专题2-2 椭圆8大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

2-2 椭圆（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、根据方程表示椭圆求参数的范围。 题型二、根据椭圆方程求a、b、c 题型三、根据a、b、c求椭圆标准方程 题型四、求椭圆的焦点、焦距 题型五、求椭圆的顶点坐标 题型六、求椭圆的长轴、短轴 题型七、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型八、根据离心率求椭圆 的标准方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 根据方程表示椭圆求参数范围 掌握椭圆标准方程形式，能根据焦点位置列不等式求参数取值范围 基础必考题型，填空高频，易错点为忽略分母不等与焦点位置条件 根据椭圆方程求 熟练由标准方程求，运用椭圆定义解决焦点三角形问题 期中核心基础题，填空常考，结合定义、距离公式综合考查 根据求椭圆标准方程 能根据几何条件、焦点位置、定点坐标求椭圆标准方程 高频中档题，填空、解答均有考查，待定系数法为核心方法 求椭圆的焦点、焦距 会判断焦点位置，准确计算焦点坐标与焦距 基础常考题，填空为主，难度低，侧重公式直接应用 求椭圆的顶点坐标 掌握椭圆顶点坐标，能结合顶点解决几何计数、距离问题 中档题型，填空低频考查，常结合分类讨论综合命题 求椭圆的长轴、短轴 熟练计算长轴长、短轴长，区分轴长与半轴长 基础必考，选择填空高频，易混淆长轴/短轴与 求椭圆的离心率及取值范围 掌握，能结合几何条件求离心率或范围 期中重难点，填空压轴常考，综合度高，易错点为范围取舍 根据离心率求椭圆标准方程 由离心率、轴长等条件求，写出标准方程 中档常考题，填空、解答基础问必考，步骤固定 椭圆中的弦长、面积、定点定值 掌握弦长公式，会求三角形面积，解决定点、定值综合问题 解答题核心考点，期中压轴必考，计算量大，侧重韦达定理应用 直线与椭圆的位置关系 会联立方程判断位置关系，求参数范围及最值 重难题型，解答题必考，结合函数、不等式综合考查 知识点01 椭圆的标准方程 1. 椭圆的定义 平面上到两个定点、的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。定点、叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 若，则点的轨迹为椭圆。 若，则点的轨迹为线段。 若，则点的轨迹不存在。 (1)椭圆的相关定义：定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数称为椭圆的离心率。 (2)椭圆的第三定义：平面内与两定点、的斜率之积是常数（称为离心率，）的点的轨迹是椭圆（除去两顶点）。 2. 椭圆的两种标准方程 焦点在轴：，焦点坐标、 焦点在轴：，焦点坐标、 关系式： 相同点：椭圆的大小、形状相同。 如何判断焦点在哪条坐标轴上？ 椭圆的两种标准方程中，总是，即椭圆的标准方程中，哪一项的分母大，焦点就在相应的那条轴上；反之，焦点在哪条轴上，相应的那一项的分母就大。 共焦点的椭圆系方程 (1)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为 (2)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为 3. 点与椭圆的位置关系 (1)根据椭圆的定义判断： 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 (2)根据标准方程判断： 点在椭圆外 点在椭圆上 点在椭圆内 知识点02 椭圆的性质 1. 椭圆的简单几何性质 1.范围 焦点在轴：， 焦点在轴：， 2.对称性 椭圆既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，其唯一的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点与轴 椭圆与坐标轴交点：、、、，这四个点都是椭圆的顶点。 长轴：线段，长为 短轴：线段，长为 4.离心率 ，且。 5.椭圆的其他性质 (1)椭圆上到中心距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端点。 (2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，最大、最小距离分别是。 (3)若是椭圆上的点，则当点在短轴端点时，最大。 知识点03 直线与椭圆相关公式 1. 弦长公式 (1)斜率存在：直线交椭圆于、 ； (2)斜率不存在： 2. 中点弦（点差法） 焦点在轴：， 焦点在轴： 3. 焦半径公式 椭圆上点： ，， 4. 焦点弦长公式 倾斜角为的直线过焦点， 题型一、根据方程表示椭圆求参数的范围。 【典例1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆方程分析运算. 【详解】由题意可得且， 若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】把椭圆的方程化为标准形式，列出不等式即得. 【详解】由题意，方程可化为， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 题型二、根据椭圆方程求a、b、c 【典例2】椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 【变式1】椭圆的焦点坐标为________. 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】通过椭圆的方程可判断焦点在轴上，并由计算即可得出结论. 【详解】椭圆，则，则椭圆的焦点在轴上，，所以焦点坐标为. 故答案为：. 【变式2】设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________. 【答案】/ 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得. 【详解】椭圆，即，所以，，， 因为，所以点为短轴顶点，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 【答案】4 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 题型三、根据a、b、c求椭圆标准方程 【典例3】若椭圆的一个焦点为，则______． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆的性质计算可得. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，， 所以，解得. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 【答案】/ 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由题意，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心. (1)求椭圆的方程； (2)求点到直线的距离的最大值； (3)判断的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求点到直线的距离、椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组，结合解出椭圆方程. （2）当直线斜率不存在时，易求得到直线的距离为.当直线斜率存在时设的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点到直线的距离并化简即可求解； （3）当直线斜率存在时，利用弦长公式化简计算表示出，结合（2）可得点到直线的距离为，对化简计算即可下结论. 【详解】（1）由题意得，整理得， 解得，所以椭圆的方程为； （2）当直线斜率不存在时，设，根据题意有. 因为原点是的重心，所以， 解得，. 将，代入，解得，所以由知或. 所以到直线的距离为. 即直线斜率不存在时，到直线的距离为. 当斜率存在时，设所在直线方程为，. 由，得， 且，即. 所以. 因为原点是的重心，所以， 所以，即. 将点代入椭圆方程得并整理可得， 所以点到直线的距离为 . 综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为； （3）的面积为定值，理由如下： 当直线斜率存在时，由（2）知， 且点到直线的距离为， ， 所以的面积为； 当直线斜率不存在时，由（2）知 的面积为. 综上，的面积为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式4】（23-24高二下·上海金山·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、数量积的坐标表示、根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆长轴长为6，可知，再代入点，即可求出椭圆方程； （2）直线与椭圆相交问题，要讨论直线斜率是否存在，若存在则可设直线方程为与椭圆联立方程组，可由韦达定理得根与系数关系，再由点在以线段为直径的圆的外部等价于，从而转化为根与系数的关系上来，即可求解； （3）由直线、分别交轴于点，此时点的坐标可以运用直线和的两点式方程求解并表示出来，从而利用向量的坐标运算把向量关系：，，转化为坐标关系：，，再利用韦达定理来求出与系数的关系，从而利用斜率的范围来求的范围. 【详解】（1）因为，所以； 又点在椭圆上，即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得 ①当直线的斜率不存在时，此时直线就是轴，所以为椭圆的短轴端点， 即以线段为直径的圆交轴于， 此时点在以线段为直径的圆的外部，符合题意， 但此时，直线的斜率不存在. ②当直线的斜率存在时，设直线，设、， 由得， 由，解得或（i）， ， 又∵点在以线段为直径的圆的外部，则， 由 ， 解得或  （ii）， 由（i）、（ii）得实数的范围是或. （3）    设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知， 记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：， 令，解得，所以点S为；同理点T为， 所以，，， 由，，可得：，， 所以， 由、在直线上可代入得： ， 由（2）知：，，代入上式得， ， 即 综上可得：的范围是 题型四、求椭圆的焦点、焦距 【典例4】椭圆的焦距为______. 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以，即， 所以焦距为. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为________． 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 【变式2】已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1) (2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据题意分析可得，结合可求，即可得结果； （2）根据（1）中的，结合椭圆的相关概念运算求解； （3）联立方程，根据弦长公式运算求解. 【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形， 所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可得：， 故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率. （3）设交点， 联立方程，消去y得， 则， 所以． 【点睛】方法定睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【变式3】已知直线与轴的交点为，与轴的交点为. （1）将直线绕着点按逆时针方向旋转45°得到直线，则直线的斜率为___________. （2）若､是椭圆的一个焦点和一个顶点，是椭圆的另一个焦点，则___________. 【答案】 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】（1）根据斜率的定义及两角和的正确公式即可求解； （2）根据椭圆的性质，得出焦点三角形的长度，再利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则， 因为直线绕着点按逆时针方向旋转45°得到直线， 所以直线的倾斜角为，即直线的斜率为 ， 故答案为：. （2）由题意可知，，，， 根据椭圆的定义知，. ， 在中，由余弦定理，得 . 故答案为：. 题型五、求椭圆的顶点坐标 【典例5】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ______． 【答案】 【知识点】求椭圆的顶点坐标 【分析】由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解． 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上. (1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标； (2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值; (3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求点到直线的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在x轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M； （2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可； （3）根据点到直线的距离公式化简得出，再根据三角函数的有界性得到关于的不等式，解不等式求出的取值范围即可求得d的最小值. 【详解】（1）由题意可得， 的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0， 的纵坐标为，代入得：. （2） 由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况： ①若，则，，即， . ②若，则， ， . 即， 综上或. （3）设，则由题意得， 显然椭圆在直线的左下方，则， 即， ， 得， 整理可得，解得， 又， 从而. 即d的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______. 【答案】20 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求椭圆中的弦长、求椭圆的顶点坐标 【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果. 【详解】因为椭圆的方程为，所以， ① 如图1连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ② 如图2连接，当为等腰三角形的腰时， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或， 即圆与椭圆交于，连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ③ 如图③，以为圆心，为半径作圆， 同理可以证明圆与椭圆交于， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； ④ 如图④，以为圆心，为半径作圆， 同理可以作出2个等腰三角形； ⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰； 综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个. 故答案为：20. 【点睛】方法点睛：多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏. 题型六、求椭圆的长轴、短轴 【典例6】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 【变式1】椭圆的长轴长为______． 【答案】8 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆方程分析运算. 【详解】由题意可得：， 所以长轴长. 故答案为：8. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）椭圆的长轴的长为_____. 【答案】 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】求出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】在椭圆中，，故该椭圆的长轴长为. 故答案为：. 【变式3】设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______． 【答案】 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】的最小值为，即，解得答案. 【详解】的最小值为，即，解得，长轴长为. 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是___________． 【答案】①③ 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆中的最值问题、利用椭圆定义求方程 【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，可得，即可判断④. 【详解】因为椭圆，点在椭圆上，所以， 又短轴的两个端点分别为、， 又因为， 所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，相应的椭圆的方程为， 将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 又点为椭圆与椭圆的交点， 因为椭圆的长轴顶点为 ，短轴长度小于， 椭圆的长轴顶点为，短轴长度小于， 所以两个椭圆的交点有个，即对应的点有4个，故②不正确； 因为椭圆与椭圆长轴确定，所以点靠近坐标轴时（或），越大， 点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值， 此时两椭圆方程为：，， 两方程相加得，即的最小值为，故③正确； （或用代数法：联立，即， 即， 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为，即当的最小值为；） 椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上， ∴，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆． 题型七、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________. 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理、椭圆的离心率公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】不妨设该椭圆的焦点在横轴上，如图所示： 在直角三角形中，，， 则有，设椭圆的标准准方程为， 则有，椭圆的焦距为， 因此的离心率为， 当 时，由当且仅当时，取等号， 于是有，时，取等号， 故的离心率的最小值为， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得， 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，根据直线与圆相切的关系得到直线的斜率，从而求出与，解出即可斜率. 题型八、根据离心率求椭圆 的标准方程 【典例8】焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由椭圆的长轴长为10，离心率为，可得，从而得到椭圆的方程. 【详解】设椭圆的标准方程为， 由题意，得，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________. 【答案】 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先根据已知条件求出，再根据离心率求出，最后根据即可确定椭圆标准方程. 【详解】因为椭圆长半轴的长为6，所以有，又因为椭圆的离心率为， 即，所以；根据，有， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求点关于直线的对称点、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）先求出关于直线的对称点，再利用对称点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以，又因为，所以， 又，所以椭圆的标准方程为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 又点在椭圆上，所以， 化简得 ，解得或，当时，与点M重合，舍去， 所以. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)是定值， (3)证明见解析 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意，可得椭圆下顶点为，则，结合离心率求得，求得椭圆方程； （2）设，，过点的直线为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值． （3）设直线的方程为，直线的方程为，分别与圆联立求得坐标，先证明当直线的斜率为时，直线过点，再验证当直线的斜率不为时，，即直线恒过定点. 【详解】（1）根据题意可得，，又，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设过点的直线为，，，易知， 联立，消去整理得，易得， 则，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之积为定值.    （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，，，且， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去整理得， 解得，， 同理可得，， 当直线的斜率为时，易知此时，解得，直线过点. 当直线的斜率不为时，，，所以， 所以直线过点， 综上，直线恒过定点. 【点睛】思路点睛：本题第二问，设过点的直线为，与椭圆方程联立得韦达定理，代入运算得解；第三问，设出直线，的方程分别于圆的方程联立求出点的坐标，先证明当直线的斜率为0时，直线过定点，再验证当直线的斜率不为0时，，即直线恒过定点. 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点是椭圆上不同的三个点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为，且（），求证：直线过定点． (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）设椭圆方程为，由椭圆上顶点为得出，再根据离心率为，即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合（）得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． 【详解】（1）设椭圆方程为， 由题可知，，又离心率为， 所以， 所以椭圆方程为． （2）设， 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由得，， ； 当斜率存在时，设方程为， 由得，， 则， 则 ， 所以直线方程为， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点． （3）设， ①当直线斜率不存在，此时点关于轴对称， 又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处， 不妨设，且， 由得，，即， 将代入，得，则， 点到的距离为，则； ②当直线斜率存在，如图： 由（2）知，,，， 进而，. 由得，， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 代入韦达定理得，， 线段， 点到直线的距离 ， 所以 ， 综上所述，的面积为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____. 【答案】6 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的参数方程可以直接确定椭圆的长轴长. 【详解】已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，化为标准方程得到，则，则该椭圆的长轴长为. 故答案为：6. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【答案】8 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆定义得出焦点三角形周长即可. 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为， 由椭圆定义得 则的周长为． 故答案为：8. 3．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 【答案】C 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可. 【详解】对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， 对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， ∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等. 故选：C. 5．（24-25高二下·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 【答案】或 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可. 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 2．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过、和、的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出、的表达式，结合可求与的关系式，齐次化可求离心率. 【详解】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成， 设切线方程为，与联立得， ， 由，化简得：， 设切线方程为，同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、基本不等式求和的最小值、椭圆定义及辨析 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 5．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求平面两点间的距离、求椭圆中的参数及范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得离心率； （2）设，代入椭圆方程可得，利用两点间距离公式运算求解； （3）设，结合面积关系可得，在利用两点间距离公式结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）可知：， 设，则，解得， 所以. （3）由（1）可知：， 设， 则， 若，即，可得， 因为， 由，即，则，可得， 可得，即的取值范围为. 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 2-2 椭圆（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、根据方程表示椭圆求参数的范围。 题型二、根据椭圆方程求a、b、c 题型三、根据a、b、c求椭圆标准方程 题型四、求椭圆的焦点、焦距 题型五、求椭圆的顶点坐标 题型六、求椭圆的长轴、短轴 题型七、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型八、根据离心率求椭圆 的标准方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 根据方程表示椭圆求参数范围 掌握椭圆标准方程形式，能根据焦点位置列不等式求参数取值范围 基础必考题型，填空高频，易错点为忽略分母不等与焦点位置条件 根据椭圆方程求 熟练由标准方程求，运用椭圆定义解决焦点三角形问题 期中核心基础题，填空常考，结合定义、距离公式综合考查 根据求椭圆标准方程 能根据几何条件、焦点位置、定点坐标求椭圆标准方程 高频中档题，填空、解答均有考查，待定系数法为核心方法 求椭圆的焦点、焦距 会判断焦点位置，准确计算焦点坐标与焦距 基础常考题，填空为主，难度低，侧重公式直接应用 求椭圆的顶点坐标 掌握椭圆顶点坐标，能结合顶点解决几何计数、距离问题 中档题型，填空低频考查，常结合分类讨论综合命题 求椭圆的长轴、短轴 熟练计算长轴长、短轴长，区分轴长与半轴长 基础必考，选择填空高频，易混淆长轴/短轴与 求椭圆的离心率及取值范围 掌握，能结合几何条件求离心率或范围 期中重难点，填空压轴常考，综合度高，易错点为范围取舍 根据离心率求椭圆标准方程 由离心率、轴长等条件求，写出标准方程 中档常考题，填空、解答基础问必考，步骤固定 椭圆中的弦长、面积、定点定值 掌握弦长公式，会求三角形面积，解决定点、定值综合问题 解答题核心考点，期中压轴必考，计算量大，侧重韦达定理应用 直线与椭圆的位置关系 会联立方程判断位置关系，求参数范围及最值 重难题型，解答题必考，结合函数、不等式综合考查 知识点01 椭圆的标准方程 1. 椭圆的定义 平面上到两个定点、的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。定点、叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 若，则点的轨迹为椭圆。 若，则点的轨迹为线段。 若，则点的轨迹不存在。 (1)椭圆的相关定义：定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数称为椭圆的离心率。 (2)椭圆的第三定义：平面内与两定点、的斜率之积是常数（称为离心率，）的点的轨迹是椭圆（除去两顶点）。 2. 椭圆的两种标准方程 焦点在轴：，焦点坐标、 焦点在轴：，焦点坐标、 关系式： 相同点：椭圆的大小、形状相同。 如何判断焦点在哪条坐标轴上？ 椭圆的两种标准方程中，总是，即椭圆的标准方程中，哪一项的分母大，焦点就在相应的那条轴上；反之，焦点在哪条轴上，相应的那一项的分母就大。 共焦点的椭圆系方程 (1)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为 (2)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为 3. 点与椭圆的位置关系 (1)根据椭圆的定义判断： 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 (2)根据标准方程判断： 点在椭圆外 点在椭圆上 点在椭圆内 知识点02 椭圆的性质 1. 椭圆的简单几何性质 1.范围 焦点在轴：， 焦点在轴：， 2.对称性 椭圆既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，其唯一的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点与轴 椭圆与坐标轴交点：、、、，这四个点都是椭圆的顶点。 长轴：线段，长为 短轴：线段，长为 4.离心率 ，且。 5.椭圆的其他性质 (1)椭圆上到中心距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端点。 (2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，最大、最小距离分别是。 (3)若是椭圆上的点，则当点在短轴端点时，最大。 知识点03 直线与椭圆相关公式 1. 弦长公式 (1)斜率存在：直线交椭圆于、 ； (2)斜率不存在： 2. 中点弦（点差法） 焦点在轴：， 焦点在轴： 3. 焦半径公式 椭圆上点： ，， 4. 焦点弦长公式 倾斜角为的直线过焦点， 题型一、根据方程表示椭圆求参数的范围。 【典例1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【变式1】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 【变式2】方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 题型二、根据椭圆方程求a、b、c 【典例2】椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 【变式1】椭圆的焦点坐标为________. 【变式2】设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________. 【变式3】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 题型三、根据a、b、c求椭圆标准方程 【典例3】若椭圆的一个焦点为，则______． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 【变式2】（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心. (1)求椭圆的方程； (2)求点到直线的距离的最大值； (3)判断的面积是否为定值，并说明理由. 【变式4】（23-24高二下·上海金山·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 题型四、求椭圆的焦点、焦距 【典例4】椭圆的焦距为______. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为________． 【变式2】已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【变式3】已知直线与轴的交点为，与轴的交点为. （1）将直线绕着点按逆时针方向旋转45°得到直线，则直线的斜率为___________. （2）若､是椭圆的一个焦点和一个顶点，是椭圆的另一个焦点，则___________. 题型五、求椭圆的顶点坐标 【典例5】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ______． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上. (1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标； (2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值; (3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______. 题型六、求椭圆的长轴、短轴 【典例6】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【变式1】椭圆的长轴长为______． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）椭圆的长轴的长为_____. 【变式3】设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______． 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是___________． 题型七、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__． 题型八、根据离心率求椭圆 的标准方程 【典例8】焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为__________. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 【变式4】（24-25高二下·上海·期中）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点是椭圆上不同的三个点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为，且（），求证：直线过定点． (3)若，求的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 3．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 4．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 5．（24-25高二下·上海·期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 2．（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $