专题3-1导数的概念、意义及运算10大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

3-1导数的概念、意义及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、平均变化率 题型二、导数定义中极限的简单计算 题型三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 题型四、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型五、基本初等函数的导数公式 题型六、导数的运算法则 题型七、导数的加减法 题型八、导数的乘除法 题型九、求某点处的导数值 题型十、简单复合函数的导数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平均变化率 掌握平均变化率公式，能计算指定区间的平均变化率，比较不同区间平均变化率的大小 基础必考点，填空小题为主，易错点为函数值增量与自变量增量的顺序颠倒 导数定义中极限的简单计算 理解导数的定义式，能对极限式变形，结合已知导数值求解极限，掌握配凑法解题 高频基础考点，选择、填空均有考查易错点为极限式中Δx的系数变形错误 求曲线切线的斜率（倾斜角） 理解导数的几何意义，能求切线斜率、判断瞬时变化率，结合图象分析函数增减快慢 中档考点，填空题型为主，易错点为混淆切线斜率正负与函数增减的关系 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 能求定点处的导数值，结合点斜式写切线方程，利用切线方程反求切点处的导数值 核心必考点，填空小题为主，原Word收录24 - 25静安、徐汇、浦东期中真题，易错点为切点坐标代入错误、点斜式方程化简失误 基本初等函数的导数公式 熟记常函数、幂函数、三角函数、指数对数函数的导数公式，能结合公式解决零点、对称性问题 基础必考点，填空、选择均有考查，易错点为幂函数、三角函数导数公式记错 导数的运算法则 掌握和差积商求导法则，能解决复合实际变化率、泰勒展开近似计算、恒成立求参数问题 中档核心考点，填空、选择、解答题均有考查，易错点为积商法则符号、系数运算错误 导数的加减法 熟练运用加减求导法则，求定点导数值、过定点的切线方程，结合基本不等式求最值 基础考点，填空题型为主，易错点为过曲线外一点切线的切点设元错误 导数的乘除法 掌握乘除求导法则，求解含未知导数值的函数、切线斜率求参数、抽象函数导数问题 高频中档考点，填空小题为主，原Word收录22 - 23浦东期中、23 - 24上海期中、24 - 25上海期中真题，易错点为商的导数分子符号颠倒 求某点处的导数值 综合运用导数公式与法则，求定点导数值，反求函数参数，结合定义求解极限式 基础必考点，填空小题为主，易错点为求导后漏写常数项、代入计算失误 简单复合函数的导数 掌握链式求导法则，求解复合函数导数、高阶导数周期规律，解决切线垂直综合问题 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为复合函数内层函数求导遗漏 知识点1 平均变化率 1. 定义：函数在区间上的平均变化率； 2. 几何意义：函数图象上两点连线的斜率； 3. 应用：比较函数在不同区间的变化快慢。 知识点2 导数的定义（瞬时变化率） 1. 函数在处的导数：； 2. 核心变形：配凑的系数，利用定义求解极限式； 3. 物理意义：位移函数的导数为瞬时速度，速度函数的导数为瞬时加速度。 知识点3 导数的几何意义 1. 函数在处的导数=曲线在点处切线的斜率； 2. 切线方程：点斜式； 3. 拓展：切线倾斜角与斜率的关系、两条切线垂直/平行的斜率关系。 知识点4 基本初等函数的导数公式 1. 常函数：（为常数）； 2. 幂函数：（）； 3. 三角函数：，； 4. 指数函数：，（）； 5. 对数函数：，（）。 知识点5 导数的四则运算法则 1. 加减法法则：； 2. 乘法法则：； 3. 除法法则：（）。 知识点6 简单复合函数的导数（链式法则） 1. 复合形式：，令，则； 2. 求导公式：； 3. 高频应用：三角函数复合、一次函数复合求导； 4. 高阶导数：周期性规律（如的导数周期为4）。 知识点7 某点处导数值的求解 1. 步骤：求导函数→代入计算； 2. 拓展：含未知常数的函数，赋值法求解参数。 知识点8 导数的综合应用（基础型） 1. 切线相关：已知切线斜率求参数、过定点求曲线切线方程、公切线问题； 2. 变化率应用：几何图形面积/周长的瞬时变化率、实际问题的变化快慢分析； 3. 函数性质：结合导数判断函数对称性、单调性，解决零点个数、恒成立问题。 题型一、平均变化率 【典例1】（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为______． 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示) 【变式2】（22-23高二下·上海普陀·期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是_________ 题型二、导数定义中极限的简单计算 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）若，则__________. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）设函数在处存在导数为3，则__________ 【变式2】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数，则________ 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）若则__________ 题型三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 【典例3】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则____________ 【变式1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在点处的切线方程是，则______． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 题型四、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【典例4】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________. 题型五、基本初等函数的导数公式 【典例5】（22-23高二下·上海青浦·期中）函数在处的切线方程为______ 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期中）曲线，则______． 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）设函数，其中，则_________． 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 【变式4】（22-23高二下·上海杨浦·期中）设函数在定义域上的导数值均存在，其导函数为，关于这两个函数的图象，有如下两个命题： 命题：若的图象关于直线对称，则的图象也关于直线对称； 命题：若是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，则函数是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于轴的直线，使得的图象与无限趋近. 下列判断正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 题型六、导数的运算法则 【典例6】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为________． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（   ） A．平方米/秒 B．平方米/秒 C．平方米/秒 D．平方米/秒 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 【变式4】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数为，且满足关系式，则______． 题型七、导数的加减法 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则________． 【变式1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若函数满足，则__________. 【变式3】（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为__________． 题型八、导数的乘除法 【典例8】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则______ 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为，满足关系式，则的值为_____________. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数和满足，函数满足，则______. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 题型九、求某点处的导数值 【典例9】（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数的导数为，若，则______． 【变式1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知函数，若，则常数的值为：__________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）设，则______. 【变式3】（22-23高二下·上海长宁·期中）已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为________． 题型十、简单复合函数的导数 【典例10】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则______． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）设函数，则______． 【变式4】（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为__________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线斜率为_________． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）__________. 4．（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则_____． 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 2．（22-23高二下·上海普陀·期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 3-1导数的概念、意义及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、平均变化率 题型二、导数定义中极限的简单计算 题型三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 题型四、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型五、基本初等函数的导数公式 题型六、导数的运算法则 题型七、导数的加减法 题型八、导数的乘除法 题型九、求某点处的导数值 题型十、简单复合函数的导数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平均变化率 掌握平均变化率公式，能计算指定区间的平均变化率，比较不同区间平均变化率的大小 基础必考点，填空小题为主，易错点为函数值增量与自变量增量的顺序颠倒 导数定义中极限的简单计算 理解导数的定义式，能对极限式变形，结合已知导数值求解极限，掌握配凑法解题 高频基础考点，选择、填空均有考查易错点为极限式中Δx的系数变形错误 求曲线切线的斜率（倾斜角） 理解导数的几何意义，能求切线斜率、判断瞬时变化率，结合图象分析函数增减快慢 中档考点，填空题型为主，易错点为混淆切线斜率正负与函数增减的关系 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 能求定点处的导数值，结合点斜式写切线方程，利用切线方程反求切点处的导数值 核心必考点，填空小题为主，原Word收录24 - 25静安、徐汇、浦东期中真题，易错点为切点坐标代入错误、点斜式方程化简失误 基本初等函数的导数公式 熟记常函数、幂函数、三角函数、指数对数函数的导数公式，能结合公式解决零点、对称性问题 基础必考点，填空、选择均有考查，易错点为幂函数、三角函数导数公式记错 导数的运算法则 掌握和差积商求导法则，能解决复合实际变化率、泰勒展开近似计算、恒成立求参数问题 中档核心考点，填空、选择、解答题均有考查，易错点为积商法则符号、系数运算错误 导数的加减法 熟练运用加减求导法则，求定点导数值、过定点的切线方程，结合基本不等式求最值 基础考点，填空题型为主，易错点为过曲线外一点切线的切点设元错误 导数的乘除法 掌握乘除求导法则，求解含未知导数值的函数、切线斜率求参数、抽象函数导数问题 高频中档考点，填空小题为主，原Word收录22 - 23浦东期中、23 - 24上海期中、24 - 25上海期中真题，易错点为商的导数分子符号颠倒 求某点处的导数值 综合运用导数公式与法则，求定点导数值，反求函数参数，结合定义求解极限式 基础必考点，填空小题为主，易错点为求导后漏写常数项、代入计算失误 简单复合函数的导数 掌握链式求导法则，求解复合函数导数、高阶导数周期规律，解决切线垂直综合问题 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为复合函数内层函数求导遗漏 知识点1 平均变化率 1. 定义：函数在区间上的平均变化率； 2. 几何意义：函数图象上两点连线的斜率； 3. 应用：比较函数在不同区间的变化快慢。 知识点2 导数的定义（瞬时变化率） 1. 函数在处的导数：； 2. 核心变形：配凑的系数，利用定义求解极限式； 3. 物理意义：位移函数的导数为瞬时速度，速度函数的导数为瞬时加速度。 知识点3 导数的几何意义 1. 函数在处的导数=曲线在点处切线的斜率； 2. 切线方程：点斜式； 3. 拓展：切线倾斜角与斜率的关系、两条切线垂直/平行的斜率关系。 知识点4 基本初等函数的导数公式 1. 常函数：（为常数）； 2. 幂函数：（）； 3. 三角函数：，； 4. 指数函数：，（）； 5. 对数函数：，（）。 知识点5 导数的四则运算法则 1. 加减法法则：； 2. 乘法法则：； 3. 除法法则：（）。 知识点6 简单复合函数的导数（链式法则） 1. 复合形式：，令，则； 2. 求导公式：； 3. 高频应用：三角函数复合、一次函数复合求导； 4. 高阶导数：周期性规律（如的导数周期为4）。 知识点7 某点处导数值的求解 1. 步骤：求导函数→代入计算； 2. 拓展：含未知常数的函数，赋值法求解参数。 知识点8 导数的综合应用（基础型） 1. 切线相关：已知切线斜率求参数、过定点求曲线切线方程、公切线问题； 2. 变化率应用：几何图形面积/周长的瞬时变化率、实际问题的变化快慢分析； 3. 函数性质：结合导数判断函数对称性、单调性，解决零点个数、恒成立问题。 题型一、平均变化率 【典例1】（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示) 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】由平均变化率的概念即可求解. 【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是 . 故答案为：. 【变式2】（22-23高二下·上海普陀·期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是_________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率公式求出与，再比较大小即可； 【详解】依题意， ， 所以，而，所以. 故答案为： 题型二、导数定义中极限的简单计算 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义直接求解即可. 【详解】根据导数的定义：， 因为，所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）设函数在处存在导数为3，则__________ 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】直接根据导数的定义求解即可． 【详解】因为函数在处存在导数为3， 所以， 所以． 故答案为：3． 【变式2】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数，则________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：4. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）若则__________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 题型三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 【典例3】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则____________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 而，则. 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在点处的切线方程是，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数几何意义直接判断即可. 【详解】函数的图像在点处的切线方程是 则. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 题型四、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【典例4】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】结合导数的定义求解即可. 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知两点求斜率 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以. 故答案为： 题型五、基本初等函数的导数公式 【典例5】（22-23高二下·上海青浦·期中）函数在处的切线方程为______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程. 【详解】，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程为：，即. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期中）曲线，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：， 又，∴，. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）设函数，其中，则_________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、基本初等函数的导数公式、利用导数研究函数的零点 【分析】由题意可知：原题意等价于与在内有2个交点，求在处的切线方程，结合图象分析求解. 【详解】令，可得， 原题意等价于与在内有2个交点， 且，的横截距为， 因为，则， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 即在处的切线方程为，该切线的横截距为， 结合图象可知：若与在内有2个交点， 则，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】（22-23高二下·上海杨浦·期中）设函数在定义域上的导数值均存在，其导函数为，关于这两个函数的图象，有如下两个命题： 命题：若的图象关于直线对称，则的图象也关于直线对称； 命题：若是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，则函数是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于轴的直线，使得的图象与无限趋近. 下列判断正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、基本初等函数的导数公式 【分析】举例即可说明命题、为假命题. 【详解】对于命题：若，则， 显然的图象关于直线对称， 但是不是轴对称图形，故命题为假命题； 对于命题：若，则， 显然的图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近， 函数为增函数，但是不存在直线，使得的图象与无限趋近， 故命题是假命题. 故选：B. 题型六、导数的运算法则 【典例6】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（   ） A．平方米/秒 B．平方米/秒 C．平方米/秒 D．平方米/秒 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则 【分析】将给定的时刻设为初始时刻，确定，再利用正方形面积公式确定，最后结合导数的定义求解即可. 【详解】设初始正方形的周长为40米，则边长为10米， 且设现在边长为，运动时间为，得到， 由正方形面积公式得面积为， 则，而初始时刻，易得， 综上可得当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为平方米/秒，故C正确. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案. 【详解】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 . 故选∶B 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、函数不等式恒成立问题 【分析】先根据导数的运算求出，再根据恒成立列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 若对于任意，都有， 则，解得， 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数为，且满足关系式，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】求导后，令可得结果. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为： 题型七、导数的加减法 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】导数的加减法、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程. 【详解】设切点坐标为， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为. 故答案为:. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若函数满足，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的加减法、求某点处的导数值 【分析】求导可得，令运算求解即可. 【详解】因为，可得， 令，可得，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为__________． 【答案】48 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】根据题意，求得，得到，由，可得，求得，，进而得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 即为， 可得的导数为， 则， 由，可得， ， ， 则 ，当且仅当时，取得等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 题型八、导数的乘除法 【典例8】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法、求某点处的导数值 【分析】根据导数的乘法求导法则求，进而可得结果. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为，满足关系式，则的值为_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导函数，再令计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数和满足，函数满足，则______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法 【分析】根据商的导数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 故答案为：. 题型九、求某点处的导数值 【典例9】（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数的导数为，若，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导函数，令，解得即可. 【详解】因为， 则，令可得 解得. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知函数，若，则常数的值为：__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及基本初等函数的导数公式可求解. 【详解】因为，又，所以， 又，所以，所以，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）设，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】根据导数定义及基本初等函数的导数计算求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二下·上海长宁·期中）已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】对给定的函数求导，并求出参数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 【详解】函数，求导得：，则，解得， 因此，，则， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 题型十、简单复合函数的导数 【典例10】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则______． 【答案】或-0.5 【难度】0.94 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数 【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解. 【详解】根据函数的导数定义， 表示的是函数在处的导数. 根据复合函数求导法则，. 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据给定条件可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此确定，并求出，再作出图形数形结合求解判断. 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）设函数，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式4】（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据函数的特征，即可求，即可求解的值. 【详解】，，，， 发现函数的导函数中第一部分是周期为4的函数，第二部分的导数不变， ，所以，， 则. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断. 【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误； ②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误； ③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误； ④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确. 故选：B 2．（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线斜率为_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果. 【详解】由题可知：，所以， 所以曲线在处的切线斜率为2 故答案为：2 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义求极限即可. 【详解】由. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则_____． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：4. 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求函数值、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数（导函数）概念辨析、瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】根据导数的几何意义，物理意义，定义，即可判断选项. 【详解】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确； B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误； D.已知函数在上可导，若， 即，所以，故D错误. 故选：A 2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、求cosx（型）函数的最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数的恒等式化简函数解析式，利用整体思想以及复合函数单调性，由正弦函数的单调区间，建立不等式组，可得答案； （2）利用求导法则求导，利用整体思想以及余弦函数的最值，建立方程，可得答案. 【详解】（1）， 令，其中， 解得，其中， 所以函数的单调减区间为. （2）， 易知当时，其中，函数取得最小值为， 所以函数取得最小值时，，其中. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数新定义 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：问题等同于在区间上优于 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 取，则， 所以切线位于直线的下方，则不存在实数使得 ， 即在区间上优于，故②不正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率. 2．（22-23高二下·上海普陀·期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 【答案】(1)当是正奇数时，；当是正偶数时， (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、分组（并项）法求和、共轭复数的概念及计算、函数新定义 【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式，进一步分类讨论即可求其前项和. （2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式. （3）由复数的概念、运算先表示出，再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 “切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式结合的定义以及模即可得证. 【详解】（1）由题意，则，设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得， 当是正奇数时，；当是正偶数时，； 所以当是正奇数时，；当是正偶数时，. （2）猜想的通项公式为，证明过程如下： 由题意，则，设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得. （3）由题意，则， 所以， 设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，综合性较强. 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $