专题05 特殊平行四边形综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 特殊平行四边形综合压轴 (动点+判定+存在性问题) 1.(24-25八年级下·北京海淀·期中)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点，点B关于直 线AE的对称点为点P,BP与AE交于点M,延长DP、AE交于点F. D B (1)①依据题意补全图形： ②求∠AFD的度数； (②)连接BF,用等式表示线段AF,BF,PD的数量关系，并证明： (3)若CP‖AE,AB=2,直接写出ME的长， 【答案】(1)①见解析；②45° (2)V2AF=2BF+PD,见解析 ③) 5 【分析】(1)①根据要求画出图形： ②连接AP,过点A作AH⊥DF于点H,证明LFAH=45°可得结论： (2)结论：√2AF=2BF+PD.利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可； (3)如图2中，由题意，当点E是BC的中点时，EM是△BCP的中位线，求出PC可得结论 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质， 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 【详解】(1)解：①图形如图1所示： 图1 1/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②连接AP,过点A作AH⊥DF于点H, :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， B,P关于AE对称， :AE垂直平分线段BP, :.AB AP, ∴∠BAM=∠PAM, AB=AP,AD=AB, ∴.AD=AP, :AH⊥DP, .∠DAH=∠HAP, ∠FAH=∠PAM+∠HAP=)∠PAB+ 2 4Dp-号BD=45, :∠AHF=90°， ∠AFD=90°-45°=45°； (2)结论：√2AF=2BF+PD. 理由：如图1中，B,P关于AE对称， :FB=FP, :∠AFH=∠FAH=45°， :AH =HF, :AF =2HF, F=PF+HP.HP- FFPD) .√2AF=2BF+PD; (3)如图2中，由题意，当点E是BC的中点时，EM是△BCP的中位线， .PCI‖AE, 2/32 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D M 四边形ABCD是正方形， F 图2 AB=BC=2,∠ABC=90°， PB⊥AE, PC⊥BP, ∠AMB=∠BPC=90°， :∠ABM+∠PBC=90°，∠PBC+∠PCB=90°， .∠ABM=∠BCP, AB BC, △AMB≌△BPC(AAS), :BM =PC, BM PM, :PB=2PC, .4PC2+PC2=22, PC=25 5 .ME-1PC= 2.(24-25八年级下，北京期中)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是线段BC上一动点（不与点B,C 重合)，连接AE,F在线段CD上，连接EF,满足∠CEF+∠AEB=I20°. D D E C B 图1 备用图 (I)依题意补全图1，用等式表示AB、EC和CF的数量关系，并证明： BE (②)连接AC,过F作BC的平行线，交AC于点G.写出一个 的值，使四边形ECFG为平行四边形，并 AB 3/32 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 证明. 【答案】(I)AB=EC+CF,图及证明见解析 ©治-子证到地断 【分析】(I)补全图形，连接AC,过点E作EG∥AC交AC于点G,证明ABC,△ADC,△GEC是等 边三角形，则EG=EC=GC,∠EGC=60°，再根据∠CEF+∠AEB=120°得∠AEF=∠EGC=60°，进而得 ∠I=∠2，由此可依据“ASA”判定△AEG和△FEC全等，则AG=CF,继而得AC=GC+AG=EC+CF, 据此即可得出AB、EC和CF的数量关系： 2)当线=时，四边形ECFG为平行四边形，设BE=a,AB=2a,进而得EC=a,由4)的结论得 AB=EC+CF,则CE=CF=a,再证明△FGC是等边三角形得FG=CF,继而得FG=EC,据此即可判定 四边形ECFG为平行四边形. 【详解】(1)解：补全图形如图1①所示： AB、EC和CF的数量关系是：AB=EC+CF,理由如下： E 图1① 连接AC,过点E作EG∥AB交AC于点G,如图所示： D G :四边形ABCD是菱形， 2 B E C 图1① AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠D=∠B=60°， △ABC和△ADC都是等边三角形， LACB=LB=60°，AB=AC,∠ACD=60°， .∠ECF=∠ACB+∠ACD=120°， :EG∥AB, ·∠GEC=∠B=60°， :∠GEC=∠ACB=60°， △GEC是等边三角形， 4/32 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :EG=EC=GC,∠EGC=60°， ∠AGE=180°-∠EGC=120°， ∠AGE=∠ECF=120°， :∠CEF+∠AEB=I20°， ∠AEF=180°-∠CEF+LAEB=60°， LAEF=LEGC=60°， .∠1+∠GEF=LGEF+∠2， .∠1=∠2， 在△AEG和△FEC中， I∠AGE=∠ECF EG=EC, ∠1=∠2 ∴.△AEG≌△FEC(ASA), AG=CF, AC=GC+AG=EC+CF, :AB=EC+CF (2)解：当BE=1 =一时，四边形ECFG为平行四边形，证明如下：如图2所示： AB 2 D G BE 1 AB 2' E 图2 设BE=a,AB=2a, :BC=AB=2a, :EC=a, 由(1)可知：AB=EC+CF, :2a=a+CF, :CF=a, :CE CF=a, 5/32 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 FG∥BC, :∠FGC=LACB=60°， 又：∠ACD=60°， :∠FGC=∠ACD=60°， :△FGC是等边三角形， :FG=CF, :FG=EC, ·四边形ECFG为平行四边形. 【点晴】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定 与性质，理解菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，全等三角形的判定与 性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的难点， 3.(24-25八年级下·北京期中)如图，在正方形ABCD外侧作线段AF,使AF=AB,连接FB并延长交 DC的延长线于点E,过点E作EG∥AD,与直线AF交于点G. 刀 】 备用图 (1)依题意补全图形： (2)若LFAB=a,求∠BEC的大小（用含a的式子表示）； (3)用等式表示线段AG,GE,CE之间的数量关系，并证明. 【答案】()见解析 R)∠BEC=90-2a (3)GE=AG+CE,证明见解析 【分析】(1)根据题目描述，按顺序补全图形，明确各点、线的位置关系， (2)利用等腰三角形三线合一性质，结合正方形角的特征，通过角的转化求∠BEC, (3)通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形，利用全等、平行四边形性质及等腰三角形判定，推导线 段关系。 【详解】(1)解：按照题目中“连接FB并延长交DC的延长线于点E,过点E作EG‖AD,与直线AF交 于点G”的描述，补全图形如下. 6/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G E (2)解：过点A作AH⊥BF,垂足为H F :AF=AB,AH⊥BF H B G E ∠8AH=B4F=0 在正方形ABCD中，AB‖DC,∠ABC=90°， .∠ABH+∠EBC=90°， 又：∠BEC+∠EBC=90° :∠BEC=∠ABH 在RtABH中，∠ABH=90°-∠BAH=900-1C ∠BEc=90°-)a 0 (3)解：过点A作AM⊥FB,交CB延长线于点M,在GE上截取NE=CE,连接AN D 四边形ABCD是正方形， M G AB=BC,∠ABC=∠BCE=90°，EGI‖ADI BC, ∠CBE=LBEG, :AM⊥FB, ∠AMB+∠MAB=90°， 又∠MAB+∠ABF=90°，∠EBC+∠ABF=90°， ∠MAB=∠EBC 7132 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △ABM≌△BCE(ASA :BM =CE,AM=BE NE CE, :BM =NE, 又BM II NE :四边形MNEB是平行四边形 ∴.MN II BE,MN=BE, :MN AM :∠MAN=∠MNA :∠MAG=∠BAM=∠CBE=∠BEG=∠MNG :.∠GAN=∠GNA .AG=GN GE=GN +NE,NE =CE,GN=AG :GE=AG+CE 【点晴】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边 形的判定与性质等知识，熟练掌握这些图形的性质，通过作辅助线构造全等和特殊四边形来转化线段关系 是解题的关键。 4.(24-25八年级下·北京期中)已知矩形ABCD,点E在射线BC上，CG是矩形外角∠DCF的角平分线. (1)如图1，当四边形ABCD是正方形，点E是BC边的任意一点，∠AEG=90°且EG交CG于点G. ①求证：AE=EG. G 图1 ②在①的条件下，如图2，连接AC,过点E作EP⊥AC,垂足为P,若正方形边长为4，当四边形ECGP是 平行四边形时，直接写出BE的长 8/32 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图2 (②)如图3，四边形ABCD是矩形AB>AD),在线段BC的延长线上取一点E,使LBAE=45°，AE交CD于 点H,交CG于点G,连接BG,依题意补全图形，用等式表示线段BA,BC,BG之间的数量关系，并证 明. D G B F 图3 【答案】（①D见解析：② (2)图见解析，AB2+BC2=2BG2,证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三 角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. (1)①在AB上截取BH=BE,连接EH,由正方形的性质可得AB=BC,∠B=∠BCD=∠DCF=90°，则 LBHE=LBEH=45°，可证明HA=CE,∠BAE=∠CEG；再证明∠AHE=∠ECG,进而可证明 △AHE≌△ECG(ASA,则AE=EG; ②在AB上截取BH=BE,连接EH,同理可证明△AHE≌△ECG,则HE=CG;可证明△CPE是等腰直角 三角形，得到PE=PC,则CE=√2PE;由平行四边形的性质得到CG=PE,则可推出CE=√2HE,由勾 股定理得到HE=√2BE,则CE=2BE,据此可得答案； (2)连接DG,BD,可证明aAHD是等腰直角三角形，得到AD=DH,∠AHD=45°，再证明△CHE是等 腰直角三角形，则可得到CG⊥HE,CG=HG,∠HCG=45°，证明△BCG≌△DHG(SAS),得到 DG=BG,∠BGC=∠DGH,证明LDGB=90°，由勾股定理得BD2=BG2+DG=2BG2, BD2=AB2+AD2,则AB2+AD=2BG2,即AB2+BC2=2BG2. 【详解】(I)解：①如图所示，在AB上截取BH=BE,连接EH, 9/32 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 “四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠B=∠BCD=∠DCF=90°， LBHE=∠BEH=45°， ∠AHE=180°-∠BHE=I35°； AB-BH =BC -BE .HA=CE; ∠AEG=90°， ∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠CEG=90°， ∴.∠BAE=∠CEG; :CG是矩形外角∠DCF的角平分线， ÷∠DCG= 2∠DCF=45, ∠ECG=∠DCE+∠DCG=135°， ∠AHE=∠ECG, :.△AHE≌AECG(ASA), ∴AE=EG; D G E 图1 ②如图所示，在AB上截取BH=BE,连接EH, 同理可证明△AHE≌△ECG, .HE=CG :四边形ABCD是正方形， ∠ACB=45°，∠BCD=∠DCF=90°， :PE⊥AC, ∴△CPE是等腰直角三角形， .PE=PC, 10/32 专题05 特殊平行四边形综合压轴 （动点 + 判定 + 存在性问题） 1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． (1)①依据题意补全图形； ②求的度数； (2)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的长． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，E是线段上一动点（不与点B，C重合），连接，F在线段上，连接，满足． (1)依题意补全图1，用等式表示、和的数量关系，并证明； (2)连接，过F作的平行线，交于点．写出一个的值，使四边形为平行四边形，并证明． 3．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形外侧作线段，使，连接并延长交的延长线于点，过点作，与直线交于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知矩形，点E在射线上，是矩形外角的角平分线． (1)如图1，当四边形是正方形，点E是边的任意一点，且交于点G． ①求证：． ②在①的条件下，如图2，连接，过点E作，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形是平行四边形时，直接写出的长_______． (2)如图3，四边形是矩形，在线段的延长线上取一点E，使，交于点H，交于点G，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 5．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且． (1)依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）； (2)若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明； (3)连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 6．（24-25八年级下·北京·期中）已知正方形和一动点，连接，在直线上方找一点，使得，，连接，． (1)如图1，当点在正方形内部时， ①依题意补全图1： ②求证：； (2)如图2，当点在正方形外部时，连接，取中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (3)若点运动过程中，始终满足，则的最小值是______． 7．（24-25八年级下·北京大兴·期中）正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)如图1，当点在线段上． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明． (2)当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 8．（24-25八年级下·北京·期中）如图1，在正方形中，点在上，点在上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)在线段上截取点使得，连结并延长，交于点． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 9．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知正方形，是平面内一动点，且，连接，． (1)如图1，当点在正方形内部且在对角线上时，若，则______，四边形的面积为______； (2)当点在正方形的外部时，设 ①在图2中依题意补全图形，并求的度数： ②作的平分线交于点，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (3)当时，在②的条件下，请直接写出线段，，之间的数量关系． 10．（24-25八年级下·北京·期中）在正方形和正方形中，为上一动点（不与重合），在延长线上， (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2连接交于点，连接，判断与的数量关系，并说明理由． (3)如图3连接交于点，连接，若点在运动的过程中，当平分时，过点做于点，直接写出与的数量关系． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $