专题04 勾股定理与折叠、最值综合压轴（期中真题汇编）八年级数学下学期人教版

专题04 勾股定理与折叠、最值综合压轴 1．（24-25八年级下·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图①，在锐角中，，点是边上一点，以为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)如图②，连结．若，，当最小时，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行作答即可； （2）因为作点关于直线的对称点，得，，根据等边三角形的性质，，，整理得，再证明是等边三角形，则，即可作答． （3）当时，此时线段的长度最小（垂线段最短），线段的长度最小，运用勾股定理得，，在中，，再结合三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点是边上一点，以为圆心，为半径作圆弧交于点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：延长交于点，如图所示： ∵作点关于直线的对称点， ∴，， 即，， 由（1）得是等边三角形， ∴， 则， 故， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：依题意，连接，如图所示： ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵点是边上一点， ∴当时，此时线段的长度最小（垂线段最短）， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得（负值已舍去） ∴ 在中，， ∴， 则， 解得（负值已舍去） 由（1）得是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角三角形，三角形内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，C是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接． (1)和相等吗？请说明理由． (2)当的周长最小时，求的值； (3)、和具有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟知模型证明，利用全等三角形的性质进行线段的等量转换是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）当垂直时，的周长最小，即可解答； （3）证明，利用勾股定理和等量代换可得，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 即， 在与中， ， ， ； （2）的周长为， 当最小时，的周长最小， C是边上任意一点， 当垂直时，的周长最小， ，， , 根据面积法可得此时； （3）解：，理由如下： ，， ，， ， ，即， ， 4．（45-25八年级下·山东临沂·期中）【材料阅读】 已知直线同侧有两个点，要在上确定一个点，使得最短。小明的做法如下：作关于直线的对称点，根据轴对称的性质，对于上任意一点，都有，因此连接与直线的交点即为所求点，此时最短． （1）上述材料中小明判断最短的依据是_____； 【知识应用】 （2）如图2，有两条河和在村庄处交汇，它们的夹角，距离村庄500米处有一个种植园，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，则水渠总长度最短为_____米． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，平分，分别是边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）500；（3）的最小值为 【分析】（2）本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，理解轴对称性质的应用是解题的关键． （1）在直线上任取一点，连接，证即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交于，则点就是所求作的点，即：在点处开沟挖渠，水渠总长度最短，连接，证为等边三角形，求得的长即可求解； （3）在上取一点，使得，连接交于点，连接，证，当时，点到的距离最小，即最小． 【详解】（1）两点之间线段最短．理由如下： 在直线上任取一点，连接， 点在上，点关于直线对称， ， 当点与点不重合时，，即：， 当点与点重合时，，即：， ， 点是所求作的点（两点之间线段最短）． （2）作点关于直线的对称点，连接交于，则点就是所求作的点，即：在点处开沟挖渠，水渠总长度最短， 连接， 根据轴对称的性质，得， 的周长， ， （米）， 为等边三角形， （米），即：建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，水渠总长度最短为500米． 故答案为：500； （3）在上取一点，使得，连接交于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， 当时，点到的距离最小，即最小， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线得出，进而由三角形全等的判定定理判断出，由全等三角形性质即可得出； （2）先判断出，再由等角的余角相等得出，再由折叠的性质得出即可判断出结论； （3）先判断出得出，，进而判断出得出，得出，最后用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：如图2所示： 同（1）可证，， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 由对称得， ； （3）解：连接，，过作交于，如图3所示： ， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 由对称得，，， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得： ． 9．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图1，，，，其中、满足． (1)直接写出、的值； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； (3)如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或3 【分析】本题考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）由折叠的性质及平行线的性质得，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分两种情况：；；利用折叠的性质及勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质知：， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故； （3）解：连接，如图， 由折叠的性质得：， 当时， ∵， ∴点H在线段上， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 当时，此时点H在线段上， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为或3． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______． ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长． 【答案】（1）6；（2）；（3）BQ的长为4或16 【分析】（1）①由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8−x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8−x，则GC＝EP＝x，DG＝CD−GC＝10−x，AG＝AE−GE＝x＋2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD−DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x−6，AQ＝x−10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）①如图1 由作图得：AE＝AB＝10， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝， 故答案为：6； ②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠C， 设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x， ∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC， ∴△GEF≌△PCF（ASA）， ∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x， ∴GC＝EP＝x， ∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝， 即BP＝． （2）分两种情况： ①点Q在线段AB上时，如图3所示： 由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°， ∴∠CB'D＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴CDAB， ∴∠DCQ＝∠CQB， ∴∠DCQ＝∠CQD， ∴QD＝CD＝10， ∴DB'＝＝6， ∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4； ②点Q在BA延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°， ∴DB'＝＝6， 设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAQ＝90°， 在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2， 解得：x＝16， 即BQ＝16； 综上所述，BQ的长为4或16． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与折叠、最值综合压轴 1．（24-25八年级下·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图①，在锐角中，，点是边上一点，以为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)如图②，连结．若，，当最小时，求的面积． 3．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，C是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接． (1)和相等吗？请说明理由． (2)当的周长最小时，求的值； (3)、和具有什么数量关系？并说明理由． 4．（45-25八年级下·山东临沂·期中）【材料阅读】 已知直线同侧有两个点，要在上确定一个点，使得最短。小明的做法如下：作关于直线的对称点，根据轴对称的性质，对于上任意一点，都有，因此连接与直线的交点即为所求点，此时最短． （1）上述材料中小明判断最短的依据是_____； 【知识应用】 （2）如图2，有两条河和在村庄处交汇，它们的夹角，距离村庄500米处有一个种植园，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，则水渠总长度最短为_____米． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，平分，分别是边上的动点，求的最小值． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 9．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图1，，，，其中、满足． (1)直接写出、的值； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； (3)如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______． ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $