专题2-4 抛物线6大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

2-4 抛物线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、抛物线定义的理解 题型二、抛物线上的点到定点和焦点距离的 和、差最值 题型三、根据抛物线方程求焦点或准线 题型四、抛物线的焦半径公式 题型五、根据焦点或准线写出抛物线的标准方 程 题型六、抛物线的性质 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线定义的理解 掌握抛物线的定义（到定点与定直线距离相等），能结合定义解决圆的方程、焦半径和、重心坐标等综合问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为混淆焦点与准线的对应关系 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 熟练运用抛物线定义进行距离转化，求解点到定点与准线/焦点距离和的最小值，确定取最值时点的坐标 高频基础考点，填空题型为主，易错点为三点共线的等号成立条件判断 根据抛物线方程求焦点或准线 能将抛物线方程化为标准式，求焦点坐标、准线方程，结合点在抛物线上求参数，解决距离最值问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为开口方向判断错误、准线方程符号记错 抛物线的焦半径公式 掌握焦半径公式，能结合点的坐标、到焦点距离列方程求参数，解决焦点弦长、三角形面积等问题 中档核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为焦半径公式与开口方向不匹配 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 能根据准线、焦点坐标、圆的圆心等条件求抛物线标准方程，解决轨迹唯一的参数范围问题 基础必考点，填空题型为主，易错点为漏写开口方向的分类讨论 抛物线的性质 掌握抛物线的对称性、光学性质，解决弦长最值、面积比值、直线过定点、中点弦、实际应用（隧道限高）等综合问题 解答题压轴必考点，难度中等偏上，易错点为直线斜率不存在的情况遗漏 | 知识点01 抛物线的标准方程 1 抛物线定义 平面内到定点与定直线（）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 核心等式：（为点到准线的距离） 离心率： 轨迹条件：平面内、、 2 抛物线四种标准方程（） 标准方程 图形 焦点 准线 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径公式（点在抛物线上） 3. 统一方程与参数意义 焦点在轴： 焦点在轴： ：焦点到准线的距离（焦准距），顶点到焦点/准线距离均为 知识点02 抛物线的几何性质 1. 基本性质（以为例） 范围：R 对称性：关于轴对称 顶点： 离心率： 2.四种标准方程对应的抛物线性质的比较 3. 直线与抛物线位置关系 联立，得： ：直线与抛物线相交（1个公共点） ： 相交；相切；相离 补充：抛物线核心结论 1 焦点弦性质（，焦点弦，，倾斜角） 弦长： 坐标关系： 焦半径： 弦长： 倒数和： 通径长： 2 中点弦方程 以为中点的弦： 3 光学性质 焦点发出的光线经抛物线反射后平行于对称轴；平行于对称轴的光线反射后过焦点。 4 等角定理 对，对称轴上点与为伴侣点，过的弦满足： 题型一、抛物线定义的理解 【典例1】（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为______. 【变式2】设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________ 题型二、抛物线上的点到定点和焦点距离的 和、差最值 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 【变式1】已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_________ 【变式2】已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 题型三、根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是_________. 【变式1】抛物线的准线方程为______． 【变式2】已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 题型四、抛物线的焦半径公式 【典例4】（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【变式1】若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为_________. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 题型五、根据焦点或准线写出抛物线的标准方 程 【典例5】（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为______． 【变式2】已知点到点和点以及直线的距离相等，若满足条件的点有且只有一个，则实数的值为______. 题型六、抛物线的性质 【典例6】（24-25高二下·上海·期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（   ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是________． 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 【变式4】（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 【变式6】（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是________. （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 【变式7】（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【变式8】（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式9】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【变式10】（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【变式11】（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【变式12】（24-25高二下·上海杨浦·期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【变式13】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【变式14】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【变式15】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【变式16】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为______. 3．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为_____________. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 2-4 抛物线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、抛物线定义的理解 题型二、抛物线上的点到定点和焦点距离的 和、差最值 题型三、根据抛物线方程求焦点或准线 题型四、抛物线的焦半径公式 题型五、根据焦点或准线写出抛物线的标准方 程 题型六、抛物线的性质 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线定义的理解 掌握抛物线的定义（到定点与定直线距离相等），能结合定义解决圆的方程、焦半径和、重心坐标等综合问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为混淆焦点与准线的对应关系 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 熟练运用抛物线定义进行距离转化，求解点到定点与准线/焦点距离和的最小值，确定取最值时点的坐标 高频基础考点，填空题型为主，易错点为三点共线的等号成立条件判断 根据抛物线方程求焦点或准线 能将抛物线方程化为标准式，求焦点坐标、准线方程，结合点在抛物线上求参数，解决距离最值问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为开口方向判断错误、准线方程符号记错 抛物线的焦半径公式 掌握焦半径公式，能结合点的坐标、到焦点距离列方程求参数，解决焦点弦长、三角形面积等问题 中档核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为焦半径公式与开口方向不匹配 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 能根据准线、焦点坐标、圆的圆心等条件求抛物线标准方程，解决轨迹唯一的参数范围问题 基础必考点，填空题型为主，易错点为漏写开口方向的分类讨论 抛物线的性质 掌握抛物线的对称性、光学性质，解决弦长最值、面积比值、直线过定点、中点弦、实际应用（隧道限高）等综合问题 解答题压轴必考点，难度中等偏上，易错点为直线斜率不存在的情况遗漏 | 知识点01 抛物线的标准方程 1 抛物线定义 平面内到定点与定直线（）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 核心等式：（为点到准线的距离） 离心率： 轨迹条件：平面内、、 2 抛物线四种标准方程（） 标准方程 图形 焦点 准线 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径公式（点在抛物线上） 3. 统一方程与参数意义 焦点在轴： 焦点在轴： ：焦点到准线的距离（焦准距），顶点到焦点/准线距离均为 知识点02 抛物线的几何性质 1. 基本性质（以为例） 范围：R 对称性：关于轴对称 顶点： 离心率： 2.四种标准方程对应的抛物线性质的比较 3. 直线与抛物线位置关系 联立，得： ：直线与抛物线相交（1个公共点） ： 相交；相切；相离 补充：抛物线核心结论 1 焦点弦性质（，焦点弦，，倾斜角） 弦长： 坐标关系： 焦半径： 弦长： 倒数和： 通径长： 2 中点弦方程 以为中点的弦： 3 光学性质 焦点发出的光线经抛物线反射后平行于对称轴；平行于对称轴的光线反射后过焦点。 4 等角定理 对，对称轴上点与为伴侣点，过的弦满足： 题型一、抛物线定义的理解 【典例1】（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为______. 【答案】 【知识点】斜率公式的应用、抛物线定义的理解、由弦长求参数 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，由弦长公式求解出直线的斜率，再结合斜率坐标公式以及点在抛物线上求出的值. 【详解】设直线的斜率为，， 由，得，解得， 又，则，由都在第一象限，得， 而，且，则， 所以抛物线方程为， 故答案为： 【变式2】设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________ 【答案】12 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解. 【详解】设三角形的三个顶点， 由条件可知，, 根据三角形的重心坐标公式，可得，所以， 根据抛物线的定义，可得 所以， 故答案为：12. 题型二、抛物线上的点到定点和焦点距离的 和、差最值 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值. 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式1】已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_________ 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】作出图形，利用图形可知，当与抛物线的准线垂直时，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值，联立直线与抛物线的方程，可得出点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义，可得，则， 当、、三点共线，即当时，取最小值， 此时直线的方程为，联立，解得，即点. 因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为. 故答案为：. 【变式2】已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 题型三、根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是_________. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将点代入中，求得，从而得到抛物线的准线方程. 【详解】因为抛物线C:经过点，所以，解得， 所以抛物线方程为，故抛物线的焦点在轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 【变式1】抛物线的准线方程为______． 【答案】/x=0.25 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的方程和准线的关系可求答案. 【详解】因为抛物线，所以其焦点坐标为， 所以准线方程为. 故答案为：. 【变式2】已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解、求点到直线的距离 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    题型四、抛物线的焦半径公式 【典例4】（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【答案】或 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线的方程求参数 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 【变式1】若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为_________. 【答案】6 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义求抛物线上点到焦点的距离即可. 【详解】由题设，抛物线准线为，故点A与抛物线焦点的距离为. 故答案为：6 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的焦半径公式、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积. （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以. 所以曲线的方程为：. （2）直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：. 所以. 又点到直线：的距离为：. 所以. （3）如图：    设直线：，代入抛物线得：， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取“”. 则. 题型五、根据焦点或准线写出抛物线的标准方 程 【典例5】（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据准线方程即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为______． 【答案】． 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 【变式2】已知点到点和点以及直线的距离相等，若满足条件的点有且只有一个，则实数的值为______. 【答案】或 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由到点和点以及直线的距离相等，可得P的轨迹是抛物线：，且满足 ，把代入第二个方程，对a分类讨论，利用判别式与方程实数根的关系即可得出. 【详解】解：由到点 和到直线 距离相等，可得P的轨迹是抛物线：， 点到点的距离为，点到直线的距离为， 点到点和到直线的距离相等，则满足方程， 把代入方程可得： ，要使满足条件的点P有且只有一个． 时，方程 化为，代入抛物线方程有，可得 ，只有一个解，满足条件． 时，方程只有一解，则， 化为 ，即， 解得 ， 综上可得： 或 . 故答案为： 或 题型六、抛物线的性质 【典例6】（24-25高二下·上海·期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（   ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 【答案】C 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求抛物线的切线方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；与的交点到原点的距离最大，计算可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；.求出抛物线在点处的切线，求出该切线与x轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证. 【详解】对于A，若，则抛物线， 若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为， 即，开口向上，故A正确； 对于B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称， 可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点， 解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为，故B正确； 对于C，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C错误.    对于D，抛物线，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于， 所以四叶图的面积小于，故D正确.    故选：C. 【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是________． 【答案】/ 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【详解】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【答案】20 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故答案为：20 【变式5】（24-25高二下·上海·期中）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 【答案】 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为则，而，则直线的斜率为. 故答案为：． 【变式6】（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是________. （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 【答案】（2）（3）（4） 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用待定系数法求出参数，从而可以得到准线方程；再利用方程组思想得到的一元二次方程来判断是否相切；同理利用方程组和韦达定理，用坐标来表示各线段的长度，并转化到韦达定理上去，从而根据系数满足的范围去加以判断. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：， 所以抛物线的准线方程为：，故（1）错误. （2），所以直线的方程为：， 由可得，抛物线方程为：， 联立直线和抛物线方程可得：可得：， 因为， 所以方程有唯一解， 即直线与抛物线相切，故（2）正确. （3）， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与抛物线只有1个交点，不合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为：，， 联立可得：， 所以， ，故（3）正确. （4）， ，故（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式7】（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【答案】 【知识点】抛物线的中点弦、抛物线中的参数范围问题 【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 【变式8】（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、求平面轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 【变式9】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； （2） 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 【变式10】（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值， 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）根据抛物线定义可直接求出，可得抛物线的标准方程； （2）联立直线和抛物线方程并利用焦点弦公式可求得，可得圆的面积为； （3）依题意分别求得的坐标，得出的表达式并利用基本不等式可求得结果，可得此时点的坐标. 【详解】（1）依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 （3）设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 【变式11】（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【变式12】（24-25高二下·上海杨浦·期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【答案】2.29米 【知识点】抛物线的应用 【分析】由题意建立坐标系，求得抛物线的方程，根据卡车宽度建立方程，可得答案. 【详解】由题意建立坐标系，如下： 设抛物线的方程为，依题意抛物线过点， 则，所以抛物线的方程为，车的截面为矩形ABCD， 设，则，所以米， 即限高为2.29米． 【变式13】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 【变式14】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 【变式15】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的焦半径公式、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 【变式16】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据两点求解直线方程，联立直线与抛物线方程，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据直线是否有斜率，即可根据方程的根即可求解. 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为,即， 联立解方程组,可得， 设,,,，则， ， （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得，直线方程为 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 【答案】/ 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 2．（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为______. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、数量积的坐标表示 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【答案】(1). (2). 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）代入，求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】（1）解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线的切线方程、直线过定点问题 【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解. 【详解】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 2．已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为_____________. 【答案】/ 【知识点】利用向量垂直求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题可知，，故，写出对应的坐标计算即可求解点的横坐标. 【详解】 因为抛物线的焦点为，则， 又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点， 设，因为， 则， 所以， 解得（舍）或.即点的横坐标为， 故答案为： 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】过点的直线与抛物线只有一个交点，则方程组只有一组解，分两种情况讨论即可： ①当该直线存在斜率时；②该直线不存在斜率时. 【详解】解：①当过点的直线存在斜率时，设其方程为：， 由方程组，消得， 若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点； 若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点； ②当过点的直线不存在斜率时， 该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点； 综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条． 故选：B． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是： ①代数法，转化为方程组解的个数问题；②几何法，数形结合； 4．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由题意可得抛物线方程为，直线的方程为，联立方程组可求得，结合，可求得，可求离心率. 【详解】由双曲线，可得左、右焦点为，， 可得以为焦点的抛物线方程为， 因为，不妨设点P在第一象限，所以直线的方程为， 联立方程可得，消去，可得，解得，所以， 所以， 又，. 故答案为：. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】根据抛物线的方程求参数、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可证明；（2）设，表示出，，利用抛物线的定义，点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于，的方程，求解即可；（3）设过点作直线的方程为：，，，联立方程，由韦达定理得到，，分别表示出，，化简即可得到答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，化简得，得证； （2）由，可得， 设，则，， 则，故， 即， 又点在抛物线上， 则， 联立，解得， 所以抛物线的方程为 （3）设过点作直线的方程为：，，      联立，得， 则，，， 则，， 所以， 化简得， ， 化简得：， 所以 2．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、求椭圆中的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、零点存在性定理的应用 【分析】（1）根据椭圆性质，求出离心率的值． （2）讨论①直线方程斜率不存在时，②直线方程斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，令，求解即可． （3）讨论①直线为时，②设直线方程为时，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，由，得出等式，将联立结果代入，化简求解，即可证明命题成立． 【详解】（1）根据椭圆性质知，，，所以离心率为． （2）如图： ①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意． ②直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为．联立方程，消去可得，解得，． 联立方程，消去可得，解得，． 当时，即，等价于，代入联立结果得，解得，（舍去），即． 综上所述，直线方程为. （3）如图： ①直线为 时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去． ②设直线方程为，联立方程，消去可得，当△时，． 由根与系数的关系可得，，所以， 联立方程，消去可得， 此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，， 所以． 如果存在等弦线使得，等价于，化简可得， 将联立结果代入可得， 换元，令，代入上式可得． 由于，化简得到． 题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在 上有解． 令，则， 令，由于且， 所以对任意，有，即； 由于， 所以． 根据零点存在定理，一定存在，使得． 综上所述，对任意，在上有解，命题得证． 【点睛】方法点睛：在分析直线与圆锥曲线的位置关系时，首先要设直线的方程，此时往往需要分类讨论. （1）按直线是否有斜率分类，可设直线方程为：或. （2）按直线是否与轴平行，可设直线为或. 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $