专题01三角形内角和定理专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理专项训练 题型01.三角形内角和定理证明 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 题型03.三角形内角和定理应用 题型04.三角形折叠角度问题 题型05.三角形的外角定义与性质 题型06.多边形概念与辨析 题型07.多边形内角和综合 题型08.多边形外角和应用 题型09.多边形内角和外角和综合 题型10.平面镶嵌 题型11.多边形截角问题 题型12.飞镖模型 题型13.八字模型 题型14.角平分线模型 解答题6题 知识点01.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点02:多边形的定义与相关概念 1. 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）……n 边形（n≥3），三角形是最简单的多边形。 表示方法：用顶点字母依次表示，如五边形 ABCDE。 · 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 · 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 · 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 2. 基本元素（n 边形） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） .对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 知识点03:多边形内角和定理 1. 公式 n 边形内角和 = (n-2) × 180°（n≥3，n 为整数）。 2. 推导思路（分割法） 从 n 边形一个顶点出发，可作n-3条对角线，将 n 边形分成n-2个三角形；n 边形内角和 = 这 (n-2) 个三角形内角和之和 = (n-2) × 180°。 3. 正 n 边形单个内角 单个内角度数 = ​。 知识点04:多边形外角和定理 1. 结论 任意凸 n 边形的外角和 = 360°（与边数 n 无关）。. 2. 推导依据 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°（邻补角）；n 边形所有内角和 + 所有外角和 = n × 180°；故外角和 = n×180° - (n-2)×180° = 360°。 3. 正 n 边形单个外角 单个外角度数 = n​ . 知识点05.平面镶嵌 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。 题型01.三角形内角和定理证明 1．某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 2．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．   求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：延长到点，过点作， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角定义）， （等量代换）． ∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 4．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 7．如图，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 9．如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，接着利用三角形的高线及角平分线求出，则可求. 【详解】∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 题型03.三角形内角和定理应用 10．在中，若，，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形内角和求出的度数，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 11．如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【答案】/30度 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再根据和三角形内角和定理求出 ． 【详解】解：， ， ， ． 12．的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据直角三角形的定义、三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断各个条件即可． 【详解】解：①， ， 又三角形内角和为，即， ，可得， 因此是直角三角形； ②， 最大内角， 因此不是直角三角形； ③， ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； ④， 设，，，其中， 则， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的是①③④． 13．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 题型04.三角形折叠角度问题 14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于_______°． 【答案】70 【分析】根据对称性以及三角形的外角的性质求出∠CDB即可． 【详解】解：∵B，B′关于CD对称，∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠DCB=45°，∠CDB=∠CDB′， ∵∠CDB=∠A+∠ACD=25°+45°=70°， ∴∠CDB′=70°， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 15．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 16．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 17．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型05.三角形的外角定义与性质 18．如图，下列选项中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：是的外角，，，均不是的外角． 19．如图，在中，，外角，则的度数为_____． 【答案】/43度 【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 20．如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 21．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型06.多边形概念与辨析 22．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 23．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 24．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 题型07.多边形内角和综合 25．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 26．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 27．过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则它的内角和是_________． 【答案】/度 【分析】根据过多边形一个顶点的所有对角线，将多边形分成个三角形，得出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 这个多边形的内角和为． 28．如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 【答案】/1080度 【分析】首先求出每个外角是，根据多边形的外角和是求出多边形的边数，然后求出内角和． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴它的每个外角为：， ∴多边形的边数是：， ∴其内角和为． 29．如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：C． 30．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 题型08.多边形外角和应用 31．正十边形的每一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和定理与正多边形的性质，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正十边形的个外角大小相等， ∴正十边形的每一个外角的度数为． 32．一个十边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是多边形的外角和，把握相关性质定理即可快速解决问题． 根据多边形的外角和都等于，即可得到正确选项． 【详解】解：∵边形的外角和都等于， ∴十边形的外角和等于， 故选：A． 33．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 34．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【分析】首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为， ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 35．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 36．如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型09.多边形内角和外角和综合 37．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．根据正多边形外角和为，结合每个外角为，求出边数n，再利用内角和公式计算即可． 【详解】解：这个正多边形的边数：， 所以这个正边形的内角和为：， 故选：D 38．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 【答案】4 【分析】设该多边形的边数为，根据“内角和与外角和之和是”列方程求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意得，． 解得． ∴该多边形的边数是4． 39．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 40．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 题型10.平面镶嵌 41．如图是正六边形的瓷砖，其边长与下列正多边形瓷砖的边长都相等，则与正六边形瓷砖组合能够铺满地面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形镶嵌问题、多边形的内角和定理等知识点，熟练掌握图形镶嵌的特点是解题的关键．根据图形镶嵌的定义，镶嵌顶点的和为，正六边形的每个内角为，那么能与其构成镶嵌的正多边形，每个内角的角度能整除，找出即可得解． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为，根据镶嵌的定义，镶嵌顶点的和为， ∴， ∵正三角形的每个内角为，能整除，所以符合题意； ∵正方形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； ∵正五边形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； ∵正八边形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； 故选． 42．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 43．若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 44．用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度， 已知正多边形的边数为，，，， 那么这四个正多边形的内角和可表示为：， 两边都除以180得：，即： 两边都除以2得，． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形及其内角，解决本题的关键是知道这四种正多边形的四个内角之和为360度，据此进行整理分析得解． 题型11.多边形截角问题 45．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 46．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______． 【答案】13或14或15 【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得： （n﹣2）•180°=2160° 解得：n=14． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是13或14或15． 故答案为13或14或15． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 47．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想． 【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得， ∴ 即得到的多边形是边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形； 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： 过多边形的一个顶点，则原来的是边形； 不过多边形的顶点，则原来的是边形， ∴原来多边形的边数可能是或或， 故选：． 48．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 题型12.飞镖模型 49．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 50．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 51．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是_________． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 52．【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 (2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或，证明见解析 【分析】（1）连接并延长至点，利用三角形外角的性质可得，，再利用即可证明； （2）分当点在点右侧时和当点在点左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 题型13.八字模型 53．（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 54．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 56．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 57．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．当时，，解得．即可得出结果． 【详解】（1）解：①在△中，，， ， ， 在△中，， ， 故答案为：； ②在△中，；在△中，， 且，， ． 故答案为：； （2）证明：，交于点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的度数为或；理由如下： 设，则由折叠的性质得， ，， ，， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， 依题意得：， 解得：， ； 当时， 依题意得：， 解得：， ； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 题型14.角平分线模型 58．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴ 59．如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，则可证明，进而求出，根据三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，且， ∴， 故答案为：． 60．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 61．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 62．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 63．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 64．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 解答题 65．（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 66．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 67．如图，在中，点是上一点，连接、，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角和定理、角平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据三角形外角和定理得到，在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的性质得到、，进而求出，在中，利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：是的外角， ， 在中，， ， 的平分线与的平分线交于点， 、， ， 在中，， ． 68．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 69．已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的． (1)求这个外角的度数． (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的猜想正确，理由见解析 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，外角和的性质，掌握内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）设与这个外角相邻的内角为，由此列式求解即可； （2）由（1）可得，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于，则有这个正多边形的边数为，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：设与这个外角相邻的内角为，则这个外角为， 根据题意，得， 解得，， ， 这个外角的度数为． （2）解：正确，理由如下， 这个正多边形的每个外角都相等，且都等于， 正多边形的外角和为， 这个正多边形的边数为， 正多边形的内角和为， 嘉嘉的猜想正确． 70．已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和定理列出方程解答即可； （）用多边形内角和除以边数即可求解； 本题考查了多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， 答：这个多边形的边数为； （2）解：， 答：该正多边形一个内角的度数为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理专项训练 题型01.三角形内角和定理证明 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 题型03.三角形内角和定理应用 题型04.三角形折叠角度问题 题型05.三角形的外角定义与性质 题型06.多边形概念与辨析 题型07.多边形内角和综合 题型08.多边形外角和应用 题型09.多边形内角和外角和综合 题型10.平面镶嵌 题型11.多边形截角问题 题型12.飞镖模型 题型13.八字模型 题型14.角平分线模型 解答题6题 知识点01.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点02:多边形的定义与相关概念 1. 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）……n 边形（n≥3），三角形是最简单的多边形。 表示方法：用顶点字母依次表示，如五边形 ABCDE。 · 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 · 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 · 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 2. 基本元素（n 边形） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） .对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 知识点03:多边形内角和定理 1. 公式 n 边形内角和 = (n-2) × 180°（n≥3，n 为整数）。 2. 推导思路（分割法） 从 n 边形一个顶点出发，可作n-3条对角线，将 n 边形分成n-2个三角形；n 边形内角和 = 这 (n-2) 个三角形内角和之和 = (n-2) × 180°。 3. 正 n 边形单个内角 单个内角度数 = ​。 知识点04:多边形外角和定理 1. 结论 任意凸 n 边形的外角和 = 360°（与边数 n 无关）。. 2. 推导依据 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°（邻补角）；n 边形所有内角和 + 所有外角和 = n × 180°；故外角和 = n×180° - (n-2)×180° = 360°。 3. 正 n 边形单个外角 单个外角度数 = n​ . 知识点05.平面镶嵌 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。 题型01.三角形内角和定理证明 1．某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 2．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．   求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 4．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，，是的平分线，则________． 7．如图，若，则______． 8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 题型03.三角形内角和定理应用 10．在中，若，，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 11．如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 12．的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 13．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.三角形折叠角度问题 14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于_______°． 15．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 17．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型05.三角形的外角定义与性质 18．如图，下列选项中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，外角，则的度数为_____． 20．如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 21．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型06.多边形概念与辨析 22．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 23．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 24．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07.多边形内角和综合 25．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 26．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27．过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则它的内角和是_________． 28．如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 29．如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型08.多边形外角和应用 31．正十边形的每一个外角为（   ） A． B． C． D． 32．一个十边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 33．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 34．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 35．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 题型09.多边形内角和外角和综合 37．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 38．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 39．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 40．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 题型10.平面镶嵌 41．如图是正六边形的瓷砖，其边长与下列正多边形瓷砖的边长都相等，则与正六边形瓷砖组合能够铺满地面的是（　　） A． B． C． D． 42．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 43．若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 44．用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型11.多边形截角问题 45．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 46．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______． 47．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 48．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 题型12.飞镖模型 49．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 50．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是_________． 52．【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 (2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 题型13.八字模型 53．（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 54．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 55．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 56．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 57．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 题型14.角平分线模型 58．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 59．如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 60．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 61．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 62．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 63．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 64．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 解答题 65．（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 66．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 67．如图，在中，点是上一点，连接、，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 68．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 69．已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的． (1)求这个外角的度数． (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由． 70．已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $