精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学2025-2026学年九年级下学期中考一模数学

2026届中考松雷中学校模（一）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中有理数是（ ） A. B. C. D. （每两个2之间依次增加一个6） 【答案】A 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，据此即可得到答案． 【详解】解：选项A中，是分数，属于有理数； 选项B中，是无限不循环小数，属于无理数； 选项C中，，是无限不循环小数，因此是无理数； 选项D中，（每两个2之间依次增加一个6）是无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 掌握轴对称图形寻找对称轴、中心对称图形寻找对称中心的方法是解题的关键． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出左视图即可． 【详解】解：左视图如图： 故选A． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 4. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界在2025年12月17日开园至2026年2月21日闭园的65天运营期内，累计接待游客3060000人次，将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：科学记数法要求，等于原数的整数位数减1，将写成科学记数法时，可得，原数共7位整数， ， ∴． 5. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出和的值，再比较大小即可得到结论. 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将代入，得， 将代入，得， ， ． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，利用去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：由分式分母不为0，可得且，可先排除选项A和C， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 展开得， 移项合并同类项得 ， 解得 ， 检验：当时， ，满足分母不为0的条件 原分式方程的解为． 7. 观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数为28时，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】找出变化规律，列方程求解即可． 【详解】解：观察图形可知规律为“○”的个数等于， 由题意得， 解得． 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质，从而推出，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设中边上的高为， 则，， ， ， 平行四边形中， ， ,即， 解得， ， ， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形性质得到，再结合翻折的性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， 沿翻折得到， ． 10. 如图①，在正方形中，点从点出发，沿运动，至点停止．设点运动的路程为，的面积为，且与之间的关系式如图②所示．则下列说法中正确的是（　　） A. B. C. D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象分析，理解运动过程是解答本题的关键． 本题需先结合函数的图象进行分析，当点运动到点，之间时，的面积不变，当时，开始不变，说明，；由正方形得，；；面积为4时，分类讨论，当点在上运动时，求出，当点在上运动时，求出．​ 【详解】解：点从点出发，沿运动，至点停止， 而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程， 当时，开始不变，说明， ，故A正确； 四边形是正方形， ， ，故B错误； ，故C错误； 当点在上运动时， 即， 解得， 当点在上运动时， 即， 解得， 当时，或， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠﹣1 【解析】 【分析】根据分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故答案为：x≠﹣1． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：． 13. 定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义进行计算即可． 【详解】解：． 14. 一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形圆心角是________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】设该扇形的圆心角为，根据扇形弧长计算公式，代入已知弧长和半径即可求解圆心角。 【详解】解：设此扇形的圆心角为，由题意得：，，根据弧长公式， 代入得：， 等式两边同除以， 得：， 化简得：， 解得：． 15. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果． 【详解】解：记 解不等式①， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得. 解不等式②， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为． 16. 抛物线与y轴交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：当时，， 与y轴交点坐标为． 17. 在一个不透明的袋子中有红、绿各两个小球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回．再随机摸一个．则两次都摸到红球概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2， 所以两次都摸到红球概率== 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 18. 如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】由垂径定理得，设，则，，，根据勾股定理得，求出或（舍去），代入计算即可． 【详解】解：∵是的直径，于M，， ∴， ∵, 设，则，，， 根据勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴． 19. 在正方形中，，的两边分别交边，于点E、F，若，，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】延长至点G，使，先证，再证，通过等量代换得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：如图延长至点G，使， ∵在正方形中， ，， 在和中，  ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴ ， 设，，，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得或， 当即时， ∴  ， 当即时， ∴． 20. 如图是等腰三角形，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列四个结论：①；②；③；④点P为直线上一点，连接、，设，则m最小值等于的长．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用三角形内角和结合等腰三角形性质，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，可推出，得到，推出①正确；可证 ，得到 ，推出 ，②错误；通过计算的度数，可证，③正确； 根据垂直平分线的性质可知，通过，可知当共线时取得最小值，④正确． 【详解】解：在 中，  ，  ，  ， 由作图知，  平分  ，  垂直平分  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，①正确； 由①得，， ∴，， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设  ，  ， 则  ，  ，  ， ，，  ，  ，  ，  ，  ， ， 即  ，②错误； ∵ ， ，  ，③正确； 垂直平分，点P为直线上一点， ， 由三角形三边关系得，④正确． 三、解答题：（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上，用无刻度直尺作出下列图形（保留作图痕迹）． （1）在方格中作出的边上高； （2）在方格中作出以为斜边的等腰直角，并画出的三等分线（）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格的特性找到点G，作射线交于点P，即为边上的高； （2）利用勾股定理计算，则的两条直角边的平方为20，利用勾股定理找到点，连接、得到等腰直角；过点E作一条竖直的直线，在这条直线上从E开始，沿直线方向依次数出1个单位长度、3个单位长度，标记两个格点M、N，满足，连接，利用网格的特性找到点R，连接交于点Q，连接，即是的平行线，此时为的三等分线． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，、即为所求， 证明：、、， 、， 是等腰直角三角形； ， ， 点是的三等分点， 即是的三等分线． 23. 哈尔滨亚冬会的成功举办激起了全民冰雪体育的热情，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冰雪知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，78，78，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，77，86，88，74，90，74，75，80 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80.5 a 78 45.85 乙班 b 80 c 32.29 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，_______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 【答案】（1），，和 （2）乙班的竞赛成绩更整齐 （3）42人 【解析】 【分析】（1）按照中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）比较平均数和方差再判断即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲班10名同学测试成绩从小到大排列为：69，72，78，78，78，79，85， 86， 89，91，则中位数为； 乙班10名同学测试成绩的平均数为：； 乙班10名同学测试成绩中74和80出现次数最多为2次，则众数为：和； 【小问2详解】 解：乙班的竞赛成绩更整齐，因为乙班的方差小于甲班的方差，即； 【小问3详解】 解：甲班10名同学测试成绩中80分及以上的有4人，乙班10名同学测试成绩中80分及以上的有6人， 则（人）， ∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为42人． 24. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． （1）如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． （2）如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）1或或或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合旋转的性质推出，最后再次利用勾股定理求解，即可解题； （2）连接，根据三角形中位线性质推出，由旋转的过程可知，，进而推出，再结合为正整数分析求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，并结合图形添加适当的辅助线． 【小问1详解】 解：矩形中，，， ， 将绕点A旋转得到， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：连接， 点M，N分别为，中点， ， 由旋转的过程可知，，， ， 即， ， ， 为正整数， 的值可以为或或或． 25. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求这两款玩偶各购进的数量． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进这两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？请通过计算说明． 【答案】（1）20个，10个 （2）A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是460元； 设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30-a)个． 获得利润为：(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450．                                         由题意，得， 解得a≤10．                                       ∴当a=10时，获得利润最大，最大利润为10+450=460(元)． ∴B款玩偶为：30-10=20(个)．                                           答：A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是460元． 【解析】 【分析】（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个．根据“第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个”列方程组，解方程组即可； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30-a)个． 【小问1详解】 解：设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个． 根据题意，得， 解得， 答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个． 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出方程组和一元一次不等式是解题的关键． 26. 如图1，在中，是的直径，是的切线，交于点D，E为上一点，． （1）求证：； （2）如图2，F为半圆上一点，连接交于点G，交于点H，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过G作于点N，交于点M，连接，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，证明即可得到； （2）先证，得到，结合圆周角定理可得，再利用勾股定理即可证； （3）根据题意，先证明为的角平分线，为的角平分线，设，利用角平分线定理及勾股定理求出，进而得到，再证，得到即可求． 【小问1详解】 证明：设中点为，连接， ， 为的角平分线，且， ，即，， ， 是的切线， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ，又， ， ， 又， ， ， 又是的直径， ， , ； 【小问3详解】 解：连接、、、，过作， 是的直径， ， ， 又, ， ， 又， ，即为的角平分线， 由（2）知，为等腰直角三角形， ， ， 为的角平分线， ， ， 设， 又， 四边形为正方形， ， 则，， 在和中，， ， ， 同理可得， ， 在中，， ， 整理得：，解得或（舍去）， 是的直径， ， 又， ， ，又， ， ，即， 解得（负值已舍）， 故的长为． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，． （1）如图1，求a的值； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点K，设D的横坐标为t，的长为d，求d关于t的函数关系式； （3）如图2，在（2）的条件下，过A作直线的垂线与过D作x轴垂线交于点F，垂足分别为H、E，连接并延长交抛物线于点Q，交直线于点G，过G作交抛物线于点P，连接交直线于点N，M为延长线上一点，连接，，，求d的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解方程，确定点C，再代入表达式求解即可； （2）设D的横坐标为t，则，且，确定直线的表达式为 ，得到，求解即可； （3）利用待定系数法，三角函数的应用，三角形外角性质等解答即可． 【小问1详解】 解：令，得， ， ， 解得， 由抛物线交x轴于点A、B两点，交y轴于点C， ， ， ， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：， 抛物线解析式为， 由点D为第四象限抛物线上一点， 设D的横坐标为t，则，且， 设直线的表达式为， 将，分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 令，得， ， ， ． 故d关于t的函数关系式且． 【小问3详解】 解：设D的横坐标为t，则，且， 根据题意，得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故， ， 根据题意，得， 解得（与点C重合，舍去）或， 故， 设直线的表达式为， 将代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 令，得， 解得， 故点， ，， ， ， 作线段的垂直平分线，交于点R，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得，负的舍去， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届中考松雷中学校模（一）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中有理数是（ ） A. B. C. D. （每两个2之间依次增加一个6） 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界在2025年12月17日开园至2026年2月21日闭园的65天运营期内，累计接待游客3060000人次，将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数为28时，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在正方形中，点从点出发，沿运动，至点停止．设点运动的路程为，的面积为，且与之间的关系式如图②所示．则下列说法中正确的是（　　） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 12. 分解因式：________． 13. 定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 14. 一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形圆心角是________． 15. 不等式组的解集为________． 16. 抛物线与y轴交点坐标为________． 17. 在一个不透明的袋子中有红、绿各两个小球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回．再随机摸一个．则两次都摸到红球概率为____． 18. 如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 19. 在正方形中，，的两边分别交边，于点E、F，若，，则的长为________． 20. 如图是等腰三角形，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列四个结论：①；②；③；④点P为直线上一点，连接、，设，则m最小值等于的长．其中正确结论的序号是________． 三、解答题：（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上，用无刻度直尺作出下列图形（保留作图痕迹）． （1）在方格中作出的边上高； （2）在方格中作出以为斜边的等腰直角，并画出的三等分线（）． 23. 哈尔滨亚冬会的成功举办激起了全民冰雪体育的热情，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冰雪知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，78，78，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，77，86，88，74，90，74，75，80 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80.5 a 78 45.85 乙班 b 80 c 32.29 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，_______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 24. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． （1）如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． （2）如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 25. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求这两款玩偶各购进的数量． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进这两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？请通过计算说明． 26. 如图1，在中，是的直径，是的切线，交于点D，E为上一点，． （1）求证：； （2）如图2，F为半圆上一点，连接交于点G，交于点H，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过G作于点N，交于点M，连接，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，． （1）如图1，求a的值； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点K，设D的横坐标为t，的长为d，求d关于t的函数关系式； （3）如图2，在（2）的条件下，过A作直线的垂线与过D作x轴垂线交于点F，垂足分别为H、E，连接并延长交抛物线于点Q，交直线于点G，过G作交抛物线于点P，连接交直线于点N，M为延长线上一点，连接，，，求d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $