专题04 平行线拐点模型综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期

专题04 平行线拐点模型综合压轴 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，直线l与，分别交于点G，H，．将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点B，C在直线l上，，，直线与直线交于点D． (1)如图1，________．（用含α的式子表示）； (2)直线分别与直线，交于点F，E． ①如图2，作的平分线交直线于点K，若恰有，求α的度数； ②从图1的位置开始，将三角板沿直线l平移，直接写出与的数量关系：___________． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）过点B作，即可得到，进而得到，，燃弧根据角的和差解答即可； （2）①过点A作，可以得到，进而得到，，然后解答即可； ②分为点E在H的左侧和点E在H的右侧两种情况，过点A作，即可得到，然后根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：过点B作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 解得； ②当点E在H的左侧时，如图，过点A作， 则， ∴，， ∴； 当点E在点H的右侧时，如图，过点A作， 则， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 【答案】(1)80，140，140 (2)详见解析 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可； （2）过P作，根据平行线的判定和性质证明，利用平行公理求出最后结果即可； （3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得：，，， 故答案为：80；140；140． （2）证明：如图，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． （3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 即； 当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， 即； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，非负数的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，画出图形，作出辅助线，数形结合． 3．（24-25七年级下·北京·期中）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出． (1)①如图1，点O在一条格线上，当时，_____°； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①38；②，证明见解析； (2)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由平行线的性质，所以； ②作平行于格线，由平行线的性质得； （2）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图： ①如图格线都互相平行， ，， ， ， ， 故答案为：38； ②， 证明：如图2：作平行于格线， 格线都互相平行， ，， ； （2）解：或， 理由：分两种情况： 当射线在的内部，如图： ，， ， 是的一个外角， ， 格线都互相平行， ， ， ； 当射线在的外部，如图： ，， ， 是的一个外角， ， 格线都互相平行， ， ， ， 综上所述：或． 4．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，由平行线及角平分线得到设，由，得到，同理可得，即可得； （2）①依据题意即可补全图形；②由角平分线设，平行得到，，而，则，即，即，即可求证． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴设， ∵， ∴， 即，同理可得， ∴， 即在题干图中：； （2）解：①补全图： ②，理由如下： 证明：平分， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·北京·期中）问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，小文把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上， ①在图2的基础上，与的角平分线交于点，若，请画出图形并直接写出的度数________； ②在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)①图见详解，；②的值不变， 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质和三角板的知识，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）过点G作，则，有，进一步得，结合已知即可求得； （2）①由（1）得，结合三角板的知识得，根据角平分线的性质得； ②过点F作，同理可证得，设，结合角平分的性质得即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴．，解得； （2）解：①如图， 由（1）得， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴； ②的值不发生变化 过点F作，如图， 同理可证得， 设， ∵平分交直线于点，平分交直线于点， ∴． 6．（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行 (2)互相平行，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差是解题关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义，得出，可证，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，可得，根据平分，平分，可得，得出即可； （3）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：结论为：． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，． (1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______； (2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明； (3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处．已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质与判定和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）点与点重合，根据邻补角互补，先求得，再求得，然后根据平行线的性质即可求解； （2）根据可得，然后证得，再根据角平分线的性质，即可得，然后根据平行线的判定即可求解； （3作，，垂足为，然后可得，，再根据“入射角反射角”原理，可得，然后求得，再根据的取值范围即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：点与点重合，如图：且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作，，垂足为，由题意可得为法线，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵“入射角反射角”原理， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 8．（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 9．（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点． ①请你依据题意，补全图形； ②试猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）①依据题意，补全图形即可； ②过点作，则，由平行线的性质得到，， 设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解；①补全图形如图， ②，理由如下， 过点作， ∵， ， ，， 设，， 、分别平分、， ，， 又， ， 又，， ∴ ， ， ， ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 【答案】(1) (2)①  ②画图见解析； 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合． （1）根据，，得出，根据，得出，求出，根据，得出即可； （2）①过点G作，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据三角形内角和定理求出；②根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点G作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若反射光线恰好与平行， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线拐点模型综合压轴 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，直线l与，分别交于点G，H，．将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点B，C在直线l上，，，直线与直线交于点D． (1)如图1，________．（用含α的式子表示）； (2)直线分别与直线，交于点F，E． ①如图2，作的平分线交直线于点K，若恰有，求α的度数； ②从图1的位置开始，将三角板沿直线l平移，直接写出与的数量关系：___________． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 3．（24-25七年级下·北京·期中）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出． (1)①如图1，点O在一条格线上，当时，_____°； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 5．（24-25七年级下·北京·期中）问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，小文把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上， ①在图2的基础上，与的角平分线交于点，若，请画出图形并直接写出的度数________； ②在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 6．（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，． (1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______； (2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明； (3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处．已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围． 8．（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 9．（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点． ①请你依据题意，补全图形； ②试猜想的度数，并证明你的结论． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $