专题2-1 圆的方程12大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

2-1 圆的方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型3 圆的一般方程 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型5 二元二次方程表示圆的条件 题型6 关于点、直线对称的圆的方程 题型7 圆的切线方程 题型8 直线与圆相交的性质 题型9 弦长问题 题型10 直线与圆的位置关系 题型11 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 题型12 圆与圆的位置关系及其判定 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 曲线方程的概念 理解曲线与方程的对应关系，能判断点与曲线、方程与曲线的匹配性 基础概念考点，选择填空低频考查，侧重定义辨析 圆的标准方程 掌握圆的定义，能根据圆心、半径写标准方程，会判断点与圆的位置关系 期中必考基础题，填空高频，常结合几何条件求圆心半径 圆的一般方程 掌握圆的一般式形式，能配方化标准式，会求圆心与半径 高频基础题型，填空必考，易错点为判别式条件遗漏 二元二次方程表示圆的条件 熟记二元二次方程表示圆的三个条件，会求参数取值范围 选择填空常考题，侧重公式直接应用，难度低 对称圆的方程 会求圆关于点、直线对称的圆的方程，掌握对称点求解方法 中档常考题，填空为主，常结合直线对称综合考查 圆的切线方程 会求圆上、圆外一点的切线方程，掌握切线长计算方法 期中高频中档题，填空必考，易错点为斜率不存在情况 直线与圆的位置关系 会用几何法、代数法判断位置关系，掌握弦长公式与最值求解 核心必考考点，分值高，覆盖填空、解答，综合度高 弦长问题 熟练运用垂径定理求弦长，会求弦长最值及对应参数 高频必考题型，填空压轴常考，结合距离公式综合 直线与圆的参数求解 根据位置关系求直线、圆中的参数，掌握分类讨论思想 期中重难题型，填空解答均有考查，易错点为漏解 圆与圆的位置关系 会用圆心距判断两圆位置关系，会求公共弦方程与弦长 必考中档题，填空为主，常结合半径、圆心距计算 知识点01 曲线方程的概念 在平面直角坐标系中，若曲线上每一点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线上，则这个方程是曲线的方程，这条曲线是方程的曲线. 知识点02 圆的标准方程 1.圆的定义：到定点的距离等于定长（大于0）的点的轨迹，定点为圆心，定长为半径. 2.圆的标准方程：圆心，半径，方程为；圆心在原点时，方程为. 3.特殊位置圆的标准方程 o过原点： o圆心在轴上： o圆心在轴上： o与轴相切： o与轴相切： 4.点与圆的位置关系（圆：，点，） o点在圆外： o点在圆上： o点在圆内： 5.圆上点到定点的距离最值：设圆心到定点距离为，半径 o点在圆外：， o点在圆上：， o点在圆内：， 知识点03 圆的一般方程 1.圆的一般方程：（） 2.圆心与半径：圆心，半径 3.二元二次方程表示圆的条件 o与系数相同且不为0 o无项 o 4.特殊情况 o：圆心在轴上 o：圆心在轴上 o：圆过原点 5.点与圆的位置关系（一般方程）：点 o圆外： o圆上： o圆内： 6.轨迹与轨迹方程 o轨迹方程：代数表达式 o轨迹：需说明图形形状与位置 o要求：纯粹性（解均满足条件）、完备性（满足条件的点均在解中） 知识点04 直线与圆的位置关系 1.判断方法 o几何法：圆心到直线距离，半径 相交：（2个公共点） 相切：（1个公共点） 相离：（0个公共点） o代数法：联立方程得一元二次方程，判别式 相交；相切；相离 2.直线与圆相交弦长 o几何法： o代数法：弦长公式 3.直线与圆相切 o过圆上点的切线： o切线数量：圆外2条，圆上1条，圆内0条 4.圆上点到直线的距离最值：最大距离，最小距离 知识点05 圆与圆的位置关系 1.位置关系判定（圆心距，半径） o外离： o外切： o相交： o内切： o内含： 2.公共弦 o方程：两圆一般方程相减， o长度：（为两圆心到公共弦距离） 3.公切线条数 o外离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：0条 题型1 圆的标准方程 答｜题｜模｜板 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【典例1】（24-25高二下•上海静安期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合两圆相交的定义，即可求解． 【解答】解：半径分别为3和7的两圆相交， 则圆心距的范围为（4，10）， 故它们的圆心距可能是8． 故选：C． 【变式1】（2024•上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 　 　 ．（精确到0.01） 【答案】2.73． 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论． 【解答】解：以A为原点，线段AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系， 易知E（0.2，0.2），F（0.8，0.8）． 不妨设EF中点为M（0.5，0.5）直线EF中垂线所在直线方程为y﹣0.5＝﹣（x﹣0.5）， 化简得y＝﹣x+1． 所以可设圆心为（a，﹣a+1），半径为a，且经过E，F点， 即（a﹣0.2）2+（﹣a+1﹣0.2）2＝a2， 化简得a2﹣2a+0.68＝0，求得a1±1±． 结合题意可得，a＝10.434． 故有圆的周长C＝2πa＝2.725≈2.73． 【变式2】以点A（﹣3，4）为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为（　　） A．（x+3）2+（y﹣4）2＝16 B．（x﹣3）2+（y+4）2＝16 C．（x+3）2+（y﹣4）2＝9 D．（x﹣3）2+（y+4）2＝9 【答案】C 【分析】由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程． 【解答】解：以点（﹣3，4）为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是 （x+3）2+（y﹣4）2＝9， 故选：C． 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 答｜题｜模｜板 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【典例2】（24-25高二下•上海杨浦区期中）以C（3，4）为圆心且过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 　 　 ． 【答案】（x﹣3）2+（y﹣4）2＝53 【分析】由题意求出该圆的半径，代入标准方程，可得该圆的方程． 【解答】解：圆心C（3，4）的圆过点（1，﹣3）， 所以圆C的半径为， 代入圆的标准方程可得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝53． 故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝53． 【变式1】（24-25高二下•上海金山期中）已知圆心为C的圆经过点A（1，4），B（3，6），且圆心C在直线3x﹣4y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点（1，1）且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝10；（2）x＝1或5x+12y﹣17＝0． 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程为y＝﹣x+7，联立直线方程求得C（4，3），利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程；（2）设圆心C到直线l的距离为d，由几何法求弦长公式可得d＝3，易知直线l的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解． 【解答】解：（1），AB的中点为（2，5），AB的垂直平分线方程为y﹣5＝﹣1×（x﹣2），即y＝﹣x+7， 将联立可得，即圆C的圆心坐标为C（4，3）， 圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝10； （2）设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式得，故d＝3， 若直线l的斜率不存在，则x＝1，此时圆心C（4，3）到直线l的距离为3，符合题意． 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y﹣1＝kx﹣k，即kx﹣y﹣k+1＝0， 所以，解得， 则直线l的方程为． 故直线l的方程为x＝1或5x+12y﹣17＝0． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切． （1）求圆心S与圆心L的坐标； （2）已知直线l过点O若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于t，求出t的值． 【答案】（1）S（4，0）、L（﹣4，0）； （2）． 【分析】（1）设圆心S（m，0），其中m＞0，根据圆与圆的位置关系可得出|QS|＝5，可求出m的值，即可得出点S的坐标，同理可得出点L的坐标； （2）分析可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，利用几何法求出直线l截三个圆所得的弦长，可得出关于k的方程，解出k2的值，即可求出t的值． 【解答】解：（1）由题意点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切， 可得圆Q的半径为|QO|＝3，设圆心S（m，0），其中m＞0， 由于圆S和圆Q外切，且圆S的半径为2，则，解得m＝4， 即点S（4，0），同理可得点L（﹣4，0）． （2）若直线l的斜率不存在，则直线l与y轴重合，此时，直线l与圆L、圆S都相离，不合乎题意， 设直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0， 圆心L到直线l的距离为，圆心S到直线l的距离为， 且圆S、圆Q的半径均为2，所以，直线l截圆S、圆Q的弦长为， 圆心Q到直线l的距离为，则直线l截圆Q的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 题型3 圆的一般方程 答｜题｜模｜板 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【典例3】（24-25高二下•上海浦东新区期中）若圆C的方程为x2+y2﹣2x+t＝0，则实数t的取值范围为　 　 ． 【答案】{t|t＜1}． 【分析】根据已知条件，将圆的方程配方，即可求解． 【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣2x+t＝0， 则（x﹣1）2+y2＝1﹣t， 故1﹣t＞0，解得t＜1， 故t的取值范围为{t|t＜1}． 【变式1】（24-25高二下•上海普陀期中）设k∈R，若圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2，则k的值为 　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据已知条件，结合配方法，即可求解． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣k， 圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2， 则5﹣k＝4，解得k＝1． 故答案为：1． 【变式2】（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　 　 ． 【答案】﹣3． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m， ∵圆的面积为π，∴圆的半径为1， ∴4+m＝1， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【变式3】（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　 　 ． 【答案】1． 【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径． 【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1， 故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1， 故答案为：1． 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 答｜题｜模｜板 1．配方：将x和y的平方项配方，得到圆心坐标和半径． 2．计算圆心和半径：通过配方得到圆心坐标h和k，然后计算半径r． 【典例4】（24-25高二下•上海杨浦期中）圆x2+y2﹣500x＝0的圆心坐标为　 　 ． 【答案】（250，0）． 【分析】将圆心的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标． 【解答】解：将圆x2+y2﹣500x＝0转化为（x﹣250）2+y2＝62500， 可得圆的圆心坐标为（250，0）． 故答案为：（250，0）． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）圆x2+y2+2x+4y＝0的圆心是　 　 ． 【答案】（﹣1，﹣2）． 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标． 【解答】解：将圆x2+y2+2x+4y＝0整理可得（x+1）2+（y+2）2＝5， 可得圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山期中）圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的半径是　 　 ． 【答案】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0即 （x﹣1）2+（y﹣2）2＝5， 故圆心为（1，2），半径为． 故答案为． 题型5 二元二次方程表示圆的条件 答｜题｜模｜板 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆； 当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），； 当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形． 二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0． 注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件： ①A＝C≠0； ②B＝0； ③D2+E2﹣4F＞0． 【典例5】（24-25高二下•上海嘉定期中）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于a的等式，求出a的值，然后代值检验即可得解． 【解答】解：由题意知a≠0，由2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0可得， 所以，即2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或， 当时，方程为x2+y2+4x+2＝0，可化为（x+2）2+y2＝2，符合题意； 当a＝1时，方程为，可化为，不合题意； 所以． 故选：D． 【变式1】若方程x2+y2﹣8x+6y+m＝0表示圆，则实数m的值可以为（　　） A．29 B．25 C．16 D．41 【答案】C 【分析】将方程转化为（x﹣4）2+（y+3）2＝25﹣m，由25﹣m＞0求解． 【解答】解：根据题意可知方程x2+y2﹣8x+6y+m＝0，即（x﹣4）2+（y+3）2＝25﹣m， 若方程表示圆，则25﹣m＞0，则m＜25， 故只有C选项满足m＜25． 故选：C． 【变式2】若方程C：x2+y2﹣2x+4y+a＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．[5，+∞） 【答案】B 【分析】将圆C化简为标准方程，根据半径大于0建立关于a的不等式，解之即可得到所求答案． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y+a＝0化成标准方程， 可得（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣a， 所以该圆的半径r， 可得5﹣a＞0，解得a＜5，即a的取值范围是（﹣∞，5）． 故选：B． 题型6 关于点、直线对称的圆的方程 答｜题｜模｜板 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 【典例6】（24-25高二下•上海期中）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于x轴对称，则圆C的方程为　 　 ． 【答案】（x﹣2）2+（y+1）2＝2． 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程． 【解答】解：圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0，化成标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2， 所以圆心D（2，1），半径． 因为圆C与圆D关于x轴对称， 所以圆心C（2，﹣1），半径， 所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝2． 故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝2． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）已知圆关于直线l1：y＝x﹣3对称的图形为圆C，求圆C的方程． 【答案】（x﹣1）2+（y+4）2＝8． 【分析】求解对称圆的圆心与半径，即可得到结果． 【解答】解：圆的圆心（﹣1，﹣2），半径为2， 设（﹣1，﹣2）关于y＝x﹣3的对称点为（a，b）， 所以，解得a＝1，b＝﹣4，可得（﹣1，﹣2）关于y＝x﹣3的对称点为（1，﹣4）， 圆关于直线l1：y＝x﹣3对称的图形为圆C的方程（x﹣1）2+（y+4）2＝8． 所求方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8． 【变式2】圆（x﹣2）2+（y+1）2＝5关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的方程为（　　） A．（x+2）2+（y﹣3）2＝5 B．（x+2）2+（y﹣3）2＝25 C．（x﹣2）2+（y+3）2＝5 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝25 【答案】A 【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果． 【解答】解；由圆（x﹣2）2+（y+1）2＝5可知，圆心（2，﹣1），半径r． 设点（2，﹣1）关于直线x﹣y+1＝0对称的点为（a，b）， 则， 解得， ∴所求圆的圆心为（﹣2，3）， 又∵半径r， ∴圆（x﹣2）2+（y+1）2＝5关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝5． 故选：A． 【变式3】圆P：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1关于直线y＝x+2对称的圆Q的方程是（　　） A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+（y﹣3）2＝1 C．（x﹣4）2+（y+2）2＝1 D．x2+（y﹣4）2＝1 【答案】B 【分析】根据题意可知圆Q的半径与圆P相等，且圆心Q与P关于直线y＝x+2对称，因此求出圆P的半径，根据轴对称的性质求出Q的坐标，即可求得圆Q的方程． 【解答】解：圆P：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为P（1，1），半径r＝1， 所以圆Q的半径也是1，且圆心Q与P关于直线y＝x+2对称， 设Q（m，n），则，解得，即Q（﹣1，3）， 所以圆Q的方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝1． 故选：B． 题型7 圆的切线方程 答｜题｜模｜板 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 【典例7】（24-25高二下•上海普陀期中）由直线y＝x+1上的点向圆（x﹣3）2+（y+2）2＝1引切线，则切线长的最小值为 　 　 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，当AC垂直于直线y＝x+1时，AC最短，利用勾股定理可得出此时切线长最小，求出此时的切线长即可． 【解答】解：根据题意画出图形，当AC垂直于直线y＝x+1时，|AC|最短，此时|BC|最小， 由圆的方程得：圆心A（3，﹣2），半径|AB|＝1， 圆心A到直线y＝x+1的距离|AC|3， 则切线长的最小值|BC|． 故答案为： 【变式1】（24-25高二下•上海长宁期中）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）． （1）求圆C的方程； （2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程． 【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4； （2）3x﹣4y+8＝0或x＝4． 【分析】（1）求出交点，可得C的坐标，求出半径，可得圆C的方程； （2）分情况讨论，切线斜率存在和不存在两种，当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）化为一般式，利用圆心到直线的距离等于半径运算即可；②当切线斜率不存在时，直接检验即可． 【解答】解：（1）由直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，可得C（2，1）， ∵以C为圆心的圆过点A（0，1）， ∴圆的半径为2， ∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4； （2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4） 即：kx﹣y+5﹣4k＝0 由2得k， ∴切线方程l：3x﹣4y+8＝0 ②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x＝4 经检验是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的切线． ∴切线方程为3x﹣4y+8＝0或x＝4． 【变式2】已知圆（x+1）2+y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 　　 ． 【答案】 【分析】求出点P圆的切线的斜率，利用两切线的夹角为∠α的余角，可得两切线夹角的正切值． 【解答】解：圆的圆心为（﹣1，0），如图． 当斜率存在时，设切线方程为y＝kx+2 ∴kx﹣y+2＝0 ∴圆心到切线的距离为1，∴k， 即tanα 当斜率不存在时，直线x＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为 故答案为：． 题型8 直线与圆相交的性质 答｜题｜模｜板 ①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交； ②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； ③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【典例8】（24-25高二下•上海宝山期中）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝25，直线l的方程为（m+2）x+（1﹣2m）y+7m﹣6＝0，直线l被圆C截得的弦中长度为整数的共有 　 　 条． 【答案】8． 【分析】将直线l的方程整理，可得恒过定点的坐标，代入圆的方程可得点在圆内，求出圆心到直线的距离，可得弦长的取值范围，进而判断答案． 【解答】解：将直线l的方程为（m+2）x+（1﹣2m）y+7m﹣6＝0整理可得m（x﹣2y+7）+2x+y﹣6＝0， 则，解得x＝1，y＝4， 可得直线恒过定点P（1，4）， 将点P（1，4）代入圆C的方程（x﹣1）2+y2＝25中可得0+16＜25， 即点P在圆C内部，当CP⊥l时，点到直线的距离最大，此时弦长最短， 且此时最短弦长为226， 最长弦长为2r＝10，所以弦长为整数的值有6，7，8，9，10， 且当弦长最短和最长时，只有一条，其它有2条， 所以弦长为整数的有8条． 故答案为：8． 【变式1】（24-25高二下•上海静安期中）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣5＝0上，且经过点A（0，3），B（4，﹣1）． （1）求圆C的标准方程； （2）求过原点且与圆C相切的直线方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，求出线段AB的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案． 【解答】解：（1）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣5＝0上，且经过点A（0，3），B（4，﹣1）， 则线段AB的中点（2，1），直线AB的斜率， 则线段AB的中垂线斜率为，方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1， 由，解得x＝4，y＝3，因此圆C的圆心C（4，3），半径r＝|AC|＝4， 所以圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16； （2）过原点且斜率不存在的直线为x＝0，点C（4，3）到直线x＝0的距离为4＝r， 即直线x＝0与圆C相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，点C（4，3）到该直线距离为， 解得，因此切线方程为7x+24y＝0， 综上，经过原点且与圆C相切的直线方程为x＝0或7x+24y＝0． 题型9 弦长问题 答｜题｜模｜板 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 【典例9】（24-25高二下•上海宝山期中）若直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为 　 　 ． 【答案】． 【分析】先根据直线l上有且仅有一点P使得|OP|＝2，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长． 【解答】解：由题意直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2， 可得直线l与以原点O（0，0）为圆心，半径为2的圆相切． 则原点O（0，0）到直线l：ax+by﹣1＝0的距离， 由于直线l与以原点为圆心，半径为2的圆相切，所以d1＝2，即， 由前面可知圆心C（0，0）到直线l的距离d＝2． 根据圆的弦长计算公式，可得直线l被圆C截得的弦长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25高二下•上海普陀期中）已知直线l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0，m∈R和圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4． （1）证明：圆C与直线l恒相交； （2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）． 【分析】（1）求出直线过的定点A，得到A（3，1）在圆C内，证明出圆C与直线l恒相交； （2）数形结合得到直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小值． 【解答】解：（1）l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0变形为m（x+2y﹣5）﹣x+3＝0， 令，解得， 故直线l过定点A（3，1）， 圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4， 则圆心C（2，1），半径r＝2， 因为（3﹣2）2+（1﹣1）2＝1＜4， 故A（3，1）在圆C内，故圆C与直线l恒相交； （2）解：因为直线l过定点A（3，1），且A（3，1）在圆C内， 故当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小， 其中， 圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的半径为2， 故弦长最小值为． 题型10 直线与圆的位置关系 答｜题｜模｜板 判断直线与圆的位置关系的方法 直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法： （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d ①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0． 【典例10】（24-25高二下•上海杨浦期中）直线y＝kx+1与圆x2+y2＝2的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．均有可能 【答案】C 【分析】对任意的实数k，直线y＝kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2＝2内，故可得结论． 【解答】解：对任意的实数k，直线y＝kx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ∵（0，1）在圆x2+y2＝2内 ∴对任意的实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心． 故选：C． 【变式1】（24-25高二下•上海宝山期中）已知圆，圆分别是圆C1、C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作出圆C1关于y轴对称的圆C0，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值． 【解答】解：圆的圆心C1（3，2），半径r1＝1， 圆的圆心C2（6，5），半径r2＝2， 作圆C1关于y轴对称的圆，其圆心C0（﹣3，2），如图， 因此， 当且仅当P是线段C0C2与y轴的交点时取等号， 所以|PM|+|PN|的最小值为． 故选：C． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（　　） A． B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】将问题转化为点P（x，y）与点A（2，0）连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解． 【解答】解：如图，的几何意义为阴影部分内的动点P（x，y）与定点A（2，0）连线的斜率， 当直线AP与半圆x2+（y﹣1）2＝1，x＞0相切时，斜率k最小， 设lAP：y＝k（x﹣2），则，解得或k＝0（舍）， 当直线过点（0，﹣2）时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1． 因此，结合选项可知，值不可能是． 故选：A． 【变式3】（24-25高二下•上海杨浦期中）已知P（x0，y0）为圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4上一动点，则4x0﹣3y0的最大值为　 　 ． 【答案】8． 【分析】利用三角代换，结合两角和与差的三角函数求解表达式的最大值即可． 【解答】解：P（x0，y0）为圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4上一动点， 令x0＝1+2cosθ，y0＝2+2sinθ， 则4x0﹣3y0＝4+8cosθ﹣6﹣6sinθ＝8cosθ﹣6sinθ﹣2 ＝10cos（θ+φ）﹣2，其中tanφ，10cos（θ+φ）﹣2∈[﹣12，8]， 所以4x0﹣3y0的最大值为8． 故答案为：8． 【变式4】（24-25高二下•上海金山期中）若直线l：kx﹣y+3k＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　 　 ． 【答案】 【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案． 【解答】解：曲线（y≥1）， 可化为x2+（y﹣1）2＝1（y≥1）， 即以（0，1）为圆心，半径为1的圆的上半部分，直线l：kx﹣y+3k＝0，化为y＝k（x+3），可知直线系过定点D（﹣3，0）， 画出直线和半圆的图象如图所示， 设A（﹣1，1），则k的最小值为． 当直线l与半圆相切于B点时，圆心（0，1）到直线l：kx﹣y+3k＝0的距离： ，解得或k＝0（舍去）， ∴． 故答案为：． 题型11 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 答｜题｜模｜板 ﹣确定方程： 1．根据位置关系：从直线与圆的位置关系出发确定方程的形式． 2．代入条件：确定方程的参数和具体形式． 【典例11】（24-25高二下•上海宝山期中）已知直线x﹣y+2＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）有且仅有一个公共点，则r＝ 　 　 ． 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解． 【解答】解：因为直线x﹣y+2＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）有且仅有一个公共点， 所以圆心（0，0）到直线x﹣y+2＝0的距离dr， 解得r． 故答案为：． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）直线mx+y﹣m＝0与圆x2+y2＝4在第一象限有交点，则m的范围是　 　 ． 【答案】（2，+∞）∪（﹣∞，0）． 【分析】由题意求出直线恒过的定点P的坐标，再求出圆与x，y轴的正半轴的交点，可得直线与圆在第一象限有交点的m的范围． 【解答】解：将直线mx+y﹣m＝0整理可得m（x﹣1）+y＝0， 可得直线恒过定点P（1，0）， 因为圆x2+y2＝4与x，y轴的正坐标轴交点分别为A（2，0），B（0，2）， 所以直线与圆在第一象限有交点时直线的斜率﹣m＞kPA＝0或﹣m＜kPB， 解得m＜0或m＞2， 即m的范围为（2，+∞）∪（﹣∞，0）． 故答案为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）． 【变式2】（24-25高二下•上海上海期中）已知曲线与直线y＝x+b有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时b的值，再求出临界值，即可得解． 【解答】解：已知曲线与直线y＝x+b有两个相异的交点， 又，则x≥1，且（x﹣1）2+y2＝4， 所以表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆在x＝1及直线x＝1右侧部分， 直线y＝x+b是与y＝x平行的直线， 当直线y＝x+b与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点A（1，﹣2）时，b＝﹣3，结合图形分析得b的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下•上海上海期中）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝25，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 【答案】（1）3x﹣4y+13＝0； （2）． 【分析】（1）根据题意，分析可得P在圆C上，由圆切线的性质分析可得答案； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长． 【解答】解：（1）根据题意，圆C：（x﹣4）2+y2＝25， 点P（1，4），有（1﹣4）2+42＝25，点P在圆C上， kPC， 故切线的斜率， 此时直线l的方程为，即3x﹣4y+13＝0， 故直线l的方程为3x﹣4y+13＝0； （2）根据题意，若l的倾斜角为，则其斜率k， 则其方程为y﹣4＝x﹣1，即x﹣y+3＝0， 圆心C到直线l的距离， 故直线l被圆C截得的弦长为． 题型12 圆与圆的位置关系及其判定 答｜题｜模｜板 圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2| （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值． 【典例12】（24-25高二下•上海杨浦期中）圆与圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆的位置关系，即可求解． 【解答】解：圆与圆， 则圆心C1（﹣1，1），r1＝2，圆心C2（2，﹣3），半径r2＝5， ， 则r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2， 故两圆的位置关系为相交． 故选：C． 【变式1】（24-25高二下•上海嘉定期中）圆与圆的位置关系不可能为（　　） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解． 【解答】解：圆，可化为x2+（y﹣2）2＝9， 所以C1的圆心为C1（0，2），半径为r1＝3， 圆，可化为（x+a）2+y2＝1， 所以C2的圆心为C2（﹣a，0），半径为r2＝1， 所以，当且仅当a＝0时，等号成立， 又r1﹣r2＝2， 所以当|C1C2|＞2时，两圆外离或相交，|C1C2|＝2时，两圆内切， 故两圆不可能内含． 故选：C． 【变式2】（24-25高二下•上海黄浦期中）已知圆与圆内切，则a＝　 　 ． 【答案】 【分析】利用两圆内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，列出方程求解． 【解答】解：与圆内切， 圆心分别为C1（a，0），C2（0，2），半径r1＝6，r2＝2， 因为两圆内切，所以|C1C2|r1﹣r2＝4， 解得a． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下•上海浦东新区期中）圆C1：x2+y2﹣4x＝0和与圆C2：x2+y2+2y＝0的位置关系为（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合两圆圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【解答】解：圆C1：x2+y2﹣4x＝0，圆C2：x2+y2+2y＝0， 则圆心C1（2，0），半径r1＝2，圆心C2（﹣1，0），半径r2＝1， ， 又r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2， 故两圆的位置关系为相交． 故选：B． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下•上海浦东新期中）已知圆M：x2+y2﹣4x＝0，点，则经过点A且与圆M相切的直线方程为　 　 ． 【答案】． 【分析】将点A坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程． 【解答】解：圆M：x2+y2﹣4x＝0化为：圆M：（x﹣2）2+y2＝22，可得圆的圆心M（2，0），半径为2． ∵点，可得，即点A在圆M上， 设切线为l，则l⊥AM，， ∴， ∴切线，即． 故答案为：． 2.（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知圆x2+y2＝4与圆（x﹣a）2+y2＝1内切，则实数a＝　 ． 【答案】1或﹣1． 【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标与半径的大小，然后根据两圆相内切的性质建立关于a的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得圆x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径r1＝2． 圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心C2（a，0），半径r2＝1， 因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|， 即|a|＝2﹣1＝1， 解得a＝1或﹣1． 故答案为：1或﹣1． 3.（24-25高二下•上海徐汇期中）两圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝75和（x+3）2+（y+1）2＝75的公共弦长为　 　 ． 【答案】． 【分析】先求出公共弦长所在的直线，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 【解答】解：将两圆的方程相减可得，4x+3y﹣10＝0， 两圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝75， 则圆心C（5，5），半径r， 圆心C（5，5）到直线4x+3y﹣10＝0的距离d， 故公共弦长为． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下•上海嘉定期中）若直线y＝x+b与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】画出图像，当直线y＝x+b过点A，B时，求出b值；当直线y＝x+b与曲线相切时，求出b，即可得出b的取值范围． 【解答】解：曲线的图形是圆心在圆点，半径为的半圆，如图， 当直线y＝x+b过点A，B时， b＝2，此时直线y＝x+b与曲线有两个公共点； 直线y＝x+b与曲线相切时，b＝2， 因此当时，直线y＝x+b与曲线有两个公共点． 故答案为：． 2.（24-25高二下•上海静安期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　） ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】B 【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断． 【解答】解：对于①，不妨设椭圆方程为，M（m，0）， 则椭圆上一点P到M距离为， 当m＞a时，对称轴，可得|PM|∈[m﹣a，m+a]， 总存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值， 而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m，+∞）， 故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误． 故选：B． 3.（24-25高二下•上海杨浦期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝2，则下列说法错误的是（　　） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点O的距离的最大值为 C．动直线x+y＝t被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 【答案】C 【分析】由题意可得C：y2＝4x，可求得逆时针旋转90°的抛物线方程，联立两个抛物线方程，即可判断选项AB； 联立直线和抛物线方程，即可得到交点坐标，结合函数求最值，即可求得弦长的最大值，判断选项C； 利用图像的对称性即可判断选项D． 【解答】解：由逆时针旋转90°所得的曲线为x2＝4y，A正确； 由题知，C：y2＝4x， 逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝4y，y2＝﹣4x，x2＝﹣4y， 联立，解得或， 根据对称性可知，（4，4）到点O的距离即是最大，且为，B正确； 如图，设直线x+y＝t与第一象限叶子分别交于M，N， 由，解得或（舍去）， 由，解得或（舍去）， 即，﹣2+2），N（﹣2+2，2+t﹣2）， 则弦长， 由图知，直线x+y＝t经过点A时t取最大值8， 经过点O时，t取最小值0，即在第一象限部分满足0＜t≤8， 不妨设，则4＜μ≤12，且， 代入得，， 所以当μ＝8时，|MN|最大，且为，C错． 如图， 由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半， 即四叶图的面积小于，D正确． 故选：C． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2-1 圆的方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型3 圆的一般方程 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型5 二元二次方程表示圆的条件 题型6 关于点、直线对称的圆的方程 题型7 圆的切线方程 题型8 直线与圆相交的性质 题型9 弦长问题 题型10 直线与圆的位置关系 题型11 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 题型12 圆与圆的位置关系及其判定 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 曲线方程的概念 理解曲线与方程的对应关系，能判断点与曲线、方程与曲线的匹配性 基础概念考点，选择填空低频考查，侧重定义辨析 圆的标准方程 掌握圆的定义，能根据圆心、半径写标准方程，会判断点与圆的位置关系 期中必考基础题，填空高频，常结合几何条件求圆心半径 圆的一般方程 掌握圆的一般式形式，能配方化标准式，会求圆心与半径 高频基础题型，填空必考，易错点为判别式条件遗漏 二元二次方程表示圆的条件 熟记二元二次方程表示圆的三个条件，会求参数取值范围 选择填空常考题，侧重公式直接应用，难度低 对称圆的方程 会求圆关于点、直线对称的圆的方程，掌握对称点求解方法 中档常考题，填空为主，常结合直线对称综合考查 圆的切线方程 会求圆上、圆外一点的切线方程，掌握切线长计算方法 期中高频中档题，填空必考，易错点为斜率不存在情况 直线与圆的位置关系 会用几何法、代数法判断位置关系，掌握弦长公式与最值求解 核心必考考点，分值高，覆盖填空、解答，综合度高 弦长问题 熟练运用垂径定理求弦长，会求弦长最值及对应参数 高频必考题型，填空压轴常考，结合距离公式综合 直线与圆的参数求解 根据位置关系求直线、圆中的参数，掌握分类讨论思想 期中重难题型，填空解答均有考查，易错点为漏解 圆与圆的位置关系 会用圆心距判断两圆位置关系，会求公共弦方程与弦长 必考中档题，填空为主，常结合半径、圆心距计算 知识点01 曲线方程的概念 在平面直角坐标系中，若曲线上每一点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线上，则这个方程是曲线的方程，这条曲线是方程的曲线. 知识点02 圆的标准方程 1.圆的定义：到定点的距离等于定长（大于0）的点的轨迹，定点为圆心，定长为半径. 2.圆的标准方程：圆心，半径，方程为；圆心在原点时，方程为. 3.特殊位置圆的标准方程 o过原点： o圆心在轴上： o圆心在轴上： o与轴相切： o与轴相切： 4.点与圆的位置关系（圆：，点，） o点在圆外： o点在圆上： o点在圆内： 5.圆上点到定点的距离最值：设圆心到定点距离为，半径 o点在圆外：， o点在圆上：， o点在圆内：， 知识点03 圆的一般方程 1.圆的一般方程：（） 2.圆心与半径：圆心，半径 3.二元二次方程表示圆的条件 o与系数相同且不为0 o无项 o 4.特殊情况 o：圆心在轴上 o：圆心在轴上 o：圆过原点 5.点与圆的位置关系（一般方程）：点 o圆外： o圆上： o圆内： 6.轨迹与轨迹方程 o轨迹方程：代数表达式 o轨迹：需说明图形形状与位置 o要求：纯粹性（解均满足条件）、完备性（满足条件的点均在解中） 知识点04 直线与圆的位置关系 1.判断方法 o几何法：圆心到直线距离，半径 相交：（2个公共点） 相切：（1个公共点） 相离：（0个公共点） o代数法：联立方程得一元二次方程，判别式 相交；相切；相离 2.直线与圆相交弦长 o几何法： o代数法：弦长公式 3.直线与圆相切 o过圆上点的切线： o切线数量：圆外2条，圆上1条，圆内0条 4.圆上点到直线的距离最值：最大距离，最小距离 知识点05 圆与圆的位置关系 1.位置关系判定（圆心距，半径） o外离： o外切： o相交： o内切： o内含： 2.公共弦 o方程：两圆一般方程相减， o长度：（为两圆心到公共弦距离） 3.公切线条数 o外离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：0条 题型1 圆的标准方程 答｜题｜模｜板 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【典例1】（24-25高二下•上海静安期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 【变式1】（2024•上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 　 　 ．（精确到0.01） 【变式2】以点A（﹣3，4）为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为（　　） A．（x+3）2+（y﹣4）2＝16 B．（x﹣3）2+（y+4）2＝16 C．（x+3）2+（y﹣4）2＝9 D．（x﹣3）2+（y+4）2＝9 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 答｜题｜模｜板 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【典例2】（24-25高二下•上海杨浦区期中）以C（3，4）为圆心且过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海金山期中）已知圆心为C的圆经过点A（1，4），B（3，6），且圆心C在直线3x﹣4y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点（1，1）且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的一般式方程． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切． （1）求圆心S与圆心L的坐标； （2）已知直线l过点O若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于t，求出t的值． 题型3 圆的一般方程 答｜题｜模｜板 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【典例3】（24-25高二下•上海浦东新区期中）若圆C的方程为x2+y2﹣2x+t＝0，则实数t的取值范围为　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海普陀期中）设k∈R，若圆x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半径为2，则k的值为 　 　 ． 【变式2】（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　 　 ． 【变式3】（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　 　 ． 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 答｜题｜模｜板 1．配方：将x和y的平方项配方，得到圆心坐标和半径． 2．计算圆心和半径：通过配方得到圆心坐标h和k，然后计算半径r． 【典例4】（24-25高二下•上海杨浦期中）圆x2+y2﹣500x＝0的圆心坐标为　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）圆x2+y2+2x+4y＝0的圆心是　 　 ． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山期中）圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的半径是　 　 ． 题型5 二元二次方程表示圆的条件 答｜题｜模｜板 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆； 当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），； 当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形． 二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0． 注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件： ①A＝C≠0； ②B＝0； ③D2+E2﹣4F＞0． 【典例5】（24-25高二下•上海嘉定期中）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【变式1】若方程x2+y2﹣8x+6y+m＝0表示圆，则实数m的值可以为（　　） A．29 B．25 C．16 D．41 【变式2】若方程C：x2+y2﹣2x+4y+a＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C．（5，+∞） D．[5，+∞） 题型6 关于点、直线对称的圆的方程 答｜题｜模｜板 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 【典例6】（24-25高二下•上海期中）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于x轴对称，则圆C的方程为　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）已知圆关于直线l1：y＝x﹣3对称的图形为圆C，求圆C的方程． 【变式2】圆（x﹣2）2+（y+1）2＝5关于直线x﹣y+1＝0对称的圆的方程为（　　） A．（x+2）2+（y﹣3）2＝5 B．（x+2）2+（y﹣3）2＝25 C．（x﹣2）2+（y+3）2＝5 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝25 【变式3】圆P：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1关于直线y＝x+2对称的圆Q的方程是（　　） A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+（y﹣3）2＝1 C．（x﹣4）2+（y+2）2＝1 D．x2+（y﹣4）2＝1 题型7 圆的切线方程 答｜题｜模｜板 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 【典例7】（24-25高二下•上海普陀期中）由直线y＝x+1上的点向圆（x﹣3）2+（y+2）2＝1引切线，则切线长的最小值为 　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海长宁期中）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）． （1）求圆C的方程； （2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程． 【变式2】已知圆（x+1）2+y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 　　 ． 题型8 直线与圆相交的性质 答｜题｜模｜板 ①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交； ②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； ③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【典例8】（24-25高二下•上海宝山期中）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝25，直线l的方程为（m+2）x+（1﹣2m）y+7m﹣6＝0，直线l被圆C截得的弦中长度为整数的共有 　 　 条． 【变式1】（24-25高二下•上海静安期中）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣5＝0上，且经过点A（0，3），B（4，﹣1）． （1）求圆C的标准方程； （2）求过原点且与圆C相切的直线方程． 题型9 弦长问题 答｜题｜模｜板 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 【典例9】（24-25高二下•上海宝山期中）若直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使得|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为 　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海普陀期中）已知直线l：（m﹣1）x+2my﹣5m+3＝0，m∈R和圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4． （1）证明：圆C与直线l恒相交； （2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值． 题型10 直线与圆的位置关系 答｜题｜模｜板 判断直线与圆的位置关系的方法 直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法： （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d ①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0． 【典例10】（24-25高二下•上海杨浦期中）直线y＝kx+1与圆x2+y2＝2的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．均有可能 【变式1】（24-25高二下•上海宝山期中）已知圆，圆分别是圆C1、C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【变式2】（24-25高二下•上海宝山期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（　　） A． B．﹣1 C．0 D．1 【变式3】（24-25高二下•上海杨浦期中）已知P（x0，y0）为圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4上一动点，则4x0﹣3y0的最大值为　 　 ． 【变式4】（24-25高二下•上海金山期中）若直线l：kx﹣y+3k＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　 　 ． 题型11 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 答｜题｜模｜板 ﹣确定方程： 1．根据位置关系：从直线与圆的位置关系出发确定方程的形式． 2．代入条件：确定方程的参数和具体形式． 【典例11】（24-25高二下•上海宝山期中）已知直线x﹣y+2＝0与圆x2+y2＝r2（r＞0）有且仅有一个公共点，则r＝ 　 　 ． 【变式1】（24-25高二下•上海徐汇期中）直线mx+y﹣m＝0与圆x2+y2＝4在第一象限有交点，则m的范围是　 　 ． 【变式2】（24-25高二下•上海上海期中）已知曲线与直线y＝x+b有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是　 　 ． 【变式3】（24-25高二下•上海上海期中）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝25，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 题型12 圆与圆的位置关系及其判定 答｜题｜模｜板 圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2| （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值． 【典例12】（24-25高二下•上海杨浦期中）圆与圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1】（24-25高二下•上海嘉定期中）圆与圆的位置关系不可能为（　　） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【变式2】（24-25高二下•上海黄浦期中）已知圆与圆内切，则a＝　 　 ． 【变式3】（24-25高二下•上海浦东新区期中）圆C1：x2+y2﹣4x＝0和与圆C2：x2+y2+2y＝0的位置关系为（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下•上海浦东新期中）已知圆M：x2+y2﹣4x＝0，点，则经过点A且与圆M相切的直线方程为　 　 ． 2.（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知圆x2+y2＝4与圆（x﹣a）2+y2＝1内切，则实数a＝　 ． 3.（24-25高二下•上海徐汇期中）两圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝75和（x+3）2+（y+1）2＝75的公共弦长为　 　 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下•上海嘉定期中）若直线y＝x+b与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是　 　 ． 2.（24-25高二下•上海静安期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　） ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 3.（24-25高二下•上海杨浦期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝2，则下列说法错误的是（　　） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点O的距离的最大值为 C．动直线x+y＝t被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $