专题05 平行四边形综合压轴（期中真题汇编）八年级数学下学期人教版

专题05 平行四边形综合压轴 （特殊平行四边形判定＋动点＋存在性问题） 1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）阅读与思考：在平面直角坐标系中，已知正方形，点的坐标是． (1)点在边上，连接，作交第一象限的角平分线于点． ①如图1，点在上，若，求证：； ②如图2，过点作于，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标． (2)如图3，点在轴正半轴上运动，作，且，连接． ①求证：； ②直接写出的最小值． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 9．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形综合压轴 （特殊平行四边形判定＋动点＋存在性问题） 1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）证可得，由此即可得出结论； （2）由题易得，可推，进而可得，则可证，即可得解； （3）先证明，求出，根据两点之间线段最短可得，由最小值求出最小值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点之间线段最短等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ； （2）解：的周长为8， ， 正方形ABCD的边长为4， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ， 在和中， ， ， ， 的大小是定值，定值为； （3）解：连接AM， 正方形ABCD的边长为4， ，， 是的高， ， 是的高， 由（2）得，， ， ， 由（2）得，， ， 为边BC的中点， ， ， ， ， 解得， 的最小值为 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 【答案】(1)平行四边形； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）连接，可得四边形是矩形，得，求出，根据，得，得，即得平行四边形是矩形； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）解∶如图，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点， 连接，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设， 则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴， 即， ∴当四边形为菱形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与三角形综合．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）平分，理由见解析 【分析】（1）作于，如图所示，只要证明，即可解决问题； （2）在上取，如图所示，证明，即可得到，即点在的角平分线上运动，根据点到直线上点的距离、垂线段最短，则当时，有最小值，过点作，如图所示，则最小值为线段长，由勾股定理求解即可得到答案； （3）在延长线上取，过作于，如图所示，由于，则只要证明，即可解决问题． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标， 故答案为：； （2）解：在上取，如图所示： 在正方形中，，则， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，，则， ，， ， 即点在的角平分线上运动， 则当时，有最小值，过点作，如图所示： 则最小值为线段长， ， ，即正方形的边长为， ， ， 在等腰中，，，则由勾股定理可得， 解得， 运动的过程中的最小值为； （3）结论：平分． 理由如下： 在延长线上取，过作于，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠ADM＝∠FDM， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，，则， ∵， ， ∵， ∴，即平分． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及图形与坐标、全等三角形的判定和性质、动点最值问题-垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形（一线三垂直等），可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，属于中考压轴题． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）阅读与思考：在平面直角坐标系中，已知正方形，点的坐标是． (1)点在边上，连接，作交第一象限的角平分线于点． ①如图1，点在上，若，求证：； ②如图2，过点作于，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标． (2)如图3，点在轴正半轴上运动，作，且，连接． ①求证：； ②直接写出的最小值． 【答案】(1)①见解析；② (2)①见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得到，，推出，由推出，，得到，推出，即可得到结论； ②在上取点，使，连接，，则，得到，求出，得到点的坐标为； （2）①证明，设分别与交于，得到，即可得到结论； ②取的中点，连接，设，求出，得到继而得到，即可得到答案． 【详解】（1）①证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， 在和中， ； ②解：如图，在上取点，使，连接 设，则 由①知， ， 四边形为平行四边形， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）①证明：， ， ， ， ， ， 如图，设分别与交于， ， ， ； ②解：如图，取的中点，连接， 由①知， ， 设， ， 在中，， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)① 在；② (2)①小明的猜想正确，见解析；② 【分析】（1）①根据菱形的性质和角平分线的性质可得垂直平分，即可证明；②根据条件证明是正三角形，再结合菱形的性质和正方形性质即可求出； （2）③作于G，于，连接，根据条件证明，即可证明；④根据三角形三边关系可求出的取值范围，再根据，求出的取值范围，即可求出． 【详解】（1）解：①点M在菱形的对角线上，理由如下： 连接 四边形是菱形， 平分，即， 又， , , , 又平分, , 垂直平分， ， ∴M在的中垂线上，即M在上； ②，理由如下： ， ，四边形是菱形，，由①知点M在菱形的对角线上， ， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是正方形， ， ， ， 是菱形，， ， 即， ， 故时，四边形为正方形； （2）解：③小明的猜想正确，证明如下： 如图，作于G,于，连接， ，， ， ， ∴， 又， ， 又， ， , 在的平分线上， 四边形是菱形， 平分， 在上． ④解：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质、菱形的性质、正方形的判定等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键． 9．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)存在，最小值 (3)存在点P使得为等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）过点D作于点F，利用矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，利用折叠的性质得到，再利用勾股定理，含角的直角三角形的性质求得，即可得出结论； （2）过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，利用全等三角形的判定与性质得到点E与点H关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点P在点O的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点P在点O的上方时，此种情况不存在；当点P在点C的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：过点D作于点F，如图， ∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点D的坐标为； （2）解：在直线上存在点M，使得的周长最小． 过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，如图， ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E与点H关于对称， ∴． 则由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为． ∵点N为的中点， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的周长的最小值为； （3）解：当点P在点O的下方时， ①时，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∴． ③不存在的情形； 当点P在点O的上方时，如图， 若，则， ∴， ∴， ∴与重合，此种情况不存在． 当点P在点C的上方时，如图， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点P使得为等腰三角形，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)①；②四边形为矩形，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）①根据平移的性质可得从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同，即可求解； ②根据勾股定理逆定理可得，再根据平移的性质可得且，可证得四边形为平行四边形，即可求解； （2）在线段上取一点，使，可证得，从而得到，，再证明，可得，，设，由勾股定理得，用x表示相关线段可得到关于x的方程，即可求解； （3）连接，取的中点连接，，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，再由三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①∵平移至（点与点对应，点与点对应）， ∴从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同， ∵，， ∴点先向左平移个单位，再向上平移得到点， ∵， ∴点； 故答案为：； ②四边形为矩形，理由如下：连接， ∵，，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵平移至， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）∵点，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，在线段上取一点，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 即； （3）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵点，，， ∴，， ∵为的中点，为边的中点， ∴，， ∵， ∴的取值范围为． 的最小值为，最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $