内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段测试数学试题

呼铁一中2025-2026学年第二学期高二4月月考 数学试卷 命题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等差数列中，若，则的和等于(    ) A. B. C. D. 2.若数列的通项公式为，则数列的前项和    A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和，，等比数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 4.若公比为的等比数列和为，且成等差数列，则 (    ) A. B. C. D. 5.等差数列的前项和为，已知，，则数列的前项和为(    ) A. B. C. D. 6.已知等差数列前项和为，等比数列的前项和为，若，则                   (    ) A. B. C. D. 7.设为等差数列的前项的和，且，，则数列的前项和为(    ) A. B. C. D. 8.数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.数列是首项为的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是(    ) A. B. 数列是等比数列 C. D. 10.对于公差为的等差数列，，公比为的等比数列，，则下列说法正确的是       ． A. B. C. 数列为等差数列 D. 数列的前项和为 11.若正项无穷数列是等差数列，且，则(    ) A. B. 当时，的前项和为 C. 公差的取值范围是 D. 当为整数时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若数列的前项和，，，，，则满足的的最小值为           13.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则公比          ． 14.中国古代数学名著算法统宗中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还______文钱． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足，． 证明数列是等比数列； 求数列的前项和． 16.本小题分 已知等差数列的公差不为，，，，成等比数列． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ若数列满足，求数列的前项和． 17.本小题分 已知数列满足，． 证明数列为等差数列； 求数列的通项公式 18.本小题分 已知等差数列中，，． 求数列的通项公式； 记数列的前项和为，求的前项和． 19.本小题分 已知数列的前项和为，且，数列满足：，， Ⅰ求数列，的通项公式： Ⅱ求数列的前项和： Ⅲ若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 证明：， ， 由已知，， 是以为首项，以为公比的等比数列． 解：由知， ， ．  16. 解：Ⅰ设数列的首项和公差分别为，， 依题意可得， 即， 所以， 由， 解得，， 故， Ⅱ， ．  17. 证明：由， 得， ，又，，         数列是首项为，公差为的等差数列； 解：由得， 的通项公式为  18. 解：设等差数列的公差为， ，， 可得，， 解得， 可得； 由知 可得， 的前项和 ， 所以数列的前项和．  19. 解：Ⅰ数列的前项和为，且， 当时，，解得． 当时，，   得：常数，则数列是以为首项，为公比的等比数列． 则 当时，，即满足上式．   故 数列满足：，，， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故        Ⅱ由可知，     所以， ， 得， 故；      Ⅲ不等式化简得对任意恒成立． 设，则， 当时，，数列为单调递增数列； 当时，，数列为单调递减数列， 由，所以当时， 取得最大值， 所以要使对任意恒成立，． 故实数的取值范围为．  【解析】 1. 【分析】 本题考查等差数列的性质，正确解答本题关键是掌握了在等差数列中，，，，构成一个等差数列这个性质，利用此性质求解本题信息论快捷，方法二用的是最基本的定义法，是一个适用范围较广的方法，若是性质没有记住，这个方法就是最后的解题办法了，学习时不光要掌握好技巧性强的方法也应该对通法熟练掌握，以备性质遗忘时用通法解题． 法一：本题已知第一个二项的和，第二个二项的和，求第四个二项的和，可以由数列的性质，，，是一个等差数列，计算出的值 法二：设出公差，由题设条件建立方程求出首项与公差，再求的值 【解答】 解：法一用性质：在等差数列中，，，，构成一个等差数列，，． ，，，，构成一个首项为，公差为的等差数列． 故 故选B 法二用定义：设公差为，则 ， ， ，即得， 故选：． 2. 【分析】 本题考查已知数列的通项公式求和分组转化求和法，属于基础题． 由通项公式为，转化为等比数列和等差数列求和． 【解答】 解：因为， 所以． 故选C． 3. 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，，所以有， 故， 所以，，则，故． 故选：． 4. 【分析】 本题考查等比数列的通项公式与前项和，考查等差数列的性质，是基础题． 设等比数列的首项为，由，，成等差数列列式求得，再由等比数列的前项和求解． 【解答】 解：设等比数列的首项为，由，，成等差数列，且， 得，即． ． 故选B． 5. 【分析】 本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列前项的和，属于基础题． 根据基本量求出数列的首项和公差，求出前项和，利用裂项相消法求数列的和． 【解答】 解：设公差为， 因为，， 所以，即， 解得， 所以， 所以， 所以． 故选A． 6. 解：由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意 所以，等比数列为常数列， 所以可设，，， 所以可得，故C正确． 故选：． 7. 【分析】 本题主要考查等差数列的概念及性质，属中档题． 若为等差数列的前项的和，则数列也为等差数列，且公差为的一半． 【解答】 解：设等差数列的公差为， 由等差数列的性质知，数列也为等差数列，并且公差为， 又， ， 又，         ，可得  ， ， 故选D． 8. 【分析】 本题考查了数列的递推关系，等差数列的概念，等差数列的通项公式和等差数列的求和，考查了学生的计算能力，属于中档题． 利用数列的递推关系，等差数列的概念得数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得，再利用等差数列的求和得，再利用等差数列的通项公式得当时，；当时，，从而得，最后计算得结论． 【解答】 解：因为在数列中，，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此， 数列的前项和． 由得， 因此当时，；当时，， 所以这个数列前项的绝对值之和为： ． 故选B． 9. 【分析】 本题主要考查数列的递推关系 、等比数列的判定与证明、等比数列的通项公式、等比数列的求和，属基础题． 根据数列的递推公式，得数列是以为首项，为公比的等比数列，逐项判断即可． 【解答】 解：选项，由数列是首项为的正项数列， ，得，，故A正确； 选项，由，， 又数列的首项为，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 选项，由数列是以为首项，为公比的等比数列， 得， 故数列的通项公式为，故C错误； 选项，由， 得数列的前项和为，故D错误． 故选AB． 10. 【分析】 本题考查等差数列的通项公式、等差数列的判定、等比数列的通项公式以及等比数列的求和，属于基础题． 根据题意利用等差数列及等比数列的相关知识逐一判断即可． 【解答】 解：由公差为的等差数列，，可得，故A正确 由公比为的等比数列，，可得，故B错误 由，可得数列是首项和公差均为的等差数列，故C正确 设数列的前项和为， ， ， 上面两式相减可得 ， 所以，故D正确． 故选ACD． 11. 【分析】 本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质和通项公式，属于基础题． 根据题意，由等差中项的性质分析，由等差数列前项和公式分析，由等差数列的通项公式分析、，综合可得答案． 【解答】 解：根据题意，正项无穷数列是等差数列，设其公差为，依次分析选项： 对于，等差数列中，若，则，故，A正确； 对于，由于，，则公差，故的前项和，B错误； 对于，由的结论，，只需且即可，则有，即的取值范围为，C错误； 对于，由等差数列的性质，，若为整数，必为整数， 又由数列是正项常数列或者正项递增的等差数列，即，且， 必有，故，即最大值为，D正确． 故选：． 12. 【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，前项和，数列的通项与前项和的关系，属于基础题． 利用，求出数列的通项，根据通项公式判断即可． 【解答】 解：依题意，当时，， 当时，． 而， 综上． 由，得，又因为． 故满足的的最小值为． 故填：． 13. 【分析】 本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求公比． 【解答】 解：等比数列的前项和为， 且，，成等差数列，可得， 即为， 即，可得， 故答案为：． 14. 解：依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以为首项，为公差的等差数列， 又，， 则丁还钱数． 故答案为． 依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以为首项，为公差的等差数列，利用条件求出，则答案可求． 本题考查等差数列的通项公式，考查学生利用数学知识解决实际问题，是基础的计算题． 15. 本题主要考查了等比数列的判定及其通项公式，等比数列的求和公式及分组转化求和法，属于基础题． 由题意，可得，从而可证是以为首项，以为公比的等比数列； 由知，从而利用分组转化求和即可得答案． 16. 本题考查等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的求和公式，分组转化法求和． Ⅰ由题意知，求出首项和公差，即可得到数列的通项公式； Ⅱ由Ⅰ写出，结合等差数列的求和公式，等比数列的求和公式，利用分组转化法求． 17. 本题考查了数列的递推关系，等差数列的证明，等差数列的通项公式，数列的通项公式，属于基础题． 数列满足，，两边取倒数可得：，即可证明； 由利用等差数列的通项公式即可得出． 18. 设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； 运用等差数列的求和公式，可得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 19. 本题考查数列递推关系、数列通项求法，考查错位相减法求和及数列的单调性，属于中档题． Ⅰ由，得，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求得；由，得数列为公差为的等差数列，即可求得． Ⅱ由可知，利用错位相减法求和即可； Ⅲ不等式化简得对任意恒成立，设，判断数列的单调性，即可求得结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $