专题2-3 双曲线10大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

2-3 双曲线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、根据方程表示双曲 线求参数的范围 题型二、双曲线定义的理解 题型三、利用双曲线定义求方程 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五、根据双曲线过的点求标准方程 题型六、求双曲线的焦点坐标 题型七、已知方程求双曲线 的渐近线 题型八、根据双曲线的渐近线求标准方程 题型九、求双曲线的离心率或离心率的取值范 围 题型十、根据离心率求双曲 线的标准方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 根据方程表示双曲线求参数的范围 掌握双曲线标准方程的结构特征，能根据焦点位置、方程表示双曲线的条件列不等式，求解参数取值范围 基础必考点，填空小题为主，易错点为焦点所在坐标轴判断错误、不等式求解符号出错 双曲线定义的理解 深刻理解双曲线的定义（双支、距离差的绝对值为定值），能结合定义解决线段长度、轨迹、距离最值等综合问题 中档核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略**右支/左支**的限制条件 利用双曲线定义求方程 能根据实际场景中的距离差条件，结合双曲线定义求标准方程，解决双曲线的实际应用问题 解答题基础考点，常结合几何最值命题，易错点为a、b、c的关系计算错误 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 掌握双曲线焦点三角形的性质，结合定义、余弦定理、面积公式求解边长、面积、数量积，能结合内切圆性质解题 高频核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为焦点三角形中边长的范围限制 根据双曲线过的点求标准方程 掌握待定系数法求双曲线标准方程，能设一般式简化计算，解决实际模型中的双曲线方程求解问题 基础必考点，填空题型为主，易错点为焦点位置未分类讨论 求双曲线的焦点坐标 能将双曲线方程化为标准式，求a、b、c，确定焦点坐标，解决椭圆与双曲线焦点重合的参数问题 基础考点，填空小题为主，易错点为混淆a² + b² = c²与椭圆的a² - b² = c² 已知方程求双曲线的渐近线 掌握双曲线渐近线方程公式，能求渐近线夹角、点到渐近线的距离，结合直线与圆相切命题 高频基础考点，选择、填空均有考查，易错点为渐近线斜率符号、夹角锐角判断 根据双曲线的渐近线求标准方程 能根据渐近线方程设双曲线解析式，结合焦点、过定点条件求参数，解决与椭圆共焦点的双曲线方程问题 中档考点，填空、解答题均有考查，易错点为渐近线比例关系转化错误 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 掌握离心率公式e = c/a，能结合几何性质、直线与双曲线位置关系、数列条件求离心率及范围 填空压轴必考点，难度中等偏上，易错点为齐次式化简、范围临界值判断 根据离心率求双曲线的标准方程 能根据离心率、虚轴长、焦距等条件列方程组，求双曲线标准方程，解决直线与双曲线综合问题 解答题核心考点，常结合直线与双曲线位置关系综合命题 知识点01 双曲线的定义 平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。 焦点在轴上： 焦点在轴上： (1)定义中的距离之差加绝对值的意义 若没有绝对值，则动点的轨迹是双曲线的一支。 若点满足，则点在右支上。 若点满足，则点在左支上。 (2)集合，其中为常数且。 当时，点的轨迹是双曲线； 当时，点的轨迹是两条射线； 当时，点的轨迹不存在。 (3)双曲线的标准方程是根据项的正负判断焦点位置： 项系数为正→焦点在轴上； 项系数为正→焦点在轴上。 (4)焦点位置不定时，常设双曲线为： →焦点在轴； →焦点在轴。 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 在轴上 在轴上 标准方程 焦点坐标 核心关系 （最大） （最大） 知识点03 双曲线的焦点三角形 (1) 定义：是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，则为焦点三角形。 (2)焦点三角形性质 设 ① ② ③ 面积公式： ④ 离心率： （） 双曲线方程辨识 方程表示双曲线 →焦点在轴 →焦点在轴 知识点04 双曲线的几何性质 （以为例） 1.范围 代数：，即或， 几何：双曲线分左右两支，在外侧无限延伸，中间无图形。 2.对称性： 关于轴、轴对称，关于原点中心对称，原点为中心。 3.顶点与轴： 顶点： 实轴：，长 虚轴：，长 4.渐近线 双曲线的渐近线： 焦点在轴：的渐近线： 特征：无限接近，永不相交。 5.离心率 定义：， 越大→越大→开口越开阔 越小→开口越扁狭 (1)等轴双曲线 方程： 渐近线：（互相垂直） 离心率： (2)共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线。 例：与共轭。 性质：同焦距、同渐近线；离心率倒数平方和为1。 (3)渐近线相关定值 ① 焦点到渐近线距离恒为 ② 双曲线上任一点到两渐近线距离之积： ③ 过双曲线上一点作渐近线平行线，围成平行四边形面积： 6.两种双曲线几何性质对比 焦点在轴 焦点在轴 方程 图形 焦点 范围 或 或 顶点 渐近线 离心率 知识点05 直线与双曲线 1.直线与双曲线的位置关系 直线，双曲线 联立得： 1.（与渐近线平行）：方程一次，仅有1解，1个公共点（相交，非相切） 2.： →2个公共点（相交） →1个公共点（相切） →0个公共点（相离） 2.弦长公式 直线交双曲线于，斜率为 斜率不存在： 3.中点弦（点差法） 在双曲线上，为中点 焦点在轴：， 焦点在轴： 已知渐近线，则双曲线可设为： ，即 题型一、根据方程表示双曲 线求参数的范围 【典例1】（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 【变式1】如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_________. 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在y轴上双曲线有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 【变式2】已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程为双曲线，可得，解不等式即可得答案. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 题型二、双曲线定义的理解 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则_____________. 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、用定义求向量的数量积、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则__________ 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】可先得为椭圆，为双曲线，结合图象几何性质得到，，然后根据椭圆、双曲线的定义及列出方程组，即可求解. 【详解】由题意可知满足且m，n为正整数的曲线如下： ，，为椭圆， ，，，为双曲线， 结合图形的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点， 故，， 因为，所以， 设，，则根据椭圆、双曲线的定义及可得    可得代入③ 解得， 所以存在这样的，且或或. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用两类曲线的定义建立等量关系式，结合勾股定理，从而得出结果. 【变式2】若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、由距离求已知直线的平行线、双曲线定义的理解、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出. 【详解】实数满足， 当时，方程为，表示一段圆弧， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，不表示任何图形， 画出表示的图形， 可知双曲线的一条渐近线为，和平行， 设和平行且和圆在第一象限相切的直线为， 则由点到直线的距离可得，解得或（舍去） 可得表示的图形在和之间， 则和的距离为， 和的距离为， 则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是. 故答案为：. 题型三、利用双曲线定义求方程 【典例3】（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】(1)P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析 (2)36.8 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【详解】（1）由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析 (2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 【知识点】双曲线的其他应用、利用双曲线定义求方程、求平面两点间的距离 【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论； 设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 经过口时最短距离：， 经过口时最短距离：． 因为, 所以经过入口运送较近． （2）设点，已知 ，可得 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【典例4】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则______. 【答案】3 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、切线长 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接， 则，，，    由双曲线方程为，可得， 又为右支上的一动点，所以， 又， ，所以，所以， 由题意可知， 又， 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系及双曲线的定义，进行线段长度的转化. 【变式1】已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：    【变式2】从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________. 【答案】/ 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】 不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故. 又由双曲线定义得， 故. 故答案为： 题型五、根据双曲线过的点求标准方程 【典例5】双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是______． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 【变式1】从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．    【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】设所求双曲线方程为：， 如图，因为，易知， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分点，所以在双曲线上，得到，整理得到， 故所求曲线方程为.    故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 题型六、求双曲线的焦点坐标 【典例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）双曲线 的右焦点到渐近线距离为_____. 【答案】 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和右焦点坐标，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由双曲线C的渐近线方程为，即， 右焦点的坐标为， 则右焦点到直线的距离为. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是______． 【答案】 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】根据方程求出值，判断焦点所在坐标轴，即可求解. 【详解】根据双曲线方程可得：，则，因为焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标是， 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 【答案】1 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求a、b、c、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 题型七、已知方程求双曲线 的渐近线 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知方程求双曲线的渐近线、已知弦（切）求切（弦） 【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将代入， 得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解. 【详解】设圆的方程为， 的渐近线方程为， 故，解得， 故圆的方程为， 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知满足方程，则的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求平行线间的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】对给定方程进行分类讨论，画出对应图形，再结合双曲线渐近线方程以及直线和椭圆相切，利用点到直线距离公式得出的几何意义，代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知当，原方程可化为， 此时表示的是椭圆在第一象限的部分，包含与坐标轴的交点； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第二象限的部分， 当时，方程为不表示任何图形， 画出图形如下图所示： 易知点到直线的距离为， 因此表示曲线上的点到直线的距离的5倍， 设直线与椭圆在第一象限相切，切点为时，取得最小值； 联立，整理可得， 显然，解得或（舍）； 由此可知与曲线没有交点， 此时与之间的距离为； 此时取得最小值为； 又双曲线和的一条渐近线方程为， 因此当或时，点到直线的距离无限接近于两条平行线到的距离， 易知两平行线间的距离为，所以可得； 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求解双曲线的渐近线方程，然后求解夹角即可． 【详解】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，， 所以两条渐近线的夹角的余弦值为． 故答案为：． 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率______. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的渐近线互相垂直，其为等轴双曲线，从而可得离心率． 【详解】由题意，双曲线的渐近线为， 若两渐近线垂直，则，解得，即双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 双曲线的两渐近线为轴和轴，互相垂直，则双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 故答案为：. 题型八、根据双曲线的渐近线求标准方程 【典例8】（24-25高二下·上海徐汇·期中）双曲线的一条渐近线方程为，则________． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】写出双曲线的标准方程，利用双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】由题意，双曲线的标准方程为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，则， 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____． 【答案】3 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由题意设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 设双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆 (1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题设条件得到且，即可求出的值，从而求出结果； （2）通过直线斜率为0和不存在两种情况，得出定点，再证明当直线斜率存在且不为0时，以为直径的圆恒过点，设直线，联立椭圆方程得到，利用韦达定理得到，再通过计算，即可解决问题. 【详解】（1）易知椭圆的焦点坐标为， 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以①， 又双曲线与椭圆C有公共焦点，所以②， 联立①②得到，所以此双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，直线，由，得到，所以， 故以为直径的圆的方程为③， 当直线的斜率不存在时，易知以为直径的圆的方程为④， 联立③和④，解得， 所以如果存在点，则定点为，下证，当直线斜率存在且不为0时，以为直径的圆恒过点， 设直线，， 由，消得到， 由韦达定理得，， 又因为， 所以， 所以， 故，所以，即以为直径的圆恒过点， 故在坐标平面上存在一个定点满足条件.    题型九、求双曲线的离心率或离心率的取值范 围 【典例9】（24-25高二下·上海·期中）直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，根据得出，再利用，，成等差数列，可得，利用及韦达定理进行化简可得出，即可求离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线， 设， 联立，可得， 则，， 则 ， 联立，可得， 则，， 则， 因为，所以， 即， 则， 化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以， 所以， 则 ， 得， 与联立得，， 因，则， 又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为直线的斜率为， 则与直线垂直的渐近线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3)，离心率的取值范围 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解； （2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得； （3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得. 【详解】（1）将分别代入与可得，解得，因为，所以； （2）由题设，． 、的坐标分别为、，即为的两个焦点． 因为，所以点只能在上． 由双曲线的定义，可得，故． 在中，， 故； （3）由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点． 由圆的圆心到直线的距离， 得与相切，即与有且仅有一个公共点． 由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于． 由点坐标为方程组的实数解，解得 由与相切，得，直线的方程为， 代入圆的方程，解得点的坐标为． 于是，由，即解得． ． 【变式5】已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求双曲线中的弦长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据垂直关系得到，确定，解得答案. （2）确定椭圆方程为，设直线方程为，联立方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式计算得到答案. 【详解】（1）渐近线，，，则， 直线与直线垂直，则，即，即， 解得，（舍去负值）. （2）直线的法向量为，设直线方程为， 设椭圆方程为，则，，，， 故椭圆方程为，联立方程，即， ，即， 设，，， ，解得. 故直线方程为或. 题型十、根据离心率求双曲 线的标准方程 【典例10】（23-24高二下·上海青浦·期中）双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______． 【答案】 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又离心率，所以，则或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式1】已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】双曲线中向量点乘问题、根据离心率求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以， 所以的大小为； （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）首先由与轴有两个交点，得出，再由椭圆与双曲线的离心率之积为，即可求出，由直线过点和即可得出直线的方程； （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，分别与椭圆，双曲线方程联立，求出点的坐标，再计算即可证明． 【详解】（1）因为曲线与轴有两个交点，所以， 由题设可得，解得， 故椭圆方程为：， 双曲线方程为． 由直线过点和，得，则，即． （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：， 联立，整理得：， ，即且， 解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 【答案】 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解. 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦点坐标、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以圆心为，半径为的圆的方程为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义、对称性，以及平行四边形的性质和圆的直径性质，结合勾股定理列方程即可求解. 【详解】设，则. 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：. 连接，则有，. ∵点在以为直径的圆周上，∴. ∵四边形为平行四边形，∴，∴. 在中，由勾股定理可知，即， 整理得：，∴，. 在中，由勾股定理可知，即， ∴. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】首先分四种情况,点在圆内,圆上,圆外,以及点与点重合,四种情况讨论点的轨迹. 【详解】当点在圆内且不与点M重合, 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，    当点在圆上时, 由于, 线段的中垂线交直线于,点的轨迹为一个点， 点在圆外时,，.则点的轨迹是以为焦点的双曲线，    当点与重合时,为半径的中点,点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,所以其中正确的命题序号为①②④⑥共4个. 故选：B. 【点睛】动点轨迹问题的关键是情况分类. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知实数、满足，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先分类讨论、的范围，再画出图象，设，求出与有交点时的范围即可求解． 【详解】当时，，为双曲线的一部分，一条渐近线为； 当时，，不成立； 当时，，为椭圆的一部分； 当时，，为双曲线的一部分，一条渐近线为； 作出图象，如图所示， 设，则， 当与有交点时， ，整理得， ，解得， 又，即， 所以， 所以， 故答案为：． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】/ 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； (2)答案见解析 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的顶点坐标、讨论双曲线与直线的位置关系、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，确定的值，即可求得答案； （2）联立直线方程和双曲线方程，结合所得方程的二次项系数以及判别式，即可得结论. 【详解】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即且时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．      (1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角； (2)若，，，，试求双曲线的方程； (3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）根据渐近线法向量得到方向向量，可得渐近线的斜率，从而可得渐近线倾斜角正切，利用二倍角的正切公式即可求解； （2）求得，代入双曲线的方程，可求得的值，从而可求得双曲线的方程； （3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件，可得的坐标，假设存在点，运用两直线垂直的条件，结合恒等式，可得定点的坐标 【详解】（1）因为是的一条渐近线的一个法向量， 所以是其中一条渐近线的方向向量， 所以，即其中一条渐近线的斜率为， 设其倾斜角为，则，且， 所以， 所以. （2）设，则由条件知：，，即 所以，， 代入双曲线方程知： 双曲线的方程： （3）因为，所以，由⑴知，，所以的方程为：， 如图，    令，所以，， 令，则，，令，所以， 故以MN为直径的圆的方程为：， 即， 即， 若以MN为直径的圆恒经过定点T 于是 所以圆过x轴上两个定点和 2．已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 2-3 双曲线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、根据方程表示双曲 线求参数的范围 题型二、双曲线定义的理解 题型三、利用双曲线定义求方程 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五、根据双曲线过的点求标准方程 题型六、求双曲线的焦点坐标 题型七、已知方程求双曲线 的渐近线 题型八、根据双曲线的渐近线求标准方程 题型九、求双曲线的离心率或离心率的取值范 围 题型十、根据离心率求双曲 线的标准方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 根据方程表示双曲线求参数的范围 掌握双曲线标准方程的结构特征，能根据焦点位置、方程表示双曲线的条件列不等式，求解参数取值范围 基础必考点，填空小题为主，易错点为焦点所在坐标轴判断错误、不等式求解符号出错 双曲线定义的理解 深刻理解双曲线的定义（双支、距离差的绝对值为定值），能结合定义解决线段长度、轨迹、距离最值等综合问题 中档核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略**右支/左支**的限制条件 利用双曲线定义求方程 能根据实际场景中的距离差条件，结合双曲线定义求标准方程，解决双曲线的实际应用问题 解答题基础考点，常结合几何最值命题，易错点为a、b、c的关系计算错误 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 掌握双曲线焦点三角形的性质，结合定义、余弦定理、面积公式求解边长、面积、数量积，能结合内切圆性质解题 高频核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为焦点三角形中边长的范围限制 根据双曲线过的点求标准方程 掌握待定系数法求双曲线标准方程，能设一般式简化计算，解决实际模型中的双曲线方程求解问题 基础必考点，填空题型为主，易错点为焦点位置未分类讨论 求双曲线的焦点坐标 能将双曲线方程化为标准式，求a、b、c，确定焦点坐标，解决椭圆与双曲线焦点重合的参数问题 基础考点，填空小题为主，易错点为混淆a² + b² = c²与椭圆的a² - b² = c² 已知方程求双曲线的渐近线 掌握双曲线渐近线方程公式，能求渐近线夹角、点到渐近线的距离，结合直线与圆相切命题 高频基础考点，选择、填空均有考查，易错点为渐近线斜率符号、夹角锐角判断 根据双曲线的渐近线求标准方程 能根据渐近线方程设双曲线解析式，结合焦点、过定点条件求参数，解决与椭圆共焦点的双曲线方程问题 中档考点，填空、解答题均有考查，易错点为渐近线比例关系转化错误 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 掌握离心率公式e = c/a，能结合几何性质、直线与双曲线位置关系、数列条件求离心率及范围 填空压轴必考点，难度中等偏上，易错点为齐次式化简、范围临界值判断 根据离心率求双曲线的标准方程 能根据离心率、虚轴长、焦距等条件列方程组，求双曲线标准方程，解决直线与双曲线综合问题 解答题核心考点，常结合直线与双曲线位置关系综合命题 知识点01 双曲线的定义 平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。 焦点在轴上： 焦点在轴上： (1)定义中的距离之差加绝对值的意义 若没有绝对值，则动点的轨迹是双曲线的一支。 若点满足，则点在右支上。 若点满足，则点在左支上。 (2)集合，其中为常数且。 当时，点的轨迹是双曲线； 当时，点的轨迹是两条射线； 当时，点的轨迹不存在。 (3)双曲线的标准方程是根据项的正负判断焦点位置： 项系数为正→焦点在轴上； 项系数为正→焦点在轴上。 (4)焦点位置不定时，常设双曲线为： →焦点在轴； →焦点在轴。 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 在轴上 在轴上 标准方程 焦点坐标 核心关系 （最大） （最大） 知识点03 双曲线的焦点三角形 (1) 定义：是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，则为焦点三角形。 (2)焦点三角形性质 设 ① ② ③ 面积公式： ④ 离心率： （） 双曲线方程辨识 方程表示双曲线 →焦点在轴 →焦点在轴 知识点04 双曲线的几何性质 （以为例） 1.范围 代数：，即或， 几何：双曲线分左右两支，在外侧无限延伸，中间无图形。 2.对称性： 关于轴、轴对称，关于原点中心对称，原点为中心。 3.顶点与轴： 顶点： 实轴：，长 虚轴：，长 4.渐近线 双曲线的渐近线： 焦点在轴：的渐近线： 特征：无限接近，永不相交。 5.离心率 定义：， 越大→越大→开口越开阔 越小→开口越扁狭 (1)等轴双曲线 方程： 渐近线：（互相垂直） 离心率： (2)共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线。 例：与共轭。 性质：同焦距、同渐近线；离心率倒数平方和为1。 (3)渐近线相关定值 ① 焦点到渐近线距离恒为 ② 双曲线上任一点到两渐近线距离之积： ③ 过双曲线上一点作渐近线平行线，围成平行四边形面积： 6.两种双曲线几何性质对比 焦点在轴 焦点在轴 方程 图形 焦点 范围 或 或 顶点 渐近线 离心率 知识点05 直线与双曲线 1.直线与双曲线的位置关系 直线，双曲线 联立得： 1.（与渐近线平行）：方程一次，仅有1解，1个公共点（相交，非相切） 2.： →2个公共点（相交） →1个公共点（相切） →0个公共点（相离） 2.弦长公式 直线交双曲线于，斜率为 斜率不存在： 3.中点弦（点差法） 在双曲线上，为中点 焦点在轴：， 焦点在轴： 已知渐近线，则双曲线可设为： ，即 题型一、根据方程表示双曲 线求参数的范围 【典例1】（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______. 【变式1】如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_________. 【变式2】已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围为______． 题型二、双曲线定义的理解 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则_____________. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则__________ 【变式2】若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是______. 题型三、利用双曲线定义求方程 【典例3】（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 题型四、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【典例4】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则______. 【变式1】已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______． 【变式2】从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________. 题型五、根据双曲线过的点求标准方程 【典例5】双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是______． 【变式1】从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．    【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      题型六、求双曲线的焦点坐标 【典例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）双曲线 的右焦点到渐近线距离为_____. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是______． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 题型七、已知方程求双曲线 的渐近线 【典例7】（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知满足方程，则的取值范围为_____． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________． 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率______. 题型八、根据双曲线的渐近线求标准方程 【典例8】（24-25高二下·上海徐汇·期中）双曲线的一条渐近线方程为，则________． 【变式1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________. 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆 (1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 题型九、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【典例9】（24-25高二下·上海·期中）直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是________． 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【变式4】（24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【变式5】已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 题型十、根据离心率求双曲 线的标准方程 【典例10】（23-24高二下·上海青浦·期中）双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 3．（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________． 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二下·上海·期中）已知实数、满足，则的取值范围是______． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．      (1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角； (2)若，，，，试求双曲线的方程； (3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． 2．已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $