专题05 平面直角坐标系综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期

专题05 平面直角坐标系综合压轴 1．（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值” 例如：对于点，因为，所以． (1)已知，，，将、、按从小到大的顺序排列用“”连接______； (2)如图1，点，，点在线段PE上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，，，，若以点P、Q、E、F为顶点的四边形的边上存在离心值为1的点，则m的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①M坐标为或；②图形见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，认真阅读，了解并熟练运用“离心值”的定义是解决本题的关键 （1）根据“离心值”的定义求解即可； （2）①由题意得，点的横坐标，纵坐标在和3之间，再根据“离心值”的定义即可确定的坐标； ②根据“离心值”的定义求出的坐标，根据的取值正确画图即可； （3）分析以、、、为顶点的四边形各边的坐标特征，结合“离心值为1”的条件，确定m的取值范围． 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，， ， 故答案为：； （2）解：已知，，线段是竖直线，y从到 ①， 设，，， 若，则，令，得或， 若，则，不可能等于2， 所以M坐标为或； ②根据离心值的定义可知，对于线段PE上的点，它的横纵标，， ， ， ， 点M组成的图形即为线段，其中、，该图形的特征为横坐标为，纵坐标绝对值不超过， ； （3）解：已知：四边形是中心在的菱形实为正方形，顶点为： ，，，， 其边界满足方程， “离心值”表示点满足， 即中心在原点的单位正方形轴对齐的边界： 竖边：，， 横边：，， 当与竖边相交时： 代入到菱形方程：， ， 要求存在满足， 即， 即， 解得或， 当与横边相交， 代入到菱形方程：， ， 要求存在满足， 若， 则， 若， 则， 综上，或时都满足题意， 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【答案】(1) (2)①满足等式的值即可，答案不唯一，② (3)① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【分析】本题考查新的定义，线段的平移，正确理解轴距等点是解题的关键． （1）正确理解轴距等点，逐个计算，即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值，即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点即可列出等式，即可解答； （3）①设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出的最小值；②依据数形结合，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解∶ 到两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为， 故点的轴距等点是． 答案为C． （2）①设点的坐标为， ∵点在第三象限，点与点为轴距等点， ∴，，， 即，满足该等式的值不唯一， 如，． ②由①得，， ∴， ∵点与点仍为轴距等点， ∴，即， ∴， 即， ∴或（不合题意，舍去） 解得， ∴ ∴E， 故答案为． （3）①设， 由，可得，且， ∵，两点为轴距等点， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时为最小值． 故答案． ②如图所示，点，，设线段与交点为E， ∵线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在左侧，有 ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在右侧，有 ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在、之间（不包括A、B）， ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段． 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义、平面直角坐标系，理解“对分点”的定义是解题的关键． （1）①根据“对分点”的定义即可求解；②根据“对分点”的定义即可求解； （2）由题意得，点的“对分点”在线段上，得出点的坐标是，再对点的位置分情况讨论即可解答； （3）分别求出点、的“对分点”、，根据图形V是“对分图形”，得出正方形与线段有交点，再对点、的位置分情况讨论，结合图形即可解答． 【详解】（1）解：①， 点A的“对分点”的坐标是． 故答案为：； ②点A的“对分点”是点B，， 点B的坐标为， 又， ，， 解得：，， 点的坐标是 故答案为：． （2）解：图形U是“对分图形”，线段不是“对分图形”， 点的“对分点”在线段上， 点的坐标是， b为非零整数 是整数，且， 若点与点重合，则，解得， ； 若点与线段的中点重合，则，解得， ； 若点与点重合，则，不符合题意，舍去； 所有满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． （3）解：点，， 点的“对分点”坐标为，点的“对分点”坐标为， 图形V是“对分图形”，正方形和线段不是“对分图形”， 正方形与线段有交点， 当点在上，则；当点在上，则； 当点在上，则，解得；当点在上，则，解得； 结合图形可得，k的取值范围为或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键． （1 ）根据对称中心的坐标公式代入计算即可； （2 ）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题； （3）利用（2）中规律即可解答． 【详解】（1）解：∵点，， ∴的坐标为，即； （2）解：由题意可知：，， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ……； ∴六次一个循环， ∵， ∴； （3）解：由（2）知六次一个循环， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 6．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．已知点，，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为_______；已知点M在x轴上，的值为4，则点M的坐标为________． (2)若平面上有一点D，使得最小，则D点坐标为________． (3)如果P是不同于A，O的点，且满足，请用文字语言描述出所有符合条件的点P所在的位置． 【答案】(1)；或； (2)； (3)轴负半轴或轴负半轴或第三象限． 【分析】本题属于新定义问题，考查了平面直角坐标系坐标的知识，有一定的难度，理解题目中“纵横距离”的意义是解题的关键． （1）第一空根据“纵横距离”进行代入计算即可；第二空设点M，再根据“纵横距离”进行代入计算即可； （2）由题意设点的坐标为，进而由绝对值的几何意义进行分析即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据并结合绝对值的几何意义进行分析即可．注意对的分类讨论． 【详解】（1）解：，， ； 设点M， ， ， ， 或， 点M的坐标为或； 故答案为：；或； （2）解：设点的坐标为， ，，， 由绝对值的几何意义可知：表示分别与的距离和， 表示分别与的距离和， 当时，其距离和最小， 最小，则D点坐标为； 故答案为：； （3）解：设点的坐标为，且；， ，， ， ， 化简得：， ， 由绝对值的几何意义可知： 至0的距离与至2的距离之差比至3的距离与至0的距离之差小5， 满足的条件有或或， 符合条件的点P所在的位置为：轴负半轴或轴负半轴或第三象限． 7．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点为点的“控变点”． (1)点的“控变点”的坐标为________； (2)已知点的“控变点”的坐标为，求，的值； (3)长方形的顶点坐标分别为，，，． 如果点在第二象限，且点的“控变点”在长方形的边上或内部，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)，或， (3)的最大值为，最小值 【分析】（1）根据定义点的“控变点”的坐标为，即． （2）根据点的“控变点”的坐标为，得，，去绝对值求，的值即可； （3）根据点在第二象限，得到，根据定义计算点的“控变点”的横坐标为，即，结合已知长方形的顶点坐标分别为，，，，点在长方形的边上或内部，得到，解答即可． 【详解】（1）解：根据定义点的“控变点”的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：根据点的“控变点”的坐标为， 得，， ∴或，， ∴，， 或，， ∴，或，． （3）解：∵点在第二象限， ∴， ∴点的“控变点”的横坐标为，， ∴， ∵长方形的顶点坐标分别为，，，，点在长方形的边上或内部， ∴， ∴， ∴解集为， ∴的最大值为，最小值． 【点睛】本题考查了新定义，绝对值的化简，坐标与象限，解不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 8．（24-25七年级下·北京·期中）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)见解析， (2)（北偏东，） 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东，）． 故答案为：（北偏东，）． 9．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 【答案】(1)不是，是 (2)①且；②或 【分析】本题考查平分点的定义，点的横纵坐标特点，解题的关键在于理解平分点的定义． （1）根据平分点的概念进行判断，即可解题； （2）①根据平分点定义，分别分析，，，，的横纵坐标特点，即可得到运动时间的取值范围； ②根据平分点定义，分别分析，，，，，，的横纵坐标特点，根据横纵坐标特点找出满足横坐标或纵坐标能平分的的取值，进而讨论另一种坐标是否能被平分，即可解题． 【详解】（1）解：， 点不是，，，的平分点， ，， 是，，，的平分点， 故答案为：不是，是． （2）①解：当运动时间为时，，， ， 即当纵坐标为时，能平分，，，，的纵坐标， ，，，，不存在平分点时， ，，，，的横坐标不能平分， ， 且时，，，，，的横坐标不能平分， 故答案为：且； ②解：，，，，，，有且仅有一个平分点， 又横坐标中，， 纵坐标中，， 当且仅当或（即）时，能够平分横坐标， 此时，当时，纵坐标，不能平分，舍去； 当时，纵坐标，即纵坐标为且只能为时，能平分； 又当且仅当（即）或（即）时，能够平分纵坐标， 此时，当时，横坐标，即横坐标为且只能为时，能平分； 当时，横坐标，不能平分，舍去； 综上所述，或时，点，，，，，，有且仅有一个平分点． 10．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，，三点给出如下定义：，记，若，则称，，三点满足“和距关系”．已知点． (1)已知，，． ① ； ②，，三点 “和距关系”；，，三点 “和距关系”（填写“满足”或“不满足”）； (2)已知，． ①点位于第三象限，证明：，，三点满足“和距关系”； ②点位于第一象限，且，，三点满足“和距关系”，直接写出，的取值范围． 【答案】(1)①；②满足，不满足 (2)①见解析；②且或且 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，理解“和距关系”的定义是解答本题的关键． （1）①根据题干中，计算公式计算即可，②根据“和距关系”即可； （2）①根据“和距关系”的定义证明即可；②根据取值范围分析情况，看是否满足题意，进而求得取值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，，，， ∴，，，， ∴， ，，， ∴，，三点满足“和距关系”；，，三点不满足“和距关系”； （2）①证明：∵点（）位于第三象限，，， ∴， ， ， ∴， ∴，，三点满足“和距关系”； ②∵，，， 当时， 则， ∴， ∴此时，，，三点满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点不满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点不满足“和距关系”； 综上所述，且或且时，，，三点满足“和距关系”． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面直角坐标系综合压轴 1．（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值” 例如：对于点，因为，所以． (1)已知，，，将、、按从小到大的顺序排列用“”连接______； (2)如图1，点，，点在线段PE上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，，，，若以点P、Q、E、F为顶点的四边形的边上存在离心值为1的点，则m的取值范围是______． 2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 4．（24-25七年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 5．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 6．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．已知点，，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为_______；已知点M在x轴上，的值为4，则点M的坐标为________． (2)若平面上有一点D，使得最小，则D点坐标为________． (3)如果P是不同于A，O的点，且满足，请用文字语言描述出所有符合条件的点P所在的位置． 7．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点为点的“控变点”． (1)点的“控变点”的坐标为________； (2)已知点的“控变点”的坐标为，求，的值； (3)长方形的顶点坐标分别为，，，． 如果点在第二象限，且点的“控变点”在长方形的边上或内部，直接写出的最大值与最小值． 8．（24-25七年级下·北京·期中）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 9．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 10．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，，三点给出如下定义：，记，若，则称，，三点满足“和距关系”．已知点． (1)已知，，． ① ； ②，，三点 “和距关系”；，，三点 “和距关系”（填写“满足”或“不满足”）； (2)已知，． ①点位于第三象限，证明：，，三点满足“和距关系”； ②点位于第一象限，且，，三点满足“和距关系”，直接写出，的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $