压轴题专项突破(1) 构建函数模型解决实际问题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

压轴题专项突破玻（一)构建函数模型解决实际问题 考情分析 构建函数模型解决实际问题是中考的常见题型，主要以两种类型呈现：一种是以表格型， 另一种是以图象型，主要考察一次函数和二次函数建模解决实际问题 (2)①依据题意列出不等式即可；②根据不 ○解题策略 解决此类问题，首先认真审题，构建一次或 同的范围，列出不同函数关系式，分别求出 二次函数的模型（注意自变量的取值范围），有 最大值，比较即可得到利润最大值 时涉及到分段函数；然后根据解析式与题意解 【解答】(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B 决实际问题，可能涉及到解二元一次方程组、一 种饰品每件的进价为(a一1)元. 元一次不等式（组）、二次函数或与一次函数的 由题意，得0-驾×2，解得a=10, 性质的综合应用等. 经检验，a=10是所列方程的根，且符合题意. 考向一构建一次函数解决实际问题 ∴.B种饰品每件进价为10一1=9（元）. 【例1】(2023·荆州)荆州古城旁“荆街”某 答：A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进 商铺打算购进A,B两种文创饰品对游客销 价为9元； 售.已知1400元采购A种的件数是630元 600-x≥390. (2)①根据题意，得 采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的 600-x≤4x, 解得120≤x≤210且x为整数； 进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件 ②设采购A种饰品x件时的总利润为元 15元；计划采购这两种饰品共600件，采购 当120≤x≤150时，w=15×600-10x-9× B种的件数不低于390件，不超过A种件数 (600-x), 的4倍. 即u=-x+3600, (1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元？ :一1<0，.随x的增大而减小。 (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优 ∴.当x=120时，有最大值3480. 惠，即一次性采购A种超过150件时，A 当150<x≤210时， 种超过的部分按进价打6折.设购进A =15×600-[10×150+10×60%(x-150)] 种饰品x件， -9(600-x). ①求x的取值范围； 整理得：=3x十3000， ,3>0,.心随x的增大而增大 ②设计能让这次采购的饰品获利最大的 ∴.当x=210时，有最大值3630， 方案，并求出最大利润. .3630>3480, 【方法指导】本题考查了分式方程的应用，一 ∴.的最大值为3630， 元一次不等式组的应用，一次函数利润最大 此时采购B种饰品：600一x=390(件). 化方案问题，关键是对分段函数的理解和正 答：当采购A种饰品210件，B种饰品390件时， 确求出最大值.(1)分别设出A,B饰品每件 商铺获利最大，最大利润为3630元. 的进价，依据数量列出方程求解即可； 202 对点/训练 销量不 销量超 超过200 过200斤 1.(2021·宜昌)甲超市在端午节这天进行 草鱼 斤的部分 的部分 苹果优惠促销活动，苹果的标价为 7 10元/kg,如果一次购买4kg以上的苹 果，超过4kg的部分按标价6折售卖， 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需 x(单位：kg)表示购买苹果的重量，y(单 要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需 位：元)表示付款金额 要130元. (1)文文购买3kg苹果需付款 元； (1)求a,b的值； 购买5kg苹果需付款 元； (2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在 (2)求付款金额y关于购买苹果的重量x 当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于 的函数解析式； 80斤且不超过120斤，设每天销售鲢 (3)当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优 鱼x斤（销售过程中损耗不计）. 惠促销活动，同样的苹果的标价也为 ①分别求出每天销售鲢鱼获利 10元/kg,且全部按标价的8折售卖， y1(元)，销售草鱼获利y2(元)与x 文文如果要购买10kg苹果，请问她在 的函数关系式，并写出x的取值范 哪个超市购买更划算？ 围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼 售价每斤降低m元，草鱼售价全部 定为7元/斤，为了保证当天销售这 两种鱼总获利W(元)最小值不少于 320元，求m的最大值. 2.(2021·襄阳)为了切实保护汉江生态环 境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁 渔.禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在 市场上热销，经销商老李每天从该水库购 进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和 售价如表所示： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 5 203 1240(元). 1296>1240,.当x=26时日销售利润最大. 答：该商品在第26天的日销售利润最大，最大日 销售利润是1296元 对点/训练 3.“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处 考向二构建一次函数与二次函数解决实 于高海拔山区，交通和信息都相对不便 际问题 清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮 【例2】(2023·仙桃)某商店销售某种商品 助茶农销售清明前的新茶，以160元/千 的进价为每件30元，这种商品在近60天中 克的价格将附近茶农的清明前的新茶全 的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 部收购，并利用网络平台进行网上销售， 时间：第x(天) 根据往年的销售经验，这种清明前的新茶 以200元/千克的价格销售，每天可售出 1≤x≤30 31≤x≤60 80千克，若价格每上涨10元/千克，销售 日销售价（元/件） 0.5.x+35 50 量会减少5千克.设销售单价为x元/千 日销售量（件） 124-2x 克，每天的销售量为y千克，且销售单价 (1≤x≤60，x为整数) 高于收购价，且不超过收购价的2倍 设该商品的日销售利润为元. (1)试求y与x之间的函数关系式，并写 (1)直接写出w与x的函数关系式： 出自变量x的取值范围， (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最 (2)销售单价为多少元时，所获得的日利 大日销售利润是多少？ 润最大？最大日利润为多少元？ 【方法指导】(1)根据利润=单个利润×数量 (3)由于清明前的新茶产量较少，李明仅 可进行求解；(2)由(1)分别求出两种情况下 收购了320千克，在(2)的条件下全部 的最大利润，然后问题可求解， 销售完之后，清明后的春茶上市.李明 【解答】解：(1)由题意得： 提高了m%的收购量收购了一批春 当1≤x≤30时，则：=(0.5.x+35-30)(124 茶，以每千克40元的利润进行网上销 2.x)=-x2+52x+620: 售，很快被抢购一空，李明再次收购一 当31≤x≤60时，则 批春茶，并将收购量再提高m%,每千 =(50-30)(124-2x)=-40x+2480: 克的利润不变.所有茶叶全部销售完 (-x+52x+620(1≤x≤30，x为整数)， .w= 后，清明前的新茶和清明后的春茶共 40x+2480(31≤x≤60，x为整数)： 获利80000元，求m的值. (2)当1≤x≤30时，=一x2+52x+620: ,抛物线开口向下，对称轴为直线x=26 ∴.当x=26时，mx=-262+52X26+620= 1296(元). 当31≤x≤60时，w=-40x十2480，w随x增 大而减小， ∴.当x=31时，emx=-40×31+2480= 204 5.某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念 品进价40元，规定销售单价不低于44元， 且不高于52元.某商户在销售期间发现， @走进中考 当销售单价定为44元时，每天可售出300 4.【新情境·科技助残】(2024·烟台)每年5 个，销售单价每上涨1元，每天销量减少 月的第三个星期日为全国助残日，今年的 10个.现商家决定提价销售，设每天销售 主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁 量为y个，销售单价为x元. 公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该 (1)直接写出y与x之间的函数关系式和 月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200 自变量x的取值范围； 元时，每天可售出60辆；单价每降低10 (2)将纪念品的销售单价定为多少元时， 元，每天可多售出4辆.公司决定在成本 商家每天销售纪念品获得的利润元 不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利 最大？最大利润是多少元？ 润不低于180元.设每辆轮椅降价x元， (3)该商户从每天的利润中捐出200元做 每天的销售利润为y元 慈善，为了保证捐款后每天剩余利润 (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降 不低于2200元，求销售单价x的范 价多少元时，每天的销售利润最大？ 围 最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利 润12160元，请问这天售出了多少辆 轮椅？ 205 6.【综合与实践】数学来源于生活，同时数学 也可以服务于生活 【知识背景】如图，校园中有两面直角围 墙，墙角内的P处有一棵古树与墙CD, AD的距离分别是15m和6m,在美化校 园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙 7.春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某 (两边足够长)，用28m长的篱笆围成一 花圃基地计划将如图所示的一块长40m, 个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两 宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区 边)，设AB=xm. 域.其中一块正方形空地为育苗区，另一 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积 块空地为活动区，其余空地为种植区，分 最大，且要将古棵树P围在花园内（含边 别种植A,B,C三种花卉.活动区一边与 界，不考虑树的粗细) 育苗区等宽，另一边长是10m.A,B,C三 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S 种花卉每平方米的产值分别是2百元、 与边长x(即AB的长)的函数解析式求 3百元、4百元. 出，并利用函数的性质来求面积的最大值 (1)设育苗区的边长为xm,用含x的代 即可， 数式表示下列各量：花卉A的种植面 (1)请用含有x的代数式表示BC的长； 积是 m,花卉B的种植 (2)花园的面积能否为192m?若能，求 面积是 m,花卉C的 出x的值，若不能，请说明理由； 种植面积是 m2. (3)求面积S与x的函数解析式，写出x (2)育苗区的边长为多少时，A,B两种花 的取值范围；并求当x为何值时，花园 卉的总产值相等？ (3)若花卉A与B的种植面积之和不超过 面积S最大？ 560m,求A,B,C三种花卉的总产值 之和的最大值. 40m 花卉B 活动区 花 20m 花卉A 206 上A处设置一个高度可以变化的发射平 台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现 解决下列问题， MN水平安全线 (1)若发射平台相对于安全线的高度为 0m,求飞机落到安全线时飞行的水平 距离； (2)在安全线上设置回收区域MN,AM= 125m,MN=5m.若飞机落到MN内 (不包括端点M,N),求发射平台相对 于安全线的高度的变化范围， 8.(2023·武汉)某课外科技活动小组研制 了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机 相对于出发点的飞行水平距离x(单位： m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t (单位：s)变化的数据如下表. 飞行时间t/s 0 4 6 8 飞行水平距离x/m0 102030 40 飞行高度y/m 022405464 【探究发现】x与t,y与t之间的数量关系 可以用我们已学过的函数来描述.直接写 出x关于t的函数解析式和y关于t的函 数解析式（不要求写出自变量的取值范 围) 【问题解决】如图，活动小组在水平安全线 207.EC=√BE2+BC=3√5.，AE·BE=EG· ECEG=35.8.1)解：：AB是⊙0的直 5 径，∴.∠ADB=∠ACB=90°.又∠ABC=25, ∴.∠CAB=90°-25°=65°..四边形ABEC是 ⊙O内接四边形，.∠CEB十∠CAB=180°. .∠CEB=180°-∠CAB=115°；(2)解：DI= AD=BD,证明：连接AI,如图1： D 图1 图2 ,点I为△ABC的内心，∴.∠CAI=∠BAI, ∠ACI=BCI=3∠ACB=45.AD=BD, ∴.∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD. ,∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+ ∠CAI,.∠DAI=∠DIA..DI=AD=BD: (3)解：过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC, 垂足分别为Q,F,P,如图2：点I为△ABC的 内心，即为△ABC的内切圆的圆心..Q,F,P 分别为该内切圆与△ABC三边的切点.∴.AQ= AF,CF=CP,BQ=BP.CI=22,IFC= 90°，∠ACI=45°，.CF=CI·cos45°=2=CP. :D1=AD=BD,D1=号E,∠ADB=90 ∴AB=VAD+BD=E×3E=13.∴△ABC 的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+ BP=AB+AQ+BQ+2CF=2AB+2CF=30. 压轴题专项突破（一）构建函数模型解 决实际问题 对点训练 1.(1)3046解：(2)由题意得：当0<x≤4时， y=10x,当x>4时，y=4×10+(x-4)×10× 0.6=6x+16,∴.付款金额y关于购买苹果的重 量：的后数加折式为：9=0968：8) 文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+ 16=76(元)，文文在乙超市购买10kg苹果需付 费：10×10×0.8=80（元），76<80，∴.甲超市 更划算.答：文文在甲超市购买更划算.2.解： (1)根影题意，得20e十0的1：解得 a=3.5a=3.5,b=6:(2)①由题意，得1 b=6. (5-3.5)x=1.5x(80x≤120)，当300-x 200时，100≤x≤120，y2=(8-6)×(300-x)= -2x+600:当300-x>200时，80≤x<100,y2 4 =(8-6)×200+(7-6)×(300-x-200)=-x +500;.y2= -x+500(80<1<100,②由题 -2x+600(100≤x≤120)； 意，得W=(5-m-3.5)x+(7-6)×(300-x) =(0.5-m)x+300,其中80≤x≤120，，当0.5 -m≤0时，W=(0.5-m)x+300≤300，不合题 意，.0.5一m>0..W随x的增大而增大..当 x=80时，W的值最小.由题意，得(0.5一m)× 80+300≥320，解得m≤0.25，∴.m的最大值为 0.25.答：为了保证当天销售这两种鱼总获利W 的最小值不少于320元，m的最大值为0.25. 3解：1由题意，得y=80-5×名0 22 +180,.160x≤2×160，.160<x≤320.∴.y 与x之间的函数关系式为y=一 7x+180(160 <x320);(2)设日利润为元，根据题意，得 0=G-160(-7x+180）=-2r+260z 28800=- 2(-260)r+5000:-7<0,且 160<x≤320，∴.当x=260时，w有最大值为 5000元.答：销售单价为260元时，所获得的利 润最大，最大日利润为5000元；(3)由题意，可 知320×(260-160)+320×40(1+m%)+320 ×40(1+m%)2=80000.解得m1=50,m2 -350<0(舍去).∴.m的值为50. 走进中考 4.解：(1)y=(200-x)(60+4×0)=-0.4x +20x+12000=-0.4(x2-50x+625)+ 12250=-0.4(x一25)2+12250..每辆轮椅的 利润不低于180元，.x≤20..当x=20时，利 润最大，最大利润为：一0.4×(20-25)2+12 250=12240(元).答：y与x的函数关系式为y =一0.4x2+20x十12000；每辆轮椅降价20元 时，每天的销售利润最大，最大利润为12240 元；(2)12160=-0.4(x-25)2+12250.0.4(x -25)2=12250-121600.4(x-25)2=90解得 x1=40(不合题意，舍去)，x2=10.∴.售出轮椅的 辆数为：60+4×8-64（辆）.答：这天售出了64 辆轮椅.5.解：(1)根据题意得：y=300一10(x 一44)=一10x+740,.y与x之间的函数关系 式为y=一10x+740(44≤x≤52)；(2)根据题 意，得=（一10x+740)(x-40)=-10x2+ 1140x-29600=-10(x-57)2+2890,.-10 <0,.当x<57时，0随x的增大而增大，44 ≤x≤52，.当x=52时，0有最大值，最大值为 -10×(52-57)2+2890=2640,.将纪念品的 销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获 得的利润元最大，最大利润是2640元；(3)依 题意剩余利润为（一200）元，，捐款后每天剩 余利润不低于2200元，∴.一200≥2200，即 -10(x-57)2+2890-200≥2200，由-10(x 57)2+2890-200=2200得x=50或x=64, .一10<0,44≤x≤52，.捐款后每天剩余利润 不低于2200元，50≤x≤52.答：捐款后每天剩 余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50 ≤x≤52.6.解：(1)由题意，AB=xm,∴.BC= (28-x)m;(2).AB=x,则BC=(28-x), ∴.x(28-x)=192.解得：x=12或x=16(由于 树与墙CD为15m,从而x=16不合题意，舍 去)，.花园的面积可等于192m2,此时x的值 为12m;(3)①S=x(28-x)=-x2+28x= -(x-14)2+196..在点P与CD,AD的距离 分别是15m和6m,∴.28-15=13..6≤x 13..面积S与x的函数解析式为：S=一(x 14)2+196(6≤x≤13)：②.一1<0，抛物线的开 口向下，对称轴为直线x=14,.当6≤x≤13 时，S随x的增大而增大..当x=13时，S取到 最大值=一(13一14)2+196=195，即当x= 13m时，花园面积S最大，最大值为195m. 7.(1)(x2-60x+800)(-x2+30x)(-x2+ 20x)解：(2)·A,B花卉每平方米的产值分别 是2百元、3百元，∴.A,B两种花卉的总产值分 别为2×（x2-60x十800)百元和3×（一x2+ 30x)百元.A,B两种花卉的总产值相等， ∴.200×(x2-60x+800)=300×(-x2+30x). ∴.x2-42x十320=0.解方程得x=32(舍去)或 x=10,.当育苗区的边长为10m时，A,B两种 花卉的总产值相等；(3)花卉A与B的种植面 积之和为：x2一60x+800+(一x2+30x)= (-30x+800)m2,.-30x+800≤560..x≥8. ,设A,B,C三种花卉的总产值之和为y百元， .y=2(x2-60x+800)+3(-x2+30.x)+4(-x +20.x)..y=-5x2+50x+1600.∴.y=-5(x 一5)2+1725..当x≥8时，y随x的增加而减 小..当x=8时，y最大，且y=-5(8-5)2+ 1725=1680(百元).故A,B,C三种花卉的总产 值之和的最大值为168000元.8.解：【探究发 现】x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关 系，设x=kt,y=a.x2十bx,由题意，得10=2k, 4a+26=22,解得及=5，a=-豆，6=12， 1 116a+4b=40, ∴.x=5t,y=- 72+12:【间题解决】1D依题 意，得-++121=0.解得6=0（含），6=24， 当t=24时，x=120.答：飞机落到安全线时飞行 的水平距离为120m;(2)设发射平台相对于安 4 全线的高度为nm,飞机相对于安全线的飞行高 度y=- 2+121+m:125<z<130125 <51<130.∴25<1<26.在y=-7+121+m 中，当t=25,y'=0时，n=12.5;当t=26,y'=0 时，n=26.∴.12.5<n<26.答：发射平台相对于 安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于 26m. 压轴题专项突破（二）】 几何综合探究 对点训练 1.(1)AD⊥BE 解：(2)(1)中 的结论成立，理由如下：如图2，延长BE交AC 于点H,交AD于点N,:∠ACB=∠DCE= 90,∠AcD=∠BcE.又器=瓷= ∴.△DCAD△ECB..∠DAC=∠CBE. :∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，∴.∠CAB+ ∠ABE+∠DAC=90°..∴.∠ANB=90°..AD ⊥BE;(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接 BE, 图3 图4 △CAAFcB,.孺-C=m=5,÷BE =√3AD=√3(4+AE).AD⊥BE,.AB= AE2+BE..112=AE+3(4+AE)2.∴.AE= 2或AE=-8(舍去)..BE=6√3.当点D在线 段AE上时，连接BE,.△DCAC∽△ECB, 器怒-m.-ADA 4)..AD⊥BE,∴.AB2=AE+BE.∴.112 AE+3(AE-4)2.∴.AE=8或AE=-2(舍 去).∴.BE=4√5.综上所述：BE=6√3或4√3. 2.(1)20° 解：(2)结论：CD=2(AF2+EF). 理由：如图，连接DE,CE,AC,CF 由轴对称知，CF=EF,CD=DE=AD,∠DEF =∠DCF,而∠DEF=∠DAF,.∠DAF ∠DCF..'∠FAC+∠FCA=∠FAC+∠DAF +∠DCA=90°，∴.∠AFC=180°-（∠FAC十 ∠FCA)=90°.在Rt△ACF中，AC=AF2+