专题04 勾股定理综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

专题04 勾股定理综合压轴 （折叠问题 + 最短路径 + 面积计算） 1．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解： 我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明． 帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵， 即　　　 ∴． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质，勾股定的证明，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意用两种方法表示出的面积，列等式求解即可． 【详解】证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴． ∵， 即 ∴ ∴ 即 ∴． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G到直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）解：如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级下·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 5．（24-25八年级下·北京·期中）【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 【答案】（1）；（2）9；（3）12 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， 即， 解得， 所以， 所以． 6．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）①证明：， ． ， ． 在和中， ． 沿直线翻折，得到， ， ． ②， ，， ， ，， ． ， ． 由翻折得，，， ， ． ， 点、点、点三点共线， ． 设点到直线的距离为， 则， 即． 答：点到直线的距离为． （2）解：如图， 过点作交的延长线于点， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，， ，． 由翻折得，，， ， ，即． ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 【答案】（1）的值为；（2）杆子底部滑动的距离为；（3）证明见解析；（4）的值为20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）在中，运用勾股定理求解即可； （2）根据题意求出的值，再在中，运用勾股定理求出，进而求解即可； （3）在和和和中，运用勾股定理即可求证； （4）延长、交于点，运用（3）中的结论即可求解． 【详解】（1）在中， ； （2）由题意可知， 在中， ， ， 即杆子底部滑动的距离为； （3）证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ；； ； （4）如图，延长、交于点， ， ， 则由（3）中结论可知 ． 8．（24-25八年级下·北京·期中）已知点，分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点落在处，点落在处．当，时，请解决下列问题： (1)如图，若点恰好与点重合，与相交于点，连接、，求的长； (2)如图，若点恰好在边上时，交于点，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，关键是折叠的性质的应用； （1）由折叠得到，再利用勾股定理即可求得； （2）利用折叠及判定三角形全等即可得证结论； （3）利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ， 解得， 的长为； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ≌， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ②当在线段上时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 9．（24-25八年级下·北京·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 10．（24-25八年级下·北京·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 2 / 8 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5．（24-25八年级下·北京·期中）【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 6．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 7．（24-25八年级下·北京·期中）（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 8．（24-25八年级下·北京·期中）已知点，分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点落在处，点落在处．当，时，请解决下列问题： (1)如图，若点恰好与点重合，与相交于点，连接、，求的长； (2)如图，若点恰好在边上时，交于点，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 9．（24-25八年级下·北京·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 10．（24-25八年级下·北京·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $