四川省成都市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学模拟练习

2025-2026四川省成都市高一下学期4月期中考试模拟练习 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确； 对于C ：的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，且最小正周期为，C错误； 对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，最小正周期为，D错误. 2．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 4．已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由以及正弦定理得， 故设，则. 5．只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】要得到函数的图象，需要把函数的图象各点的横坐标缩短到原来的， 再向左平移个单位长度得到. 6．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 7．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】若，可得，两边平方可求得，可判断A；利用，计算可判断B；取的中点，连接，利用，计算可判断C；，计算可判断D. 【详解】对于A：若，则可得，两边平方可得， 所以，所以，显然， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B正确 对于C：取的中点，连接， 则可得， 在，易得，所以， 所以，故C正确 对于D：若，，故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：考查数量积的计算，通常数量积的计算可用定义法，坐标法，转化法求解，本题主要是转化法的应用. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A．的最大值为1 B．将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C．在单调递增 D．图象的对称中心为 【答案】AC 【分析】利用三角恒等变换得到，根据正弦函数的性质可判断ACD，根据图象的变换可判断B. 【详解】 ， 所以当，即时，取得最大值，最大值为，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 ，故B错误； 当时，，函数在上单调递增， 所以在单调递增，故C正确； 令，解得， 所以图象的对称中心为，故D错误. 10．设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（    ） A．若，，，则三角形有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】对于A，利用正弦定理，得到，结合即可判断；对于B，利用正弦定理结合恒等变形可得，即；对于C，由正切和角公式可得，结合三角形角的范围可得，，中不存在负数即可判断；对于D，在锐角三角形中，，进而得到，同理可得，再相加即可判断． 【详解】对A，由，则，故．又，故． 而，故A只可能有一解，因此三角形有唯一解，故A错误； 对B，由，结合正弦定理，可得． 所以，于是，故是等腰三角形，所以B正确； 对C，， 整理得， 又中至多一个角大于，故，，至多有一个负数， 因此，，中不存在负数，故是锐角三角形，所以C正确； 对D，若是锐角三角形，则， 所以，于是， 同理可得，故，故D正确． 11．中，是上一点，平分，，，的外接圆圆心为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A． B．的内切圆半径为 C．在上的投影向量为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，结合三角形面积公式证明，根据向量线性运算公式证明，即可判断，对于B，结合角平分线性质三角形面积公式证明，由余弦定理求，根据内切圆性质求内切圆半径即可判断，对于C，建系，利用向量方法求在上的投影向量即可判断，对于D，求的坐标，再求，结合二次函数性质求结论即可判断. 【详解】对于选项A，因为是上一点， 所以，又， 所以，故， 所以， A正确， 对于选项B，因为， 所以，又， 所以，又，， 所以，解得： ，， 所以， 设内切圆半径为，由 所以，所以，B正确， 对于选项C，由勾股定理得，故， 外心是中点，建立坐标系：， 得，， ， 在 上的投影向量为， C错误， 对于选项D，，，， 又， 所以， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则_____． 【答案】2 【详解】由题意得，，解得． 13．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 14．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为___________． 【答案】25 【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得的表达式及为奇数，再根据函数在上单调可知，求得，经验证不满足题意，满足条件，得解. 【详解】因为为的零点，所以，. 又为图象的对称轴，所以，. 所以，，，，则为奇数. 因为在上单调，所以，解得. 当时，，，又，所以. 此时，，则， 而，此时不单调，不满足条件. 当时，，，又，所以. 此时，，则， 而，此时不单调，不满足条件. 当时，，，又，所以. 此时，，则， 而，此时不单调，不满足条件. 当时，，，又，所以. 此时，，则， 而，此时不单调，不满足条件. 当时，，，又，所以. 此时，，则， 而，此时单调，满足条件. 故的最大值为25. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到的图象． (1)求函数的解析式以及对称中心； (2)当时，求的值域； 【答案】(1)，对称中心为， (2) 【分析】（1）先根据图象求函数的解析式，再结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）结合余弦函数的图象求函数的值域. 【详解】（1）由的图象得，，， ，即，此时， 又，则， 即，又，则， ， 把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得， 再向上平移一个单位，得， 令，解得， 则的对称中心为，. （2）当时，， 则，即， 则的值域为. 16．已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程求解； （3）两个向量的数量积小于零且两向量不共线，求出范围即可． 【详解】（1）因为且， 所以，解得． （2）因为，所以，又且， 所以，解得． （3）由两向量的夹角为钝角，则，且与不共线， 由，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为． 17．在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【详解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. （2）在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. （3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 18．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量加减法的法则分别表示出，及，再结合图形，求出，进而求出，即可求出； （2）由（1）可知，再结合图形得到，进而求出及高，即可求出梯形的面积； （3）由题目条件先求出，设，根据向量加减法的法则分别表示出，及，由即可求出值. 【详解】（1）若是线段的中点，由题意可知， ， ， 所以. 如下图所示：过作于，过作于， 因为是等腰梯形，，可知， 在直角中，因为，所以，， 所以， 所以， 所以. （2）若是线段的中点，由（1）可知，， 在直角中，因为，即， 所以， 因为，所以， 即， 解得，. 在直角中，由勾股定理可得， 所以梯形的面积. （3）由（1）可知，在直角中， 因为，，所以， 所以， 设， 所以， 又由（1）知， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 19．已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可； （2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围. 【详解】（1） 因为的最小正周期为，所以，即， 所以； （2）①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根是，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在， 所以，即，解得：， 当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上的取值范围是； ②设，为方程的两个不相等的实数根，则， 由①知，，， 所以，即， ，所以，即， 由得，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又，且，所以， 所以， 整理得，因为，所以， 解得或，又，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026四川省成都市高一下学期4月期中考试模拟练习 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 2．化简：等于（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 6．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A．的最大值为1 B．将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C．在单调递增 D．图象的对称中心为 10．设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（    ） A．若，，，则三角形有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若是锐角三角形，则 11．中，是上一点，平分，，，的外接圆圆心为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A． B．的内切圆半径为 C．在上的投影向量为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则_____． 13．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 14．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到的图象． (1)求函数的解析式以及对称中心； (2)当时，求的值域； 16．已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为钝角，求的取值范围． 17．在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 19．已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $