而由勾股定理列出方程求解得出，过点作，在中，由含的直角三角形性质求出边上的高，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：在等边中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中可得，； （2）证明：设，则， 在等边中，，则， 即①， 在和中，，则， 即②， 综合①②可得， ； （3）解：过点作，交于点，如图所示： 由（2）知， 在等边中，，则， 由等腰三角形三线合一性质可知平分，， 则， ， ， 由（1）知，则， 是等边三角形， 则， 设，则， ， 在和中， ， 则， ， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 在中，，，由勾股定理可得，则， 解得， ，， 过点作，如图所示： 在中，，，，则， 的面积为． 【点睛】本题难度较大，在错综复杂的边角中准确找到相关边及角的相等关系是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $