专题 4.1 因式分解（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦因式分解核心知识点，系统梳理其定义及与整式乘法的逆运算关系，通过基础题型（因式分解判断、已知结果求参数、利用结果求代数式值）搭建认知支架，进阶至培优题型（整除证明、几何图形探究），形成完整知识脉络。 该资料特色在于融合几何直观与逻辑推理，如通过正方形截拼实验（数学眼光）具象化因式分解原理，设计整除证明题（数学思维）培养推理能力。例题与变式结合，课中辅助分层教学，课后同步检测助力查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题 10.1 二元一次方程组的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】因式分解 1 【题型 1】因式分解的判断 2 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 2 【题型 3】利用因式分解的结果求代数式的值 3 二.培优题型精析（教材挖掘） 3 【题型 4】利用因式分解定义进行证明 3 【题型 5】利用几何图形探究因式分解 3 三.同步检测 5 （一）选择题（共4题，每小题8分，合计32分） 5 （二） 填空题（共4题，每小题8分，合计32分） 5 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 6 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】因式分解 1、 因式分解定义 1、把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 【要点提示】构成因式分解的条件：（1）对象：多项式，即等式的左边是一个多项式；（2）结果：整体的积的形式，即等式的右边必须是整体的积的形式；（3）因式分解也可称为分解因式。 2、 因式分解与整式乘法关系 整式乘法：把几个整式的乘积化为一个多项式形式，即从整式乘积转化为整式和差的形式； 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，即从几个单项式的和差转化为整式乘积的形式。 简而言之：因式分解与整式乘法互为逆运算。 【题型 1】因式分解的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． （1）． （2）． （3）． 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 【例题2】（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【题型 3】利用因式分解的结果求代数式的值 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 4】利用因式分解定义进行证明 【例题4】（根据北师大八下113页问题解决第4题改编）（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）能被1999整除吗？能被2000整除吗？ （2）能被4整除吗？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）能被91整除吗？请说明理由． 【变式2】  （24-25七年级下·河北承德·期末）（1）用简便方法计算： （2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）能被7整除吗?试说明理由． 【题型 5】利用几何图形探究因式分解 【例题5】（根据北师大八下113页数学理解第3题改编）（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（   ） A．x2＋2x＝x（x＋2） B．x2－2x＋1＝（x－1）2 C．x2＋2x＋1＝（x＋1）2 D．x2＋3x＋2＝（x＋2）（x＋1） 【变式2】  （24-25八年级下·河南郑州·期末）将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 【变式3】（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式．例如：，，都把一个多项式进行了因式分解．请回答下列问题： 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用张号、张号和张号卡片拼出一个新的图形如图②．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要号卡片 张，号卡片 张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据张小纸片的面积和等于大纸片长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 ，并画出拼图． 三.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题8分，合计32分） 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共4题，每小题8分，合计32分） 5．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 10．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知整式，整式． （1）若，求的值； （2）若可以分解为，求的值． 11．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 12．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.1 二元一次方程组的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】因式分解 1 【题型 1】因式分解的判断 2 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 4 【题型 3】利用因式分解的结果求代数式的值 5 二.培优题型精析（教材挖掘） 8 【题型 4】利用因式分解定义进行证明 8 【题型 5】利用几何图形探究因式分解 9 三.同步检测 13 （一）选择题（共4题，每小题8分，合计32分） 13 （二） 填空题（共4题，每小题8分，合计32分） 14 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 16 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】因式分解 1、 因式分解定义 1、把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。 【要点提示】构造因式分解的条件：（1）对象：多项式，即等式的左边是一个多项式；（2）结果：整体的积的形式，即等式的右边必须是整体的积的形式；（3）因式分解也可称为分解因式。 2、 因式分解与整式乘法关系 整式乘法：把几个整式的乘积化为一个多项式形式，即从整式乘积转化为整式和差的形式； 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，即从几个单项式的和差转化为整式乘积的形式。 简而言之：因式分解与整式乘法互为逆运算。 【题型 1】因式分解的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）； （2）． 【答案】（1）不正确，因为结果不是乘积的形式；（2）正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 解：（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式2】（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）不是因式分解，理由见分析；（2）是因式分解，因式分别为，和；（3）不是因式分解，理由见分析 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 解：（1）解：不是因式分解． 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，故不是因式分解． （2）解：是因式分解．因式分别为，和． （3）解：不是因式分解． 理由：因为不是整式，故该变形不是因式分解，故不是因式分解． 【题型 2】已知因式分解的结果求参数 【例题2】（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 【题型 3】利用因式分解的结果求代数式的值 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 4】利用因式分解定义进行证明 【例题4】（根据北师大八下113页问题解决第4题改编）（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）能被1999整除吗？能被2000整除吗？ （2）能被4整除吗？ 【答案】（1）能被1999，2000整除；（2）能被4整除 【分析】（1）根据提公因式法分解因式把1999提出来，化为几个因式积的形式，从而可得到整除的结论； （2）根据提公因式法分解因式把提出来，化为几个因式积的形式，从而可得到整除的结论． 解：（1）因为， 所以能被1999，2000整除； （2）因为， 所以能被4整除． 【点拨】此题考查了因式分解在有理数混合运算中的运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）能被91整除吗？请说明理由． 【答案】能，见分析 【分析】本题考查因式分解在计算中的应用，先提公因式再计算判断，即可解题． 解：能．理由如下： 因为， 所以能被91整除． 【变式2】  （24-25七年级下·河北承德·期末）（1）用简便方法计算： （2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）能，理由见分析 【分析】（1）提公因数，进而即可求解； （2）提，分为偶数、奇数，两种情况讨论，即可求解． 解：（1）原式 （2）能 ∵ 若为偶数，则必为奇数 若为奇数，则必为偶数 在中，，必有一个是偶数 ∴一定能被2整除 【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）能被7整除吗?试说明理由． 【答案】能，详见分析 【分析】提公因式，进而得出，进而即可求解． 解：能．理由： ； 能被7整除． 【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【题型 5】利用几何图形探究因式分解 【例题5】（根据北师大八下113页数学理解第3题改编）（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，即可解答． 解：图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为， 则． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（   ） A．x2＋2x＝x（x＋2） B．x2－2x＋1＝（x－1）2 C．x2＋2x＋1＝（x＋1）2 D．x2＋3x＋2＝（x＋2）（x＋1） 【答案】D 【分析】表示出不同情况下大长方形的面积，即可得到结果． 解：小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式x2+3x+2因式分解的结果为（x+1）（x+2），即x2＋3x＋2＝（x＋2）（x＋1）． 故选D． 【点拨】本题考查了利用图形进行多项式的因式分解，根据图形的面积关系得到因式分解是解题的关键． 【变式2】  （24-25八年级下·河南郑州·期末）将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题． 画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可． 解：拼接如图： 长方形的面积为，还可以表示面积为：． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式．例如：，，都把一个多项式进行了因式分解．请回答下列问题： 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用张号、张号和张号卡片拼出一个新的图形如图②．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要号卡片 张，号卡片 张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据张小纸片的面积和等于大纸片长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 ，并画出拼图． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4），图见分析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，多项式的乘法与图形的面积以及因式分解的应用． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 解：（1）由图得，正方形面积为，或， ∴， 故答案为：； （2）， ∴需要2号卡2个，三号卡3个， 故答案为：2，3； （3）长方形面积为，或， ∴， 故答案为：； （4）， 如图所示， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题8分，合计32分） 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 3．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． （2） 填空题（共4题，每小题8分，合计32分） 5．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 8．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为______． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）是；理由见分析；（2）不是；理由见分析；（3）是；理由见分析；（4）是；理由见分析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知因式分解的定义是关键． 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 解：（1）解：是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． 10．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知整式，整式． （1）若，求的值； （2）若可以分解为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵可以分解为， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 11．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】（1）4；（2）另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 解：（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 12．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见分析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $