21.3.2 菱形 同步练习 2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

菱形 一、单选题 1．如图，菱形中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得出，，再利用等腰三角形性质通过计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 2．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 5．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 6．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 7．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 8．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形判定定理分析各选项． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，， 同理可得，，，，，，， ∴且，且， ∴四边形是平行四边形， 当时，如图，则， ∴是菱形， 当时，如图， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴是矩形， 当或时，均不能判定为菱形， ∴可使四边形是菱形的条件是． 二、填空题 9．菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则面积为_________ 【答案】 【分析】菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8， ∴该菱形的面积为． 10．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 12．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 13．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 三、解答题 15．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 16．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到是的中位线，由中位线的性质即可求解； （2）根据题意得到，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，根据菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，即． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积为：． 17．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 18．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 19．如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合矩形的性质以及点E是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，由（1）得四边形是菱形，运用对角线的乘积的一半算出菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∴菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菱形 一、单选题 1．如图，菱形中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 5．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 6．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 8．如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．菱形一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则面积为_________ 10．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 12．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 13．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 三、解答题 15．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 16．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)若，，求菱形的面积． 17．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 18．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 19．如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $