精品解析：安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷

淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的个数是（ ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 2. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 3. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.532 C. 0.482 5 D. 0.312 5 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5. 4. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数． 【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为， 故选：C． 5. 已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算预报值与实际值的差的平方和，然后比较即得. 【详解】当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和， 当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和， 当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和， 当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和， 故最小，即效果最好的是. 故选：A. 6. 如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】 如图所示，易知， 所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以, . 故选：A 7. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，，结合等差数列下标和的性质及等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为为等差数列，前项和有最大值， 若，则，即， 所以，，，即， 则，即， ，即， 所以当时，的最大值为11. 故选：A. 8. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的平均数为7 B. 数据的方差为11 C. 数据的平均数为3 D. 数据的方差为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平均数的性质判断A，C，利用方差的性质判断B，D即可. 【详解】对于A，因为样本数据的平均数为3， 所以由平均数性质得数据的平均数为，故A正确， 对于B，因为样本数据的方差为6， 所以数据的方差为，故B错误， 对于C，因为样本数据的平均数为3，样本数据的平均数为3， 所以数据的平均数为，故C正确， 对于D，由已知得数据的平均数为， 则新方差为，故D正确. 故选：ACD 10. 某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B. 按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C. 水费支出的中位数的估计值为45 D. 若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据抽样比即可求解B,根据中位数的计算即可求解C,根据二项分布的期望公式即可求解D. 【详解】因，所以样本中支出在的频率为A错误； ，B正确： 因，中位数的估计值为，C错误； 记抽出的5户中一季度水费支出位于区间的用户数为，根据题意可知，D正确. 故选:BD. 11. 如图，在直三棱柱中，，且为所在平面内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一条直线 B. 若，则点的轨迹是半径为1的圆 C. 若，则点的轨迹是椭圆 D. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，则利用线线垂直证明线面垂直，从而可得，即可判断轨迹是直线；对于B，则利用勾股定理求出，即可判断轨迹是圆，对于C，利用求动点轨迹方程，即可判断轨迹是圆， 对于D，借助线面垂直证明线线垂直，从而把点到线的距离转化为点到定点的距离，再结合抛物线的定义，即可判断轨迹是抛物线. 【详解】对于A，如图，连接，当点与点不重合时， 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面平面， 又因为平面平面，所以点的轨迹是过点的一条直线，故A正确； 对于B，因为，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，故B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，，设，因为， 所以，化简得， 所以点的轨迹是圆，故C错误； 对于D，因为平面平面，所以， 所以点到直线的距离即点到点的距离， 所以点到直线的距离与点到点的距离相等， 满足抛物线的定义，则点的轨迹是在平面内的一条抛物线，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，结合特殊元素优先法列式计算即得. 【详解】5本书都可以分给甲、乙、丙三个人的任意一个，所以每本书有3种选择，5本书的总方法数为：. 先从5本书中选1本给甲，有5种，剩下的4本书，每本都可以分给乙或丙，每本有2种选择，方法数为， 则甲分得1本书的方法数为. 故甲分得1本书的概率为． 故答案为：. 13. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果. 【详解】，， 又， ， . 故答案为：. 14. 如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】观察发现第行每一个数提取系数，进而利用杨辉三角的性质即可得解. 【详解】观察、归纳梯形数阵规律， 第一行每一个数提取系数，第二行每一个数提取系数，， 第行每一个数提取系数. 提取系数之后，各数的分子均为，分母恰好成二项式系数所构成的杨辉三角分布， 所以可求得第行第个数的值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共７７分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，只需证明，即可，而由平行线、矩形的性质即可得证； （2）取中点连接，以点为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为，所以， 又因为平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 取中点连接，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图所示，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 从而， 设平面的法向量分别为， 从而，， 令，解得， 故可取， 设平面与平面夹角为，则， 故所求为. 16. 某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 3 3 15 19 35 25 （1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 【答案】（1） （2） （3）乙可评为年度该校优秀教师 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得70分以上的频率，进而求得70分以下的频率，进而可求得低于70分的人数. （2）运用列举法求基本事件的个数进而可求得概率. （3）运用平均数公式计算即可求得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，70分以上的频率为， 所以70分以下的频率为， 所以对甲教师的评分低于70分的人数：. 即：对甲教师的评分低于70分的人数为32人. 【小问2详解】 由频数分布表有3人，有3人， 记的3人为A、B、C，的3人为、、， 随机选出2人的基本事件为：，，，，，，， ，，， ，，， ，，共种， 评分均在范围内的基本事件为：， ，，共3种， 所以2人评分均在范围内的概率. 【小问3详解】 由频率分布直方图可得的频率为： ， 所以甲教师的平均数为： ， 乙教师的平均数为：， 由于乙教师的平均数大于80分， 故乙可评为年度该校优秀教师. 17. 已知各项均为正数的等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 解：各项均为正数的等差数列满足，， 整理得， 由于， 所以， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以． 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以． 18. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）（2）见解析， 【解析】 【分析】 （1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值. 【详解】（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P. 则， ， . 所以. 答：发生调剂现象的概率为. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2. 则， ， . 所以X的分布表为： X 0 1 2 P 所以. 【点睛】本题是一道考查概率和期望的常考题型. 19. 已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数． （1）求动点M的轨迹方程； （2）令（1）中方程表示曲线C，点S（2，0），过点B（1，0）的直线l与曲线C相交于P，Q两点，求△PQS的面积的取值范围． 【答案】(1)，(2) 0＜S． 【解析】 【分析】（1）设M（x，y），直接根据距离比计算得到答案. （2）设直线l：x＝ky+1，联立方程，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，令t，则|AB|＝4，计算得到答案. 【详解】（1）设M（x，y），由题意得，得， （2）设直线l：x＝ky+1，由，消去x得（4+k2）y2+2ky﹣3＝0， y1+y2，y1y2， |PQ ||y1﹣y2|4， 令t∈（0，]， 上式化简为：|PQ |＝4|＝4， 函数在定义域内单调递减，故当t，有最大值， 所以0＜S． 【点睛】本题考查了轨迹方程，面积的取值范围，意在考查学生的计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学2025-2026学年高二下学期第一次调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的个数是（ ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.532 C. 0.482 5 D. 0.312 5 4. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 5. 已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的平均数为7 B. 数据的方差为11 C. 数据的平均数为3 D. 数据的方差为5 10. 某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B. 按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C. 水费支出的中位数的估计值为45 D. 若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 11. 如图，在直三棱柱中，，且为所在平面内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一条直线 B. 若，则点的轨迹是半径为1的圆 C. 若，则点的轨迹是椭圆 D. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 13. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 14. 如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共７７分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 3 3 15 19 35 25 （1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 17. 已知各项均为正数的等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望. 19. 已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数． （1）求动点M的轨迹方程； （2）令（1）中方程表示曲线C，点S（2，0），过点B（1，0）的直线l与曲线C相交于P，Q两点，求△PQS的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $