2026年中考数学压轴题几何模型 专题20 最大张角问题（米勒定理）

专题20 最大张角模型（米勒定理） 最大张角模型（又称“米勒定理模型”），由圆周角与圆外角性质推导得出，是解决视角最大、张角最值问题的经典几何模型，可快速确定动点位置、求出最大角度，中考常以几何探究、实际应用、动态最值题型出现，题目贴近生活、思路巧妙，结构清晰、应用性强，是几何直观与数学建模思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、巩固提高三个部分展开，循序渐进，层层剖析最大张角模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 故事背景： 米勒问题，又称雷奇奥莫塔努斯极大值问题，是数学史上记载最早的极值问题，由15世纪德国著名数学家、天文学家约翰内斯・米勒于1471年提出。米勒也被称作雷奇奥莫塔努斯，他是欧洲三角学的重要奠基人，长期致力于数学与天文研究，其提出的这一经典问题，不仅开启了初等极值问题的研究先河，更被收录进《100个著名初等数学问题》，流传至今。 该问题最初源于生活中的直观观察：一根垂直悬挂的横杆，在地面上哪个位置观察时，视角最大？后人常将其形象化为雕像观赏问题：一座雕像安放在基座之上，观察者在地面水平移动，站在何处观看雕像整体的视角最大、最为清晰？这一看似简单的生活场景，背后蕴含着深刻的几何原理。 在漫长的数学发展中，数学家 Ad・Lorsch 给出了简洁优美的几何解法：当动点与两定点构成的三角形外接圆恰好与动点所在直线相切时，对应的张角最大，这一结论也被称为米勒定理。 米勒问题： 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大. 证明： 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例题分析 【例1】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小． 【解析】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作 ∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC=， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小． ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA==， ∴AE的最小值为=． 故答案为：2 【例2】数学概念 若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”. 理解概念 （1）若点是的等角点，且，则的度数是 . （2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①， ②如图②， 深入思考 （3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点； ④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号） 【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤ 【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可； （2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明； ②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论； （3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可； （4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可． 【解析】（1）（i）若=时， ∴==100° （ii）若时， ∴（360°－）=130°； （iii）若=时， 360°－－=160°， 综上所述：=100°、130°或160° 故答案为：100、130或160． （2）选择①： 连接 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是的等角点． 选择② 连接 ∵ ∴ ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵ ∴ ∴是的等角点 （3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD， 根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC ∴△BCD为等边三角形 ∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60° 作CD的垂直平分线交MN于点O 以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆 ∴∠BQC=180°－∠BDC=120° ∵BD=CD ∴∠BQD=∠CQD ∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120° ∴∠BQA=∠CQA=∠BQC 如图③，点即为所求． （4）③⑤． ①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心 假设∠BAC=60°，∠ACB=30° ∵点O是△ABC的内心 ∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15° ∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120° 显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误； ②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确； ④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误； ⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点． 如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接， ∵由旋转得，， ∴是等边三角形． ∴ ∴ ∵、是定点， ∴当、、、四点共线时，最小，即最小． 而当为的强等角点时，， 此时便能保证、、、四点共线，进而使最小． 故答案为：③⑤． 巩固提高 一、单选题 1．如图，C，D是上直径AB两侧的两点，若，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．80° D．70° 【答案】D 【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案． 【解析】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=20°， ∴∠CAB=70°， ∴∠BDC=∠CAB=70°， 故选：D． 2．如图，四边形内接于，连接，，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边对等角，同弧上的圆周角相等，三角形内角和定理联合解题即可． 【解析】∵， ∴∠CAB=∠CBA，2∠CAB+∠BCA=180°， ∵， ∴∠ADB+∠BDC=130°， ∵∠BDC=∠CAB，∠BCA=∠ADB， ∴2∠ADB+2∠CAB=260°①，2∠CAB+∠ADB=180°②， ①-②，得∠ADB=80°， 故选D． 3．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【解析】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 4．如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，得到，则，即可求出答案． 【解析】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题 5．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【解析】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 6．如图，已知、在以为直径的上，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，又由，即可求得的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数． 【解析】为的直径， ， ， ， ． 故答案为：60°． 7．如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是_______． 【答案】1 【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC＝30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC＝，从而得到四边形ABCD的面积的最大值． 【解析】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点， ∴AC为⊙O的直径，如图， ∴AC⊥BD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝30°， 在Rt△OBH中，BH＝OB＝， ∴S△ABC＝•BH•AC＝×2×＝， ∴四边形ABCD的面积＝2×＝1， ∴四边形ABCD的面积的最大值为1． 故答案为1． 8．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC＝50°，∠AED＝75°，则的度数是_________°． 【答案】50 【分析】连接OA，OD，首先根据同弧所对圆周角相等可得，再根据三角形外角的性质即可求得的度数，再根据圆周角定理可求得，由此即可求得答案． 【解析】解：如图，连接OA，OD， ，∠BAC＝50°， ∴， 又∵∠AED＝75°， ， ， ∴的度数是50°， 故答案为：50． 9．如图，∠MAN＝45°，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，当 sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为_________ 【答案】 【分析】由题意知，∠BDC小于90o，，当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时AD2=AB·AC，则AD=2，延长DO交AN于点E，DE=AD=2，设半径为x，OE=2-x，过O点作OH⊥BC，垂足为H，则OH=，BH=，在Rt△OHB中，+=，最后求得半径x=． 【解析】解：当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的值最大， ∵⊙O与AM相切于点D，AB＝1，BC＝3， ∴AD2=AB·AC， ∴AD=2， 延长DO交AN于点E，过O点作OH⊥BC，垂足为H，连接BO， ∴ ， ∵， ∴△AED为等腰直角三角形， ∴DE=AD=2， 设⊙O半径为x，则OE=2-x， ∵ ， ∴， ， 在Rt△BOH中， ， 即+=， 解得： ， ∵⊙O半径大于0， ∴舍去， ∴x=． 故答案为：． 三、解答题 10．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为． （1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长； （2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标； （3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为，CD的长；（2）E1(，1)，E2(，1)，E3(，−1)，E4(，−1)；（3）点P的坐标为（1，）． 【分析】（1）求出点A，B的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x=0代入抛物线的解析式得y=-3，故此可得到DO的长，可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可． （2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM．由HM2+EH2=EM2，点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，可得方程组，以及对称性求解； （3）根据∠BPC=60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可． 【解析】解：（1）∵圆心的坐标为，半圆半径为2． ∴A（-1，0），B（3，0） 设“蛋圆”抛物线部分的解析式为 把A（-1，0），B（3，0），D（0，-3）代入解析式得， 解得， ∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为 连接AC，BC，MC ∵点D的坐标为（0，-3）， ∴OD的长为3． ∵A（-1，0），B（3，0）． ∴AO=1，BO=3，AB=4， ∵M（1，0）． ∴MC=2，OM=1． 在Rt△COM中，OC=． ∴CD=CO+OD=，即这个“蛋圆”被y轴截得的线段CD的长． （2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）． EF与x轴交于点H，连接EM． ∴HM2+EH2=EM2， ∴（m-1）2+n2=4，…①； ∵点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上， ∴m2-2m-3=-n，…② 解由①②组成的方程组得：；．（n=0舍去） 由对称性可得：；． ∴E1(，1)，E2(，1)，E3(，−1)，E4(，−1)． （3）如图， ∵∠BPC=60°保持不变， 因此点P在一圆弧上运动． 此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°），BK为半径． 当BP为直径时，BP最大． 在中， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 在Rt△PCR中， ∴ ∴ ∴ ∴点P的坐标为（1，）． 11．如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； （3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案； （2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可； （3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案． 【解析】解：（1）抛物线交x轴于点，， 将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图， D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：， ， 交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为， ，设，， 又的面积为，的面积为，， ， ，，即点F分别是AP、ED的中点， 又，，，， 由中点坐标公式得：， 解得：（与“”不符，应舍去），， ， ，； （3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2， 以OB为斜边在第一象限内作等腰直角， 则，， 以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点， 过点作轴于点H，则，，， ， ， ②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3， 连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M， ， 经过点C， 连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E， 则，， ， ， ， 综上所述，． 12．一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角． （1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 【答案】（1）见解析；（2）围栏应摆在距离展台处，见解析 【分析】（1）写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明； （2）先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO上取一点B，使得BO＝152cm，则BQ＝16cm，过B作射线l⊥QO于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M，由（1）的结论可知队员的眼睛A与M重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN处，故求出ON长度即可． 【解析】解：（1）已知：如图所示，点A，B，C在⊙O上，点P在⊙O外． 求证：． 证明：设交⊙O于点Q，连接， ∵与同对， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：设合唱队员平均身高为，则 ． 在上取一点B，使得，则， 过B作射线于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M． 依题意可知，参观的队员的眼睛A在射线上． 而此时，射线l上的点只有点M在⊙C上，其他的点在⊙C外． 根据（1）的结论，视角最大，即队员的眼睛A与M重合（也即队员站在MN处）时，观看该展品的视角最大． 所以围栏应摆放在N处． 连接并延长交地面于N， 过C作于H，连接，， 从而四边形和四边形均为矩形． ∵在⊙C中，，， ∴． ∴． ∵在中，，， ∴． ∴．     即围栏应摆在距离展台处． 13．如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论； （2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2 ，最后证明,进而即可求解． 【解析】（1）证明：连接交于点H. ∵与相切于点D ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴  即平分； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ， ∴（负值舍去）， ∴ 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题20最大张角模型（米勒定理） 最大张角模型（又称“米勒定理模型”），由圆周角与圆外角性质推导得出，是解决 视角最大、张角最值问题的经典几何模型，可快速确定动点位置、求出最大角度，中考常以 几何探究、实际应用、动态最值题型出现，题目贴近生活、思路巧妙，结构清晰、应用性强， 是几何直观与数学建模思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、巩固提高三个部分展开，循序渐进，层层剖析最大张 角模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 故事背景： 米勒问题，又称雷奇奥莫塔努斯极大值问题，是数学史上记载最早的极值问 题，由15世纪德国著名数学家、天文学家约翰内斯·米勒于1471年提出。米勒 也被称作雷奇奥莫塔努斯，他是欧洲三角学的重要奠基人，长期致力于数学与天 文研究，其提出的这一经典问题，不仅开启了初等极值问题的研究先河，更被收 录进《100个著名初等数学问题》，流传至今。 该问题最初源于生活中的直观观察：一根垂直悬挂的横杆，在地面上哪个位 置观察时，视角最大？后人常将其形象化为雕像观赏问题：一座雕像安放在基座 之上，观察者在地面水平移动，站在何处观看雕像整体的视角最大、最为清晰？ 这一看似简单的生活场景，背后蕴含着深刻的几何原理。 在漫长的数学发展中，数学家Ad·Lorsch给出了简洁优美的几何解法：当 动点与两定点构成的三角形外接圆恰好与动点所在直线相切时，对应的张角最 大，这一结论也被称为米勒定理。 第1页共9页 米勒问题： 已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点， 则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为 最大张角或最大视角问题。 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当 且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大， 证明： 如图1，设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A,B,因为∠ACB是 圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠ACB小于∠ACB,故∠ACB最大。 B 第2页共9页 在△ACD中∠ADB=∠ACD+∠DAC 所以∠ADB>∠ACD 又因为∠ACB=∠ADB 所以∠ACB>∠ACD 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出 隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、 大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这 类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例题分析 【例1】如图，在△ABC中，AC=6,BC=8√3，LACB=60°，过点A作BC的平行线1， P为直线I上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 A E 【例2】数学概念 若点P在△ABC的内部，且∠APB、∠BPC和∠CPA中有两个角相等，则称P是△ABC的等 角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P是△ABC的强等角点” 理解概念 (1)若点P是△ABC的等角点，且∠APB=100°，则∠BPC的度数是」 (2)己知点D在△ABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足∠BDC+∠BAC<180°，作 △BCD的外接圆O,连接AD,交圆O于点P.当△BCD的边满足下面的条件时，求证：P是 第3页共9页 △ABC的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①，DB=DC ②如图②，BC=BD B B 8 D D ① ② ③ 深入思考 (3)如图③，在△ABC中，∠A、∠B、∠C均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q (不写作法，保留作图痕迹》 (4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点： ③正三角形的中心是它的强等角点； ④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等： ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正 确的有一 (填序号) 巩固提高 一、单选题 第4页共9页 1.如图，C,D是⊙O上直径AB两侧的两点，若LABC=20°，则∠BDC的度数是() A ⊙ D A.50° B.60° C.80° D.70° 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,BD,且AC=BC,∠ADC=130°，则 ∠ADB的度数为() B ● A C D A.50° B.60 C.70° D.80° 3.如图，C,D是⊙O上直径AB两侧的两点.设∠ABC=25°，则LBDC=() C B D A.85 B.75° C.70° D.65° 4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为() 第5页共9页 D A.20° B.30° C.40° D.60° 二、填空题 5.如图，点D在半圆O上，半径OB=5,AD=4,点C在弧BD上移动，连接AC,作 DH⊥AC,垂足为H,连接BH,点C在移动的过程中，BH的最小值是· H 6.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若LCAB=30°，则∠D的度数是 C 7.如图，直线1与⊙O相交于点B、D,点A、C是直线1两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半 径为1，∠A=30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是· B C 8.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E,∠BAC=50°，∠AED=75°，则AD的度数 是 第6页共9页 B E y D 9.如图，∠MAN=45°，B、C为AN上两点，AB=1,BC=3,D为AM上的一个动点，过 B、C、D三点作oO,当sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为 M D 0 -N A B 三、解答题 10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”.如图所示，点A、B、 C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，己知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆 圆心M的坐标为1,0)，半圆半径为2. C B→x (1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长； (2)已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A,点B重合），点E关于x轴的对称点是点F, 若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标； 第7页共9页 (3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC=60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标. 11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),D是抛物线的顶点，P是抛 物线上的动点，点P的横坐标为m0≤m≤3》，AE∥PD交直线1：y=2x+2于点E,AP交 DE于点F,交y轴于点Q (1)求抛物线的表达式： (2)设△PDF的面积为S,△AEF的面积为S,当S,=S,时，求点P的坐标： (3)连接BQ,点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ=45°，在点P从 点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围. 备用图1 备用图2 12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外 角. (1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角： (2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市 小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示.该文 物P2高度为96cm,放置文物的展台QO高度为168cm,如图2所示.为了让参观的队员站 在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点 Q、参观者的眼晴A所形成的∠PAQ),则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的 地方？请说明理由，（说明：①参观者眼晴A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆 放位置需考虑参观者的平均身高) 第8页共9页 P 频数 39 学生人数) 30 151818 140144148152156160身高/cm 图1 图2 13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D,EF∥BC分别交AB,AC的延 长线于点E和F,连接AD交BC于点N,LABC的平分线BM交AD于点M. A M B N C E D F (I)求证：AD平分∠BAC; (2)若AB:BE=5:2,AD=√14，求线段DM的长. 第9页共9页