21.3.2 菱形(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级下册（人教版） △BDF是等腰直角三角形，BF=DF-3.DG=FC=5, .,BC=BF+FC=3+5=8.由(1)可知，DE是△ABC的中 位线，四边形DFCG是矩形，DE=BC-4,CG=DF 3,∠G=90°，.EG=DG-DE=5-4=1,∴.CE=VCC+EG =V3+1P=V10.E为AC的中点，AC=2CE= 2V10. 图1 21.3.2菱形（第一课时） 【知识点】邻边四条边垂直对角1.A (2)①当∠EFB=90°时，如图2，：∠EFB=90°， 2.D3.30° S菱形A@m=10×DF=80,DF=8,:AF=VAD2-DF= 【例1】55 V100-64=6,∴BF=4.AC垂直平分BD,.DE=BE. 【例2】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， BE2=EF2+BF,∴EF+42=(8-EF)2,得EF-3.在△AEF ∴.BA=BC,∠ABD=∠CBD.在△ABE和△CBE中， 中，AE=V6432=3V5. BA=BC, ∠ABD=∠CBD、..△ABE≌△CBE(SAS),.AE= BE=BE, CE. (2)解：设∠BAP=Q.,△ABE≌△CBE,. ∠BAP=∠BCE=Q..AE=PC,AE=CE,PC=CE, 图2 ∠0E=∠C号(180-∠B0E)=0-4 ∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC=45°，· ②当∠BEF=90°时，如图3，连接BD交AC于点 O,当E在AO上时，则△EDB是等腰直角三角形， ∠GPE=LABC+LBAP,.90°-1a=45°+a,a= BD=4V5,:.0E=2V5,.AE=2V5.当E在0C上 30°，.∴∠BAP=Q=30° 时，同理可求AE=6V5. 1.C2.C3.A4.C5.A6.4.8 7.证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD,∠B= ∠B=∠D, ∠D.在△ABE和△ADF中， ∠AEB=LAFD,.△ABE≌ AB=AD, △ADF(AAS),∴BE=DF B 8.(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD∥ 图3 BC,BC=AD,∴∠D=∠ECF,∠DAE=∠FE是CD 的中点，.DE=CE,.△ADE≌△FCE(AAS),AD= ③当∠FBE=90时，如图4，AE=BE+AB2,AE. CF,∴.BC=CF OB=BABE,.AE2=BE2+100,2V5 AE=10BE,.AE= (2)解：由(1)知BC=CF,BC=AB=2,BF= 5V5. 2BC=4.AE⊥AB,.∠BAF=90°，∴AF=VBF-AB2 2 =2V3,Sa=号ABAf-2V3. 0 9.B10.V3+1 11.解：(1)如图1，连接BD,交AC于点O.: B 四边形ABCD是菱形，：B0=D0,A0=号AC=4V5, 图4 第11题答图 AC⊥BD,.0D=VAD2-A02=V102-(4V5)2=2V5, :BD-4V5x8V5x4V5-80. 综上所述，AE的长为3V5或2V5或5V5或 6V5. 70 参考答案 12.513.V13 平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,.∠BCA=∠BAC, 21.3.2菱形（第二课时） △BAC是等腰三角形，.AB=CB.:∠CBD=∠ABD= 【知识点】相等互相垂直四条边相等 ∠BDA,.△ABD也是等腰三角形，AB=AD,DA= 1.B2.A3.24 CB.BC∥DA,.四边形ABCD是平行四边形.ACL 【例1】B BD,.四边形ABCD是菱形 【例2】(1)证明：AB∥CD,.∠CAB= (2)解：DM⊥BC,.∠DMB=90°.：四边形 ∠DCA.MC为∠DAB的平分线，.∠CAB= ABCD是菱形，：B0=D0,BD=20M=8,B0=号BD= ∠DAC,∴.∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD.AB=AD, 4.AC=6,A0=}AC=3,AB=VA0+0B=5. AB=CD.AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 2 边形.AD=AB,∴口ABCD是菱形. 11.解：(1).在菱形ABCD中，∠A=90°，.AD∥ (2)解：四边形ABCD是菱形，对角线 BC,AB∥CD,∴.∠ADC=90°，·BC=CD,∠BCD=90°. AC,BD交于点0，AC1BD,01-0C=AC, BC=DC. 在△BCN和△DCM中， ∠CBN=∠CDM,.·.△BCN≌ BN=DM, 0B=-0D=号BD.0B=号BD=3.在R△A0B中， △DCM(SAS),∴∠BCN=∠DCM,CN=CM.·∠BCN+ ∠A0B=90°，∴.0A=VAB-0B=V5-3=4. ∠DCN=∠BCD=90°，.∠DCM+∠DCN=∠MCN=90°， .CE⊥AB,∠AEC=90°.在Rt△AEC中，∠AEC= ∴.△MCN是等腰直角三角形，∴.∠CMN=45°，MN= 90,0为AC中点，0E=24C=0A=4 V2CM,.∠BMC=45°， 票号，答案为4 2 1.A2.A3.D4.D5.2V3 2 6.(I)证明：点D是BC的中点，BD=CD. (2)MN=V3MC.理由如下：：四边形ABCD是 DF=ED,.四边形BFCE是平行四边形.·点D,E 菱形，∠A=120°，.BC=CD,∠BCD=∠A=120°.在 分别是边BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线， BC=DC. DE∥AB,∴.∠CDE=∠ABC=90°，即DE⊥BC,∴.四 △BCN和△DCM中，∠CBN=∠CDM,.△BCN≌ 边形BFCE是菱形. BN-DM. (2)解：BC=6,EF=3,BD=1BC=3,ED= 2 △DCM(SAS),∴.∠BCN=∠DCM,CN=CM.∠BCN+ 号EF=号DE是△ABC的中位线，AB-2DE=3, ∠DCN=∠BCD=120°，∴.∠DCM+∠DCN=∠MCWN=120. .CM=CN,∴.∠CMN=∠CNM,∴.∠CMN=∠CNM= :AD=VAB+BD=3V2」 180°-LMCN=30°.如图，作 2 7.(1)证明：在△ABC中，∠ABC=90°，点D为 CE⊥BP交BP于点E,则 AC的中点，AD=B0=CDAC~四边形BCDE是平 ME=NE,∠CEM=90°.在 行四边形，BE=CD,BE∥CD,∴BE=AD,BE∥AD, Rt△CEM中，∠CME=30°， .四边形AEBD是平行四边形.AD=BD,.四边形 ∠CEM-90°，.CE=1CM, 第11题答图 2 AEBD是菱形. (2)解：BC=4V3,四边形BCDE是平行四边 EM-VCP-CE-VCR-(CM -CM.MN- 形，DE=BC=4V3.四边形AEBD是菱形，AB1 2EM=2xV3_CM=V3 CM. DB,0E=3DE-2V3,∠EA0=号∠DAE=-60,: 2 12.C ∠AE0=30°，.AE=2A0.AE=A0P+0E,(2A0)2= 13.(1)证明：点B、点D关于AC所在直线对 40+2V5只A0=2,1B=4,Se=7AB 称，BD⊥AC,B0=DO,AB∥CD,.∠ABO= ∠ABO=∠CDO. DE=号×44V3=8V3. ∠CD0,在△AB0和△CDO中， BO=DO. 8.D9.C ∠AOB=∠COD, 10.(1)证明：AE∥BF,.∠BCA=∠CAD.AC △ABO≌△CDO(ASA),AB=CD.又AB∥CD,四边形 第二十一章 21.3.2菱形（第一课时) 知识梳理①形成联系 【知识点】菱形的定义与性质 ◎菱形的定义：有一组 相等的平行四边形叫作菱形 ©菱形的性质：1.菱形的 都相等 2.菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线平分一组 1.如图21.3-11，在菱形ABCD中，P,Q分别是AD,AC的中点， 如果PQ=2,那么菱形ABCD的周长是() A.16 B.8 C.4 D.2 2.菱形不具有的性质是() 图21.3-11 A.对角相等 B.对边平行 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 3.如图21.3-12，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠BAD= 图21.3-12 例题点拨Q素养导向 【例1】如图21.3-13，菱形ABCD中，∠B=70°，AB的垂直平分线交 对角线AC于点E,连接DE,则∠ADE的度数是 【点拨】根据菱形的性质可得∠DAB=180°-70°=110°，∠DAC=∠BAC= 55°，再证明∠EAB=∠EBA=55°，最后结合菱形的轴对称的性质可得答案， 图21.3-13 【例2】如图21.3-14，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连接AP交对角线BD于 点E,连接EC (1)求证：AE=CE. (2)若∠ABC=45°，AE=PC,求∠BAP的度数. 【点拨】(I)根据菱形性质得BA=BC,∠ABD=∠CBD,进而可依据“SAS”判定 △ABE和△CBE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论.(2)设∠BAP=,由 △ABE≌△CBE,得∠BAP=∠BCE=Q,根据AE=PC,AE=CE,得PC=CE,则∠CPE=∠CEP= 之（180P-∠BCF)-90-,再根据三角形外角定理∠CPE=∠ABC+∠MR,得90° 2=450 +a,解出即可得出∠BAP的度数， 图21.3-14 数学 八年级下册（人教版） 夯实四基飞达标闯关 1.如图，菱形PQRS中，PR=8,SQ=6,则菱形PQRS的边长为() A.4 B.3 C.5 D.6 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，则菱形ABCD的面积为() A.6 B.4V3 C.8V3 D.12 3.在菱形ABCD中，∠ABC=8O°，BA=BE,则∠BAE=(） A.70° B.40° C.75° D.30 4.如图，在菱形ABCD中，CE垂直平分AB,若AE=4,则BD的长为() A.8 B.8V2 C.8V3 D.6V3 5.如图，在菱形ABCD中，∠A=1O0°，点E,F分别是边AB,BC的中点，EP⊥CD于 点P,则∠FPC的度数是() A.50° B.45° C.40° D.30° D 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，四边形ABCD为菱形，BD=6cm,AC=8cm,过点O作EF⊥AB分别交AB, CD于点E,F,则EF的长为 cm. 7.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD.求证： BE=DF. 第7题图 68 四边形 第二十一章 8.如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F (1)求证：BC=CF. (2)若AB=2,AE⊥AB,求△ABF的面积. 第8题图 能力提升睡综合拓展 一e多参参色 9.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=45°，分别以点A和点D为圆心，大于2AD的 长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，直线MN交AB于点E,连接CE,则CE的长为 () A.4 B.V6 C.2V2 D.V10 -M W .1 E 0 B 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A,B分别在x轴、 y轴的正半轴上移动，若∠ABC=60°，则OC的最大值是 69 口数学 八年级下册（人教版） 11.如图，点E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F,AD=I0, AC-8V5. (1)求此菱形的面积. (2)当△BEF是直角三角形时，求AE的长. B 备用图 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边 CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 第12题图 第13题图 13.(2025·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD= 12,点E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点， 连接FG,则FG的长为 70