2.4平面向量基本定理及坐标表示课时练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

平面向量基本定理及坐标表示题型分类与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为 ． (2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝ ． 2.(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝，＝，＝，且＝3，＝－2. ①求3＋－3；②求满足＝m＋n的实数m，n；③求M，N的坐标及向量的坐标． (2)(多选题)设向量，满足||＝2，＝(2,1)，且与是共线向量，则的坐标为( ) A．(6,3) B．(4,2) C．(－6,－3) D．(－4,－2) 3.(1)如图，在△ABC中，＝，＝2，BF交CE于G，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　　) A．　　 B．　　 C． D． (2)(多选题)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则实数x的取值可以是( ) A．－ 　　 B．－ C．－ D．－ 实践·素养能力提升 考法1直接利用平面向量基本定理 1.已知两个非零向量互相垂直，若向量＝4＋5与＝2＋λ共线，则实数λ的值为(　　) A．5　 B．3　 C．　 D．2 2.如图，在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 考法2向量的坐标表示在实际中应用 3.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4,－3)，则向量＝(　　) A．(－7,－4)　　 B．(7,4) C．(－1,4)　　 D．(1,4) 4.已知点M(3,－2)，N(－5,－1)，且＝，则P点的坐标为(　 　) A．(－8,1)　 B．(－1,－) C．(1,) D．(8,－1) 5.已知点A(－2,4)，B(3,－1)，C(－3,－4)；设＝，＝，＝，且＝3，＝－2．(1)求3＋－3；(2)求满足＝m＋n的实数m和n的值；(3)求点M和N的坐标及向量的坐标． 考法3处理向量中的垂直关系 6.已知向量＝(3,4)，＝(x,1)，若(－)⊥，则实数x等于 ． 7.设向量＝(cos θ,2)，＝(－1,sin θ)，若⊥，则sin 2θ＝ ． 8.已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　) A．　　 B．　 　C．6　 　D． 考法4处理向量中的平行关系 9.设向量，不平行，向量λ＋与＋2平行，则实数λ＝ ． 10.已知向量＝(1,2)，＝(2,－2)，＝(3,λ)．若∥(2＋)，则实数λ＝ ． 11.(多选题)已知向量＝(1,1)，＝(－1,2)，若(－)∥(2＋4cosθ)，且角θ∈(－180°,270°),则θ＝(　 　) A．－120°　 B．－150° C．120°　 D．240° 考法5求向量模、夹角及数量积中应用 12.已知向量＝(2,3)，＝(3,2)，则|－|＝(　 　) A．　　 B．2　　 C．5　　 D．50 13.已知＝(2,3)，＝(3,t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3　　 B．－2　　 C．2　　 D．3 14.已知非零向量,满足||＝2||，且(－)⊥，则与的夹角为(　　) A．　　 B．　 　C．　　 D． 考法6平面向量基本定理在题图中应用 15.如图，是一个有5个全等的小正方形拼接而成的图形，且有＝x＋y，则x＋y的值是 ． 16.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝ ． 考法7向量在分割三角形的面积之比中应用 17.若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　) A．　 B．　 C．　 D．2 18.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．　　 B．　 　C．　 　D． 拓展·素养能力深化 1.已知向量,且,.则与的夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知向量＝(1,－3)，＝(2,－1)，＝(k＋1,k－2)，若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，求实数k的取值范围． 3.(多选题)已知点和,若点在直线上,且,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 4.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量基本定理及坐标表示题型分类与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为 ． (2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝ ． 2.(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝，＝，＝，且＝3，＝－2. ①求3＋－3；②求满足＝m＋n的实数m，n；③求M，N的坐标及向量的坐标． (2)(多选题)设向量，满足||＝2，＝(2,1)，且与是共线向量，则的坐标为( ) A．(6,3) B．(4,2) C．(－6,－3) D．(－4,－2) 3.(1)如图，在△ABC中，＝，＝2，BF交CE于G，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　　) A．　　 B．　　 C． D． (2)(多选题)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则实数x的取值可以是( ) A．－ 　　 B．－ C．－ D．－ 实践·素养能力提升 考法1直接利用平面向量基本定理 1.已知两个非零向量互相垂直，若向量＝4＋5与＝2＋λ共线，则实数λ的值为(　　) A．5　 B．3　 C．　 D．2 2.如图，在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 考法2向量的坐标表示在实际中应用 3.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4,－3)，则向量＝(　　) A．(－7,－4)　　 B．(7,4) C．(－1,4)　　 D．(1,4) 4.已知点M(3,－2)，N(－5,－1)，且＝，则P点的坐标为(　 　) A．(－8,1)　 B．(－1,－) C．(1,) D．(8,－1) 5.已知点A(－2,4)，B(3,－1)，C(－3,－4)；设＝，＝，＝，且＝3，＝－2．(1)求3＋－3；(2)求满足＝m＋n的实数m和n的值；(3)求点M和N的坐标及向量的坐标． 考法3处理向量中的垂直关系 6.已知向量＝(3,4)，＝(x,1)，若(－)⊥，则实数x等于 ． 7.设向量＝(cos θ,2)，＝(－1,sin θ)，若⊥，则sin 2θ＝ ． 8.已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　) A．　　 B．　 　C．6　 　D． 考法4处理向量中的平行关系 9.设向量，不平行，向量λ＋与＋2平行，则实数λ＝ ． 10.已知向量＝(1,2)，＝(2,－2)，＝(3,λ)．若∥(2＋)，则实数λ＝ ． 11.(多选题)已知向量＝(1,1)，＝(－1,2)，若(－)∥(2＋4cosθ)，且角θ∈(－180°,270°),则θ＝(　 　) A．－120°　 B．－150° C．120°　 D．240° 考法5求向量模、夹角及数量积中应用 12.已知向量＝(2,3)，＝(3,2)，则|－|＝(　 　) A．　　 B．2　　 C．5　　 D．50 13.已知＝(2,3)，＝(3,t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3　　 B．－2　　 C．2　　 D．3 14.已知非零向量,满足||＝2||，且(－)⊥，则与的夹角为(　　) A．　　 B．　 　C．　　 D． 考法6平面向量基本定理在题图中应用 15.如图，是一个有5个全等的小正方形拼接而成的图形，且有＝x＋y，则x＋y的值是 ． 16.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝ ． 考法7向量在分割三角形的面积之比中应用 17.若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　) A．　 B．　 C．　 D．2 18.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．　　 B．　 　C．　 　D． 拓展·素养能力深化 1.已知向量,且,.则与的夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知向量＝(1,－3)，＝(2,－1)，＝(k＋1,k－2)，若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，求实数k的取值范围． 3.(多选题)已知点和,若点在直线上,且,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 4.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 平面向量基本定理及坐标表示题型解析与素养能力提升课讲义 展示·基础素养能力 提炼重点，整合方法 1.(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为 ． (2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝ ． 解析 (1)法一：以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则＝＋.因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，||＝2，∠B1CO＝30°，所以||＝2tan30°＝2，||＝2||＝4，所以||＝||＝4，所以＝4＋2，比较系数得λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.故填6. 法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则依题意可得A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)．即C(3，)，B(－，)．由＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(－，)，即(3，)＝(λ－μ，μ)，可得λ－μ＝3，且μ＝，解得μ＝2，λ＝4，所以λ＋μ＝6.故填6. (2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则由题意知＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．由题目条件＝λ＋μ，可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，于是得 λ＋μ＝2,且2λ＝－2，解得λ＝－1,μ＝3,所以λμ＝－3.故填－3. 答案 (1) 6；(2)－3． 【总结提升】本题(1)中关键是利用平行四边形法则对作关于，为基底的分解；另外，当某向量用基底难于表示或数量关系不易确定时，可考虑用坐标法解决．这类问题在求解中要关注四点：①基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来极大方便． 2.(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝，＝，＝，且＝3，＝－2. ①求3＋－3；②求满足＝m＋n的实数m，n；③求M，N的坐标及向量的坐标． (2)(多选题)设向量，满足||＝2，＝(2,1)，且与是共线向量，则的坐标为( ) A．(6,3) B．(4,2) C．(－6,－3) D．(－4,－2) 解析 (1)由已知得＝＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5)，同理得＝＝(－6，－3)，＝＝(1,8)． ①则3＋－3＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②因为m＋n＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝＝(5，－5)；于是得－6m＋n＝5,且－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1． ③设O为坐标原点，因为＝－＝3，所以＝3＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)．又因为＝－＝－2，所以＝－2＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N(9,2)．所以＝(9,2)－(0,20)＝(9,－18)． (2)法一：依题意，设＝(x，y)，(x，y∈R)；由与共线,可得x－2y＝0，且又有||＝2，得x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2，或者x＝－4，y＝－2，则＝(4,2)或(－4,－2)；故选BD． 法二：由于＝(2,1)，且与是共线向量，可设＝λ(2,1)=(2λ,λ)(λ∈R)；又||＝＝2,化简得，解得或，知＝(4,2)或(－4,－2)；故选BD． 答案 (1)①3＋－3＝(6，－42)；②m＝－1,n＝－1；③M(0,20),N(9,2),＝(9，－18)． (2)＝(4,2)或(－4，－2)；故选BD． 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧主要有三点：(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用；(3)当与共线时,若已知，则设可简化运算． 3.(1)如图，在△ABC中，＝，＝2，BF交CE于G，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　　) A．　　 B．　　 C． D． (2)(多选题)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则实数x的取值可以是( ) A．－ 　　 B．－ C．－ D．－ 解析 (1)因为＝，则有＝x＋y＝＋y，又因B、G、F三点共线，则得＋y＝1 ①；又由＝2，则有＝x＋y＝x＋，又因E、G、C三点共线，则得x＋＝1 ②；由①②联立方程组,可解得x＝，y＝，所以x＋y＝.故选D． (2)依题意,知B,C,D,O四点共线，可设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)；因为＝，点O在线段CD上，且不与C，D重合，所以y∈(0,2)，又因为＝x＋(1－x)，所以由平面向量基本定理,比较系数得x＝－y∈(－2,0)，知实数x的取值范围是(－2,0)，而－,－,－∈(－2,0),故选ACD． 答案 (1)D；(2)ACD． 【总结提升】利用三点共线的充要条件求解的关键所在．设、不共线，且＝λ＋μ，则P、A、B三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.此结论的证明如下： 先证充分性：若λ＋μ＝1，由＝λ＋μ＝(1－μ)＋μ＝＋μ(－)＝＋μ,则－＝μ,即＝μ,所以,共线,且它们有公共点A，故A，P，B三点共线．再证必要性：若P，A，B三点共线，则＝μ＝μ(－)；所以－＝μ－μ,即＝(1－μ)＋μ.令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，其中μ＋λ＝1.综上知命题获证. 实践·素养能力提升 依据考点，罗列考法 考法1直接利用平面向量基本定理 1.已知两个非零向量互相垂直，若向量＝4＋5与＝2＋λ共线，则实数λ的值为(　　) A．5　 B．3　 C．　 D．2 1.C 因为向量＝4＋5与＝2＋λ共线，所以存在实数t，使得＝t，即4＋5＝t(2＋λ),又向量,互相垂直,故,不共线；由平面向量基本定理,比较系数得2t＝4且λt＝5,解得t＝2，λ＝ .故选C． 2.如图，在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 2.D　由图及＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又因＝λ＋μ，由平面向量基本定理,得λ＝，μ＝，则＋＝3＋＝．故选D． 考法2向量的坐标表示在实际中应用 3.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4,－3)，则向量＝(　　) A．(－7,－4)　　 B．(7,4) C．(－1,4)　　 D．(1,4) 3.A 依题意,设点C(x，y)，又因A(0,1)，则(－4,－3)＝＝(x，y)－(0,1)＝(x,y－1)，从而得x＝－4,且y－1＝－3，解得x＝－4,y＝－2，所以C(－4,－2)，又B(3,2)，则＝(－4,－2)－(3,2)＝(－7,－4).故选A． 4.已知点M(3,－2)，N(－5,－1)，且＝，则P点的坐标为(　 　) A．(－8,1)　 B．(－1,－) C．(1,) D．(8,－1) 4.B　由题意,设点P(x,y)，则得＝(x－3,y＋2)，而＝(－8,1)＝(－4，)，所以x－3＝－4,且y＋2＝，解得x＝－1,y＝－，所以点P坐标为(－1,－)．故选B． 5.已知点A(－2,4)，B(3,－1)，C(－3,－4)；设＝，＝，＝，且＝3，＝－2．(1)求3＋－3；(2)求满足＝m＋n的实数m和n的值；(3)求点M和N的坐标及向量的坐标． 5.解:(1)由已知,得＝＝(3,－1)－(－2,4)＝(5,－5)，同理＝(－6,－3)，＝(1,8)．所以3＋－3＝3(5,－5)＋(－6,－3)－3(1,8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝(6,－42)． (2)由(1)知，由于m＋n＝(－6m＋n,－3m＋8n)＝＝(5,－5)，从而得－6m＋n＝5,且－3m＋8n＝－5，解得m＝－1,n＝－1． (3)不妨设O为坐标原点；由(1)知，因为＝－＝3，所以＝3＋＝(3,24)＋(－3,－4)＝(0,20)，所以点M(0,20)；又因为＝－＝－2，所以＝－2＋＝(12,6)＋(－3,－4)＝(9,2)，所以点N(9,2)；故得＝(9,2)－(0,20)＝(9,－18)． 考法3处理向量中的垂直关系 6.已知向量＝(3,4)，＝(x,1)，若(－)⊥，则实数x等于 ． 6.7 法一：因为(－)⊥，所以(－)·＝0，即2＝·，于是有25＝3x＋4，解得x＝7.故填7. 法二：由于＝(3,4)，＝(x,1)，所以－＝(3,4)－(x,1)＝(3－x,3)，又(－)⊥，所以3(3－x)＋4×3＝0，解得x＝7.故填7. 7.设向量＝(cos θ,2)，＝(－1,sin θ)，若⊥，则sin 2θ＝ ． 7. 由于＝(cos θ,2)，＝(－1,sin θ)，且⊥，所以·＝－cos θ＋2sin θ＝0，可得tan θ＝．所以sin 2θ＝＝＝． 8.已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　) A．　　 B．　 　C．6　 　D． 8.A　因为⊥，所以·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0， 即得－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos 120°＝0，化简得15λ＝22，所以λ＝．故选A． 考法4处理向量中的平行关系 9.设向量，不平行，向量λ＋与＋2平行，则实数λ＝ ． 9. 由于向量，不平行，则＋2≠，由题意可知存在唯一实数m，使得λ＋＝m(＋2)＝m＋2m；根据平面向量的基本定理，得λ＝m,且1＝2m，解得λ＝．故填． 10.已知向量＝(1,2)，＝(2,－2)，＝(3,λ)．若∥(2＋)，则实数λ＝ ． 10. 由题意,得2＋＝(4,2)，又因为∥(2＋)，且＝(3,λ)，于是得4λ＝6，所以λ＝．故填． 11.(多选题)已知向量＝(1,1)，＝(－1,2)，若(－)∥(2＋4cosθ)，且角θ∈(－180°,270°),则θ＝(　 　) A．－120°　 B．－150° C．120°　 D．240° 11.ACD 因为－＝(2,－1)，2＋4cosθ＝(2－4cosθ,2＋8cosθ)，且(－)∥(2＋4cosθ)，则2(2＋8cosθ)＝－(2－4cosθ)，解得cosθ＝－，又角θ∈(－180°,270°),得θ＝－120°或120°或240°；故选ACD. 考法5求向量模、夹角及数量积中应用 12.已知向量＝(2,3)，＝(3,2)，则|－|＝(　 　) A．　　 B．2　　 C．5　　 D．50 12.A 依题意,得－＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，则|－|＝＝．故选A． 13.已知＝(2,3)，＝(3,t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3　　 B．－2　　 C．2　　 D．3 13.C 依题意,易得＝－＝(1,t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，则得＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2．故选C． 14.已知非零向量,满足||＝2||，且(－)⊥，则与的夹角为(　　) A．　　 B．　 　C．　　 D． 14.B 法一:由题意，知(－)·＝0，可得·＝||2，于是有,又因||＝2||，代入上式得,且,可得,又因，所以．故选B． 法二:如图所示，设向量＝，＝，则＝－；又因(－)⊥,则∠ABO＝＝；而||＝2||，即||＝2||，在直角△ABC中，由， 得∠AOB＝，即．故选B． 考法6平面向量基本定理在题图中应用 15.如图，是一个有5个全等的小正方形拼接而成的图形，且有＝x＋y，则x＋y的值是 ． 15.1 由图可得＝－，而＝2，＝＋＝2－，所以＝－＝2－(2－)＝3－2；又，不共线，且＝x＋y，由平面向量基本定理,知x＋y＝3－2，所以x＝3，y＝－2，故x＋y＝1. 16.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝ ． 16.3 如图所示，因为·＝0，所以⊥.由于点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°；不妨设||＝t(t>0)，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，则四边形ODCE是矩形.＝＋＝＋.因为||＝t，∠COD＝30°，所以||＝tsin30°＝，||＝tcos30°＝.又因为||＝，||＝1，故＝，＝.所以＝＋，此时m＝，n＝，所以＝3. 考法7向量在分割三角形的面积之比中应用 17.若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　) A．　 B．　 C．　 D．2 17.C　在△ABC中,设AC的中点为D，易得＋＝2，由条件得2＝4，即＝2，从而知M为BD的中点，于是有＝＝＝．故选C. 18.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．　　 B．　 　C．　 　D． 18.B 如图，设AB的中点为D.则由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2，所以＝，即向量与共线,且两向量过同一点M,所以C,M,D三点共线，且＝，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3︰5，则△ABM与△ABC的面积比为．故选B. 拓展·素养能力深化 诠释疑难，深化思维 1.已知向量,且,.则与的夹角为( ) A. B. C. D. 1.A 设向量与的夹角为,由于,可得.由,得到.故选A. 2.已知向量＝(1,－3)，＝(2,－1)，＝(k＋1,k－2)，若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，求实数k的取值范围． 2.解:若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，则表明向量，不共线．又因为＝－＝(2,－1)－(1,－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1,k－2)－(1,－3)＝(k,k＋1)，从而得1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．故实数k的取值范围是{k|k∈R，且k≠1}． 3.(多选题)已知点和,若点在直线上,且,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 3.AC 设点的坐标为,则,.(1)当向量与同向时,依题意得,于是有,且,解得,此时点.(2)当向量与反向时,依题意得,于是有,且,解得,此时点.综上所述得点的坐标为或；故选AC. 4.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 4.ACD 若＝＋，则点M是边BC的中点，知选项A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，且B是CM的中点(如下图)，知选项B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，知选项C正确；如右图，由＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，设＝2，则M为AN的中点，且＝2x＋2y，易知B，N，C三点共线，则△MBC的面积是△ABC面积的，知选项D正确．综上，故ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $