专题3-2 导数的应用10大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

3-2 导数的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、用导数判断或证明已知函数的单调性 题型二、由函数在区间上的单调性求参数 题型三、函数极值点的辨析 题型四、根据极值点求参数 题型五、由导数求函数的最 值（不含参） 题型六、利用导数研究不等式恒成立问题 题型七、利用导数研究能成立问题 题型八、利用导数研究函数 的零点 题型九、利用导数研究方程的根 题型十、利用导数解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 用导数判断或证明已知函数的单调性 掌握导数与函数单调性的关系，结合奇偶性、导函数图象解不等式，构造函数比较函数值大小 高频中档考点，选择、填空均有考查易错点为构造函数形式错误、奇偶性应用忽略定义域 由函数在区间上的单调性求参数 能根据单调递增/递减转化为导数恒成立问题，分离参数求最值，解决函数不单调的参数范围 核心必考点，填空小题为主，易错点为忽略导数等于0的边界条件 函数极值点的辨析 理解极值点的定义，区分驻点与极值点，分类讨论含参函数的极值点类型，证明极值点存在性 中档难点考点，解答题为主，易错点为极值点左右单调性判断错误 根据极值点求参数 利用极值点处导数为0列方程，结合单调性检验参数，解决函数驻点个数的参数范围问题 高频中档考点，填空、解答题均有考查，易错点为未检验参数是否符合极值条件 由导数求函数的最值（不含参） 掌握求函数最值的步骤，解决几何面积最值、函数零点最值，结合恒成立求参数基础范围 核心必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略区间端点函数值比较 利用导数研究不等式恒成立问题 熟练运用参变分离、构造函数法，解决双变量不等式、切线型恒成立，求参数最值 压轴高频考点，选择、解答题均有考查，易错点为双变量转化不彻底、最值求解错误 利用导数研究能成立问题 区分恒成立与能成立，转化为函数最值问题，结合新定义、数列综合求参数范围 中档难点考点，填空、解答题均有考查，易错点为混淆存在与任意的最值条件 利用导数研究函数的零点 数形结合分析零点个数，分离参数求范围，解决切线个数、新定义“度点”零点问题 压轴必考考点，填空、解答题均有考查，易错点为极值正负判断错误、图象趋势分析失误 利用导数研究方程的根 转化为函数零点问题，结合单调性、极值判断根的个数，求参数取值范围 高频中档考点，填空小题为主，易错点为方程变形等价性错误 利用导数解决实际问题 建立利润、面积等实际函数模型，用导数求最值，分类讨论含参实际最值问题 应用必考考点，解答题为主，易错点为函数定义域遗漏、分类讨论不全面 知识点1：函数的单调性与导数的关系 1.函数在区间内可导，→严格递增；→严格递减；→常值函数。 2.由单调性求参数范围 严格递增→恒成立；严格递减→恒成立；不单调→在区间内有变号零点。 2.常用解法：参变分离法、分类讨论法。 知识点3：函数的驻点 1.定义：使的点为函数的驻点。 2.核心关系：可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。 知识点4：函数的极值与极值点 1.定义：附近→是极大值；→是极小值。 2.极值判定：驻点处左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；左右同号→无极值。 3.易错点：极值是局部概念，区间端点无极值。 知识点5：函数的零点与方程的根 1.等价关系：零点=的实根=图象与轴交点横坐标。 2.零点存在定理：在连续，→内至少1个零点。 3.个数判定：求导分析单调性、极值，结合极值正负判断。 题型一、用导数判断或证明已知函数的单调性 【典例1】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 【变式4】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 题型二、由函数在区间上的单调性求参数 【典例2】（22-23高二下·上海松江·期中）若函数在上严格增，那么a的取值范围是______． 【变式1】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是_________. 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期中）设函数在区间上严格减，则实数a的取值范围是________ 题型三、函数极值点的辨析 【典例3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（   ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 【变式2】设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 题型四、根据极值点求参数 【典例4】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【变式2】（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 题型五、由导数求函数的最 值（不含参） 【典例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若函数的图象上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图象上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______．    【变式4】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【变式5】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【变式6】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 题型六、利用导数研究不等式恒成立问题 【典例6】（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【变式3】（22-23高二下·上海普陀·期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 【变式4】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【变式5】（22-23高二下·上海青浦·期中）已知函数 (1)当时，求的最大值 (2)讨论函数的单调性 (3)对任意的，都有成立，求实数的取值范围 【变式6】（24-25高二下·上海·期中）已知，. (1)时，求函数在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求t的取值范围； (3)时，已知，，曲线上不同的三点、、处的切线都经过点.证明：. 题型七、利用导数研究能成立问题 【典例7】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a的取值范围是________. 【变式1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知． (1)若是函数的驻点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【变式2】已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； (2)若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. (3)已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 题型八、利用导数研究函数 的零点 【典例8】（24-25高二下·上海·期中）已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【变式1】（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； (3)若在上恒成立，求正整数的最大值. 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点是否为函数的1度点，并说明理由; (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 题型九、利用导数研究方程的根 【典例9】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则方程的解的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多个 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是______． 【变式2】（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是__________． 【变式3】（22-23高二下·上海杨浦·期中）设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________. 题型十、利用导数解决实际问题 【典例10】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【变式1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期中）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元 (1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）； (2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）若函数的定义域为R且可导，则“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______． 3．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 4．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（23-24高二下·上海松江·期中）设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________. 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为______. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若有两个零点，则. 2．（23-24高二下·上海·期中）如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 2 / 63 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $ 3-2 导数的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、用导数判断或证明已知函数的单调性 题型二、由函数在区间上的单调性求参数 题型三、函数极值点的辨析 题型四、根据极值点求参数 题型五、由导数求函数的最 值（不含参） 题型六、利用导数研究不等式恒成立问题 题型七、利用导数研究能成立问题 题型八、利用导数研究函数 的零点 题型九、利用导数研究方程的根 题型十、利用导数解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 用导数判断或证明已知函数的单调性 掌握导数与函数单调性的关系，结合奇偶性、导函数图象解不等式，构造函数比较函数值大小 高频中档考点，选择、填空均有考查易错点为构造函数形式错误、奇偶性应用忽略定义域 由函数在区间上的单调性求参数 能根据单调递增/递减转化为导数恒成立问题，分离参数求最值，解决函数不单调的参数范围 核心必考点，填空小题为主，易错点为忽略导数等于0的边界条件 函数极值点的辨析 理解极值点的定义，区分驻点与极值点，分类讨论含参函数的极值点类型，证明极值点存在性 中档难点考点，解答题为主，易错点为极值点左右单调性判断错误 根据极值点求参数 利用极值点处导数为0列方程，结合单调性检验参数，解决函数驻点个数的参数范围问题 高频中档考点，填空、解答题均有考查，易错点为未检验参数是否符合极值条件 由导数求函数的最值（不含参） 掌握求函数最值的步骤，解决几何面积最值、函数零点最值，结合恒成立求参数基础范围 核心必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略区间端点函数值比较 利用导数研究不等式恒成立问题 熟练运用参变分离、构造函数法，解决双变量不等式、切线型恒成立，求参数最值 压轴高频考点，选择、解答题均有考查，易错点为双变量转化不彻底、最值求解错误 利用导数研究能成立问题 区分恒成立与能成立，转化为函数最值问题，结合新定义、数列综合求参数范围 中档难点考点，填空、解答题均有考查，易错点为混淆存在与任意的最值条件 利用导数研究函数的零点 数形结合分析零点个数，分离参数求范围，解决切线个数、新定义“度点”零点问题 压轴必考考点，填空、解答题均有考查，易错点为极值正负判断错误、图象趋势分析失误 利用导数研究方程的根 转化为函数零点问题，结合单调性、极值判断根的个数，求参数取值范围 高频中档考点，填空小题为主，易错点为方程变形等价性错误 利用导数解决实际问题 建立利润、面积等实际函数模型，用导数求最值，分类讨论含参实际最值问题 应用必考考点，解答题为主，易错点为函数定义域遗漏、分类讨论不全面 知识点1：函数的单调性与导数的关系 1.函数在区间内可导，→严格递增；→严格递减；→常值函数。 2.由单调性求参数范围 严格递增→恒成立；严格递减→恒成立；不单调→在区间内有变号零点。 2.常用解法：参变分离法、分类讨论法。 知识点3：函数的驻点 1.定义：使的点为函数的驻点。 2.核心关系：可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。 知识点4：函数的极值与极值点 1.定义：附近→是极大值；→是极小值。 2.极值判定：驻点处左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；左右同号→无极值。 3.易错点：极值是局部概念，区间端点无极值。 知识点5：函数的零点与方程的根 1.等价关系：零点=的实根=图象与轴交点横坐标。 2.零点存在定理：在连续，→内至少1个零点。 3.个数判定：求导分析单调性、极值，结合极值正负判断。 题型一、用导数判断或证明已知函数的单调性 【典例1】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数奇偶性的应用 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，得，判断函数在上的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出的大小关系. 【详解】令，则， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以，即， 因为，所以， 又，所以， 即，又，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集. 【详解】令，的定义域为， 则， 时，恒成立，故， 所以在上单调递增， 又，所以， 故当时，，， 当时，，， 当时，，故， 是定义在R上的偶函数，故， 所以， 所以为奇函数，故在上单调递增， ，故， 当时，，， 故当时，，， 当时，，故， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】令，可得， 当时，，可得，所以单调递增； 又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称， 因为不等式， 即，即，即， 所以，可得，所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④. 【详解】对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确. 故答案为：①②④ 题型二、由函数在区间上的单调性求参数 【典例2】（22-23高二下·上海松江·期中）若函数在上严格增，那么a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数严格增可知导数不小于0恒成立，分离参数后求最值即可得解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 而在上严格减， 所以， 故. 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，根据均有解，结合正弦函数的性质，求出的取值范围，即可得解． 【详解】函数，则， 因为n为正整数，当时，，在上存在递增区间； 若在上存在递减区间，即有解，则， 所以，所以正整数的最小值是． 故答案为：． 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期中）设函数在区间上严格减，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数先求出函数的单调减区间，结合条件建立不等关系即可求出结果． 【详解】易知，因为，所以， 由，得到， 又函数在区间上严格减， 所以，解得， 故答案为：. 题型三、函数极值点的辨析 【典例3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（   ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】结合极大值的定义，举例说明判断ABCD. 【详解】对于A，函数的如图①所示， 显然函数满足条件，而是的极大值点，故A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值大于，如图②所示， 因此函数在处取不到极大值，B正确； 对于C，函数，函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，是的极大值点，C错误； 对于D，函数如图③所示， 函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，是的极大值点，D错误. 故选：B.    【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 【答案】(1) (2)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分与讨论即可； （3）求导后可得，再求导分析的单调性，进而可得的正负区间，从而得到的单调性证明即可. 【详解】（1）当时，，，则，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意，，则当时，恒成立，单调递增； 当时，令有，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意，，，则， 令，则，即为增函数. 又，故在上，在上. 故在上单调递减，在上单调递增. 故当实数时，函数在处取得极小值. 【变式2】设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数极值点的辨析 【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解； （2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间； （3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. （2）由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键点在于附近的单调性，从而在的情况下，需要仔细比较和的大小关系，也就是和的大小关系，这是分类讨论的一大出发点. 题型四、根据极值点求参数 【典例4】（24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 【变式1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式2】（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数计算，再求得，由点斜式得切线方程； （2）根据题意，由方程有且仅有一个正实根求出实数a的取值范围即可． 【详解】（1）时，，则， 所以切线的斜率为，又， 所以在点处的方程为，即； （2）的定义域是，， 因为函数有且仅有一个驻点，所以方程有且仅有一个正实根. 显然当时不符合题意． 对于方程， 若，则或（舍）， 当时，由，得， 所以，符合方程有且仅有一个正实根； 若，则或， 当时，方程的两根满足， 所以方程的一根为正，一根为负，符合只有一正根，满足题意； 当时，方程的两根满足， 又，所以方程的两根均为正，不满足题意； 若，方程无实根，不符合题意. 综上，的范围是． 题型五、由导数求函数的最 值（不含参） 【典例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】命题（1），取，易得在上为严格增函数，但，从而判断出命题（1）错误；命题（2），根据条件，利用复合函数求导法则，即可得到，从而得到命题（2）正确；命题（3），构造函数，根据条件，得到在上单调递增，即可判断出命题（3）的正误，从而求出结果. 【详解】对于命题（1），取，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上为严格增函数，但，所以命题（1）错误， 对于命题（2），因为，所以，即是周期函数，所以命题（2）正确， 对于命题（3），令，则恒成立，即在上单调递增， 所以，当时，， 即在上恒成立，所以命题（3）正确， 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若函数的图象上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图象上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、由对称性求函数的解析式、函数与方程的综合应用 【分析】求出函数图象关于原点对称的图象对应的函数，再借助导数求出方程在上有两根的的取值范围. 【详解】函数图象关于原点对称的图象对应的函数为， 由函数的图象上仅只两组点关于原点对称， 得函数与的图象有且只有两个交点， 即方程在上有两个不等实根，因此方程在上有两个不等实根， 即直线与函数的图象在上有两个交点， 由，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得最大值，， 且恒成立，又时，， 作出直线与函数的图象在上的图象， 观察图象知，当时，直线与函数的图象在上的图象有两个交点， 所以方程在上有两个不等实根，实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求椭圆中的最值问题、面积、体积最大问题 【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】设点坐标为，由点在椭圆上知，得， 等腰梯形的面积为， ， 令， ， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在区间上，有唯一的极大值点， 所以当时，有最大值为； 即当时，有最大值为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、判断零点所在的区间 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【详解】（1），     当，，单调递减， 当，，单调递增， ； （2）方程 可化简为， 方程的根就是函数 的零点， 由解析式易知在 ， 上单调递增， 因为 ， 所以函数在有唯一零点 ，且， 因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根. （3）设， 则当时恒成立， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． 所以实数 的取值范围. 【变式5】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【答案】(1)或1； (2)0 (3)2. 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值. （2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围. （3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此函数的图象在点处的切线方程为， 由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根， 方程中，，解得或， 所以实数b的值为或1. （2）当时，，，求导得， 函数在上单调递减，， 由存在使得成立，得， 而，即，则， 所以最大整数M的值为0. （3）由，不妨设， 而函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，则， 不等式， 即，令， 依题意，，成立，因此函数在上单调递增， 则，成立，即在上恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此，而， 所以. 【变式6】（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，极小值点，无极大值点 (3) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）分别求出的值即可得解； （2）求导得，分是否大于0并结合极值点的定义讨论即可； （3）分是否等于1进行讨论，当时，可借助（2）中结论进行求解. 【详解】（1），，因为，所以， 所以在点的切线方程为，即； （2）设，定义域， 当时，恒成立，所以在严格增，所以不存在极值点； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在严格减，在严格增， 所以函数存在一个极小值点，无极大值点； （3）原不等式， 当时，恒成立； 当时，，即， 由（2）知时，，此时， 所以此时， 所以此时，且由以上分析可知，当时，， 综上，实数的取值范围为. 题型六、利用导数研究不等式恒成立问题 【典例6】（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解. 【详解】不妨设， 则， 由可得， 所以，即， 所以， 令，， 则， 因为， 所以在区间上单调递减， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 所以，因为在区间上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________. 【答案】①③④ 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，则， 令，所以在上单调递增， 令，所以在上单调递减； 当时，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在上单调递减， 综上可得的单调递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，当时，； 又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，上单调递减。 作出函数的图象如下：    所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，，则， 令可得，所以当时，，为递减函数； 当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故答案为：①③④ 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是； (3)的最大值为. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调区间； （3）首先根据（2）的结果解不等式，再转化不等式，利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，，，所以，所以在区间上单调递减， 当时，，，所以，所以在区间上单调递增， 所以函数的减区间是，增区间是； （3），，则，， 由（2）可知，，即，即，即, 当时，，设， 设，得， 当时，，单调递减，当，，单调递增， 所以函数在的最小值是，则， 当时，恒成立， 当时，，，所以恒成立， 综上可知，，所以的最大值为. 【变式3】（22-23高二下·上海普陀·期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，增区间，减区间 (2)极大值是，极小值是；增区间、，减区间 (3)或 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）根据极值点求得，结合导数求得的单调区间. （2）根据的单调区间求得在的极值和单调性. （3）根据在区间上的最大值列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）， 由于在与时都取得极值， 所以，解得， ， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以是的极大值，是的极小值. 所以，增区间，减区间. （2）， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在区间上， 极大值是， 极小值是. （3）由上述分析可知，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，， ， 所以在区间上的最大值是， 在区间上恒成立，所以， ，解得或. 【变式4】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义求得，再利用导数判断的单调性和极值； （2）由题意分析可得在为增函数，进而可得在恒成立，构建，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，且， 可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行， 可得，即， 所以，， 由，可得，由，可得， 则在单调递增，在单调递减， 可得在处取得极大值为，无极小值. （2）不妨设，则， 若，， 可得，即有， 设在为增函数， 即有对恒成立， 可得在恒成立， 令，则的定义域为，且， 由，可得，由，可得， 可得在递减，在递增， 则在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式5】（22-23高二下·上海青浦·期中）已知函数 (1)当时，求的最大值 (2)讨论函数的单调性 (3)对任意的，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，研究函数的单调性，从而得出最值； （2）结合函数的定义域，分类讨论的范围，解导函数的不等式即可； （3）先证明恒成立，分析出，先找到符合题意的的范围， 然后证明该范围的补集不符题意即可. 【详解】（1）时，， 由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 故函数； （2）定义域为，， 当时，，在上递增； 当时，令，解得，令，解得. 于是时递增；时递减 （3）任意都有成立，故，即. 设，由增函数加增函数得增函数，在上单调递增， 又，，故存在唯一的，使得； 设，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 于是时，取得最小值，故恒成立. 于是，即， 当，即时取得等号. 显然时，符合题意； 当时，对不等式，取,即， 根据上面的分析：，得到，即， 但，，即得到矛盾，于是不成立. 综上， 【变式6】（24-25高二下·上海·期中）已知，. (1)时，求函数在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求t的取值范围； (3)时，已知，，曲线上不同的三点、、处的切线都经过点.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导函数以及，再利用点斜式求方程即可； （2）研究函数的单调性，求出其最小值，使即可； （3）先求出切线方程，再将点代入，可得此方程有三个不同解，再构造函数，研究其单调性，使极大值，极小值，即可得出，再构造，证得即可. 【详解】（1）时，，则，所以， 又， 所以函数在点处的切线方程为. （2）， 解，得，，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若在上恒成立，则，解得， 所以t的取值范围是. （3）时，，， 设切点坐标为，则斜率， 则切线方程为， 将点代入得，得， 因为曲线上不同的定点，，处的切线都经过点， 所以方程有三个不同的解，，， 令， 则， 解，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 欲使函数有三个不同的零点，则，， 即，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以时，，即，则， 所以， 综上，. 题型七、利用导数研究能成立问题 【典例7】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】求得，所以为单调递增函数，由，得到，根据题意得到，根据题意转化为在上有解，令，求得，得到函数的单调区间和极大值，即可求解. 【详解】解：因为函数，可得，所以为单调递增函数， 由，可得， 因为对于任意的，都有且，所以， 要使得存在常数 使得对于任意的，都有， 则满足在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即为最大值， 要使得在上有解，可得， 即实数的取值范围. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知． (1)若是函数的驻点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，， 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）根据驻点的定义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合函数的单调性求得当时，，转化问题为存在，且，使得成立，设，，且，进而利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，， 则， 因为是函数的驻点， 所以，解得. （2）由，， 则， 令，得或， 当时，， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，，令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）当时，， 由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以当时，， 由题意，对于任意的，， 即为存在，且，使得成立， 设，，且，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以要使成立，则，. 【变式2】已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由； (2)若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围. (3)已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值. 【答案】(1)不是；理由见解析 (2) (3)0 【难度】0.15 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）取反例即可判断； （2）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，转变为函数最值问题可解； （3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求解可得. 【详解】（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”. 理由如下： 的定义域为，存在，使得， 故不是其定义域上的“M一类函数” （2），所以. 若函数在上为“M一类函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 因为在上的值域为， 所以，所以实数的取值范围为. （3）， 依题意有对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，，即； 当时，， 令，则， 令，则， 易知时，时，， 即在上是减函数，在上是增函数， 而， 即时，，于是，则在上是减函数， 故，从而. 综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0. 【点睛】本题实质上属于恒成立问题，常用参变分离法，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数求最值即可求解. 题型八、利用导数研究函数 的零点 【典例8】（24-25高二下·上海·期中）已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分离参数可得，判断的单调性，计算极值，作出的函数图象，根据直线与的图象有四个交点得出k的范围. 【详解】当时，， 令，可得：， 令， 则， 对于函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，. 所以，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 又因为当时，；当时，取得极小值； 当时，；当时，， 作出函数的大致图象如图所示： 因为函数恰有四个零点，所以直线与的图象有四个交点， 所以， 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； (3)若在上恒成立，求正整数的最大值. 【答案】(1)的单调增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3)3 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； （3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值. 【详解】（1）当时，，，则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意．      综上所述，. （3）由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即， 所以， 所以，又，， 所以的最大值为3. 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】(1)最大值为-2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先求导得，利用导数研究单调性，进而求得最大值； （2）由得，即，由（1）即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于，与相切于，由题意有，消去得，令，利用导数研究单调性即可求证. 【详解】（1）有题意有，定义域为， 所以，令，解得或（舍去）， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减， 故当时，函数取到最小值，最大值为-2. （2）令， ，即，由（1），在上严格增，在严格减， 又，， ，， 图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数， 当时，有两个交点，即方程有2个解； 当时，有一个交点，即方程有1个解； 当时，有零个交点，即方程有0个解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于， 与相切于， ，，则， 消去得，令， 则，令得或，又，所以， 当，，严格增， 又，， 则，，，有唯一零点； 当，，严格减， 又，， 则，，，有唯一零点， 综上所述，在区间和各有一个零点， 即证有且只有两条直线与曲线、均相切. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由即可求解； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以， （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 当或时，,当, 故和上，单调递增，上，单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，当所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点是否为函数的1度点，并说明理由; (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点、函数新定义、求过一点的切线方程 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出的根判断即可. （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解即可. （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【详解】（1）依题意，，则曲线在点处的切线方程为， 该切线过点当且仅当，即， 所以原点是函数的一个1度点. （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点，当且仅当， 设，则当时，，函数在上严格增， 因此当时，，则方程无解， 所以点是的一个0度点. （3）函数，求导得， 对任意，曲线在点处的切线方程为， 则点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点， 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； 若，求导得，当由或时，；当时，， 函数在上严格增；在上严格减． 则函数在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 因此当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 因此两个不同的零点当且仅当或， 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 所以的全体2度点构成的集合为或． 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围. 【详解】（1）因为，求导得， 令代入，曲线在点处的切线方程为. （2）因为且，， 求导得， 且因为定义域为，函数有两个不同的驻点， 故在有两个不同正解，令，故， 设两个不同正解分别为和， 即，解得，即. 题型九、利用导数研究方程的根 【典例9】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则方程的解的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先等式两边取对数，变形等式后，再构造函数，利用导数判断方程解的个数. 【详解】，两边取对数，得，即， 设，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且当时，，当时，， ，， 所以满足，则方程的解的组数为1组. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由方程解的问题转化为零点问题，再进行参数的讨论求解即可. 【详解】令，， 因为有两个不同实数根，所以有两个不同的零点， 若，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点. 若，令，则，所以，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为有两个零点，所以，解得，所以. 故答案为： 【变式2】（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究方程的根、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将问题转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，利用导数讨论函数的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由，可得， 则关于的方程有三个不同实根， 即函数与函数的图象有三个不同的交点， ， 令解得或，令解得， 所以函数在单调递增，单调递减，单调递增， ， 作出函数的图象如下， 由图可知，解得， 故答案为:. 【变式3】（22-23高二下·上海杨浦·期中）设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】设，根据题意转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，求得，求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设函数，则函数的图象与直线有三个不同的交点， 又由， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 且时，，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图象可知，要使函数的图象与直线由三个不同的交点， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十、利用导数解决实际问题 【典例10】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利润最大问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 【变式1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利润最大问题、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【详解】（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． （2）． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期中）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元 (1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）； (2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 【答案】(1)，定义域为 (2)8 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的表达式即可； （2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可． 【详解】（1）由题意可知，， 因为每平方米的平均环保费用为元， 因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式， 所以每平方米的综合费用， 其中函数的定义域为. （2）由（1）可知， 则， 令得，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值即为最小值， 所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）若函数的定义域为R且可导，则“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】先验证充分性，不妨设，在处有，但为单调递增函数，不是极值点；再验证必要性，即可得结果． 【详解】充分性：不妨设，则， 在处有， 但是，为单调递增函数，故不是极值点，故充分性不成立； 必要性：由当时，取到极值，得， 即在处的导数为0，故必要性成立． 所以“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的必要不充分条件. 故选：B 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式. 【详解】不等式转化为， 令，则，在上单调递减， ，，的解集为， 即不等式的解集为. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则______. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、根据极值点求参数、对数的运算 【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到，最后根据对数的运算求出结果即可. 【详解】， 所以与是方程的两根， 所以在正项等比数列中，， 所以， 故答案为：2. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减， 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（23-24高二下·上海松江·期中）设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得为偶函数，然后求导可得在单调递增，再由函数的单调性与奇偶性列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】对于函数，并且定义域关于原点对称，是偶函数， ，当时，是增函数， 对于有， 由①得， 由②得， 由③得， ， . 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集. 【详解】设,则 当时,有恒成立, 当时,在上单调递增, 是定义在上的偶函数, ， 即是定义在上的奇函数, 在上也单调递增. 又. 不等式的解可等价于即的解, 或, 不等式的解集为. 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式两边取对数，分离参变量并构造函数，求出函数的最值即可得解. 【详解】，，而， 于是得：，， 令，，， 当时，，当时，， 因此，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，， 于是得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若有两个零点，则. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，只需分别求出即可得解； （2）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （3）利用分析法，转化要证明：当时，，再利用导数即可得证. 【详解】（1）当，， ， 因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）的定义域为，则， 令,得 当在上单调递减， 当在上单调递增， ， 若,则,即， 所以的取值范围为. （3）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设， 要证,即证， 因为,即证， 又因为,故只需证， 即证， 即证当时，有成立， 下面证明时，， 设， 则 ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上, ，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换为：当时，，利用导数即可顺利得解. 2．（23-24高二下·上海·期中）如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积取得最大值 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用点的坐标求解直线方程以及抛物线方程，即可根据点的位置分类讨论求解， （2）利用导数求解函数的单调性，即可求解时的最值，利用二次函数的性质即可求解上的最值，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由于, 所以点的坐标为，点的坐标为， 由于三点在一条直线上，所以直线， 由于，所以,故点的坐标为 由于抛物线的顶点为，对称轴为，可设抛物线方程为 将点的坐标代入得，所以抛物线方程为， 直线的方程是，直线的方程是， 因为设，所以当时，点的坐标为，点的坐标为， 所以矩形的面积， 当时，的坐标为， 所以矩形的面积为， 所以矩形的面积为， （2）当时，， 令，得， 所以，当时，；当时，， 所以，当时，矩形的面积取得最大值， 当时，， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，矩形的面积取得最大值， 又， 综上，当时，矩形的面积取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $