2.4 平面向量基本定理及坐标表示 同步训练-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.4 平面向量基本定理及坐标表示——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步训练 一、单选题 1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（　　） A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4） C．（8，16，4） D．（16，0，4） 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（　　） A．0 B．48 C． D． 3．已知平面向量 ， ，且 ，则 ＝（　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ， ，若 ，则 （　　） A．-2 B．-6 C．18 D．-18 5．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（　　） A．4 B．-4 C．8 D．-8 7．已知 ， ， 为坐标原点，点C在∠AOB内，且 ，设 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知向量 ， ，若 是实数，且 ，则 的最小值为（　　）（注： ， ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B．与可以作为一组基底 C． D．与方向相同 10．已知 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（　　） A． B． C． D． 11．已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（　　） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象 三、填空题 12．已知向量 ，与 共线且方向相反的单位向量 　 　. 13．已知向量 ，则 　 　． 14．已知 ，且 ，则实数k=　 　． 四、解答题 15．已知向量 . （1）求 ； （2）若 ，求实数k. 16．已知O为坐标原点，，. （1）判断的形状，并给予证明； （2）若，求证：A、B、C三点共线； （3）若D是线段AB上靠近点A的四等分点，求D的坐标. 17．已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 18．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点． （1）用向量表示，； （2）若，求实数的值． 19．如图，已知点G是的重心，点P是内一点（包括边界），设，. （1）试用，表示，并求； （2）若，求的取值范围. 答案 1．【答案】A 【解析】。 故答案为：A 【点评】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而得出向量 3+2 的坐标表示。 2．【答案】C 【解析】解：由题意知，向量，，因为与共线， 所以，得， 又与反向共线，故，此时， 故. 故答案为：C. 【点评】由向量共线的相反方向的概念求出值，再应用向量线性运算及模长的表示即可求解. 3．【答案】B 【解析】 且 ，则 故 故答案为：B. 【点评】根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可. 4．【答案】A 【解析】解：∵ ，∴ ， ． 故答案为：A． 【点评】根据共线向量的坐标表示，得到3k=-6，即可得到答案。 5．【答案】A 【解析】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ， ．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意； 当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ， 故 是平行四边形，B正确，不符合题意； 当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ， 故 是平行四边形，C正确，不符合题意； 当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ， 故 是平行四边形，D正确，不符合题意； 故答案为：A． 【点评】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。 6．【答案】D 【解析】解：∵=（﹣1，1），=（2，3） ∴+=（1，4）， 若（+）∥， 则，即k=﹣8， 故选：D． 【点评】根据坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式建立方程即可得到结论． 7．【答案】C 【解析】∵ ，设 ，则 ， 又 ， ，根据向量的坐标运算知 ， 所以 . 故答案为：. 【点评】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 8．【答案】C 【解析】 ， 故答案为： 【点评】利用向量坐标运算计算出的坐标表示，然后再计算出该向量的模长，模长利用三角函数恒等变换化简得到关于t的函数，进而求解出的模长最小值。 9．【答案】A,C 【解析】A. 因为向量，，所以，则，故正确； B. 由A知：，所以与不可以作为一组基底，故错误； C. 因为向量，，所以，故正确； D. 因为向量，，所以，则，所以与方向相反，故错误； 故答案为：AC 【点评】利用共线向量定理判断A；利用基底的定义判断B；利用向量的线性运算求解判断C；利用共线向量定理判断D. 10．【答案】A,C,D 【解析】∵4 －6 ＝－2(3 －2 )，∴3 －2 与4 －6 共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.A、C、D选项均可 故答案为：ACD 【点评】根据题意由向量基底的定义对选项逐一判断即可得出答案。 11．【答案】A,C,D 【解析】解：因为向量，，且与共线 则 即： 所以 对A，函数的最小正周期为，A符合题意； 对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，B不符合题意； 对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，C符合题意； 对D，，将的图像向左平移个单位得到，D符合题意. 故答案为：ACD. 【点评】利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可. 12．【答案】 【解析】 ， ，所以与 共线且方向相反的单位向量是： . 故答案为： . 【点评】利用与 共线且方向相反的单位向量为，即可求出答案。 13．【答案】 【解析】由 可得 ， 则 . 故答案为： . 【点评】先算出 的坐标，再用求模的公式计算即可. 14．【答案】-6 【解析】解： =（﹣3，3+2k）， =（5，9﹣k）． ∵ ，∴﹣3（9﹣k）﹣5（3+2k）=0， 解得k=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出． 15．【答案】（1）解： · （2）解： ， ， ∵ ，∴ ， 解之得： · 【解析】【点评】（1）根据向量的坐标运算可得答案；（2）由向量平行的坐标运算条件可得答案. 16．【答案】（1）解：（法一）由已知有，，， 其中，所以，即， 故为直角三角形. （法二）由已知有，，， 所以，故为直角三角形. （2）证明：由已知有，， 因为，所以与共线. 又与有公共点A，所以A，B，C三点共线. （3）解：因为D是线段AB上靠近点A的四等分点，所以， 则， 故. 【解析】【点评】（1）法一：求出，的坐标，根据可知三角形的形状；法二：求出，，，根据勾股定理逆定理可知三角形的形状； （2）求出，的坐标，根据向量共线的坐标表示可知与共线； （3）依题意可得，再由求出的坐标，即可得解. 17．【答案】（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：设与的夹角为，则， ，， ，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 【解析】【点评】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值． 18．【答案】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1， （2） 【解析】【点评】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，用向量表示，。 （2）利用已知条件结合中点的性质和平行四边形法则，再结合平面向量基本定理和共线定理，从而得出x，y，z的值。 19．【答案】（1）解：如图所示，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点， .同理可得：，，所以. （2）解：如图所示，连接GP并延长，交BC于点，设，，因为，所以，又因为，所以 【解析】【点评】 （1）延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，再利用平面向量基本定理，从而用，表示，再利用向量求模公式，进而求出的值。 （2） 连接GP并延长，交BC于点，设，再利用三角形法则和平面向量基本定理得出，再利用，所以，再结合，进而得出的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$