山西吕梁市孝义市孝义六中等学2025-2026学年上学期八年级数学思维发展与提升练习

2025-2026学年八年级数学思维发展与提升练习 姓名： 班级： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共0分.每小题只有一个选项符合题意，济选出并填 入下袁相应的位置) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B b D C P & P 1.若式子√：-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A.⊙2 2 C.x2 D.≤2 2.以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是 A1,2,2 g1,V3,2 C.4,5,6 D.2,V6,3 3.如图是人字梯及其侧面示意图，AB,AC为支撑架，DB为拉杆，点D,E分别是AB,AC的中点.老 DE-40cm,则B,C两点间的距离为 A.40 cm B.50 cm C.60 cm ,80cm S/o B Salb 第3题田 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，S1,S2,S,分别表示这三 正方形的面积.若S2=16,S,=10,则BC的长为 AV⑤ B.V6 C.V26 D.6 5.如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E.若AD=5,CE=3,则AB的长为 D. A.6 B.7 C& D.9 6.下列计算正确的是 Aiwa5店a居n月V 7如图，在矩形ABCD中，连接AC,BD,∠BAC=60°，AB=4,则BD的长为 B.4V3 C.4 D.2W3 填 控 6加-208？12 第7短图 第8题图 8.如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的 ∠1的度数是( ) A.118° B.122 C.128 D,32° 9. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何.”意 思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹 若 子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 X+6-(0o-x)户 +水-m-20xt米 A.5.3尺 B.6.8尺 C.4.7尺 D2尺1 2以26外 /0,如图①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，它可攻近似地看成是由一承然 共顶点0的直角三角形演化而成的.若图②中的0A,=AA,=AA,=AA==1,则0A,的长为 0 个 ICME-7 A ① ② A 3-2 3 C.5 D 3-4 第Ⅱ卷非选择题（共80分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请正确答袋填在题中横线上） 1.把 化成最简二次根式为 亿，已知某长方体的体积为120V3cm,高为2V15cm,长为3V10cm,则该长方体的宽为 25 cm. Da5 30lB 6瓜 4月 30 6 (如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，A,D两点在数轴上对应的数分别为-1和2，CD=1,连接 AC,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴正半轴于点E,则点E表示的数为VD一 D -2-1071 2 4如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同 时离开港口，“远航”号以每小时12如mile的速度沿北偏西50°方向航行，“海 天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开港口 个半小 时后分别位于R、g处，此时两艘轮船相距和n mile. (5) 远 7 8Ψ 4) P E 第15题图 第14题图 5如图是一台手机支架的示意图，AB,CD可分别绕点A,B转动，测得BD=5cm,AB=12cm.若4GL BD,DELAP,垂足为点E,DE=AE,则DE的长为反 cm. 是：乌后 三、解答题（本大题共7个小题，共5分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分)计算： (a+)-2层-， (2),(4V2-3V6)2V2; =25+号-竖-6 =2- 多 =J6 门.（本题7分）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解：(W3-√2)2×(5+26) =(3-26+2)X(5+2√6)…第一步 =(5-26)X(5+2√6)…第二步 =25一12…第三步 =13.…第四步 任务： (1)上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为 0tb上22ab+b (用字母表示) (2)上述解答过程，从第三 步开始出错，具体的错误是 2B2计褚送 (3)请写出正确的计算过程. (店)x(5+2B =(3-26+2)X(5g 二(5-2Bǐ5+28 =25-24=( 18:(本题6分)如图，在口ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE交CD的延长线于点F,连接 BD,AF.求证：四边形ABDF是平行四边形.店 月 这论：门驶8D4z迪头 A8别D B 2 点下是肠牛的 BE-FE 、:=D呢 在A8E和AD钟 义'任二D5 18安 人购剂A「2 AE-PE 心4ABE兰AP吓E(AA的) (本愚8分) /9、某居民小区有一块长方形空地ABCD,空地的长BC为√243m,宽AB为V128m,现要在空 地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为(V14+1)m,宽为（√14-1）m. (1)求空地ABCD的周长. (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元/m的地砖，要铺完 整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 本92网+网 =2(0十85 85+ 、 1S-50vg-Seg 二sXJ8-(H)X() 二95x版一（4) 二72-☑ 50X(72WH3 =3m6-53 为 元 (本题9分)项目化学习 项目主题：办公区绿化规划. 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候.某占地面 积为400m的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化. 设计方案：如图是该办公区的规划示意图.已知AB=12m,BC=9m,CD=8m,AD=17m, ∠ABC=90° 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC,则这条直道AC的 长度为 _m; (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案 是否符合规划要求. D 解：(1)15 (2分) 办公楼 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=VAB2+BC2= V122+92=15(m). 街道 (2).AC=225,CD2=64,AD2=289, .·.AC+CD2=AD2 (4分) ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. (5分) 绿化区的而积为2-c4cCnx12xw 1 21 15×8=114(m2) (7分) 400x30%=120(m2). (8分) .114<120, .设计方案不符合规划要求 (9分) ：21N综合与实践体题2玲) 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等 的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 只，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即号b×4(6-a)2,从而得到 等式c2=号ab×4+(b-a)2,化简便得结论a+b2=c2.这里用两种求法来表示同-个量从而得 到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种小颖受“赵爽弦图”的 启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板ABC和DEF,顶点F在AC 边上，顶点A,E重合，∠ACB=∠DFE=∠BAD=90°，BC=EF=a, AC=DF=b(a<b),AB=DE=c,也利用“双求法”验证了勾股定理. 证明：.连接BD,CD,则CF=AC-EF=b-a. 则S四边形ABCD=… (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程. (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得4ABC,则AB 边上的高为 W5 5 (3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC-5,BC=6,设BD=x,求x的值， A(E B 赵爽弦图 6-X0 ② LACB=LDFE=1D° ③ ④ Sanec+SAco (B②2A=4x4-22x4-X22-zx4 入2X2=52-(60 =20b+b2 ÷6-4-2-4 =6 1b-225-(6-12x+X) 1ZBAD=9D° AB=√华+20=25 169=25b+12X-X2 SA=&PAD+SBCO 公h= 2袋装9 /2X=27 AB 5 =zc+2a(b-) X=朵 =c2+b-a2 )AD是，房 八∠ADB=∠AC=1%° 入b=c222 AD=AB-BD=ACCD b2=c2-2 八BD=X,PC=C-BD=bX 02+62=c2 22综合与探究（本题3扮》 问题情境：如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E,F分别在边AD,BC上，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在BD上的点G处，将△DCF沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处.求证：四边形 BEDF是平行四边形 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C=90° ,∴、∠EDG∠FBH. 由折叠，得GB=AB,HD=CD,LBGE=LA=90°，∠DHF=∠C=90°. ∴.DH=BG,∠DGE=∠BHF=90°. ∴.DH-HG=BG-HG,即DG=BH. .△DEG≌△BFH. ..DE=BF. 又DE∥BF, .四边形BEDF是平行四边形（依据） 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是 (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明.请按赵斌的思路写出证 明过程 拓展探究： (3)连接EH,FG,若AB=6,BC=8,求四边形EGFH的周长 1.解：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2):四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AB∥CD. ∠ABD=LCDB. 折叠，得LABE=LDBE=∠ABD,∠CDF=LBDF=∠CDB 2 ∠DBE=LBDF∴.BE∥DF 又DE∥BF, .四边形BEDF是平行四边形 (3)四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6,AD=BC=8,∠C=90. .BD=VCD2+BC2=V62+82=10. 由折叠，得BG=AB=6. .DG=BD-BG=4. 同理可得BH=4, .∴.GH=10-BH-DG=2. 设EG=x,则AE=x,DE=8-x. 在Rt△DEG中，DE2=EG+DG, 即(8-x)2=x2+42,解得x=3. EG=3, ..EH=VGH2 EG2=V13. .∠EGH=∠FHG=90°， ∴.EG∥FH. 由(1)知△DEG≌△BFH, ..EG=FH .四边形EGFH是平行四边形 .四边形EGFH的周长为2(EG+EH)=6+2V13.2025-2026学年八年级数学思维发展与提升练习 姓名： 班级： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，每小题只有一个选项符合题意，请选出并填 入下表相应的位置) 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 选项 1.若式子Vx-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A.x>2 B.≥2 C.x<2 D.x≤2 2.以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是 A.1,2,2 B.1,V3,2 C.4,5,6 D.2,V6,3 3.如图是人字梯及其侧面示意图，AB,AC为支撑架，DE为拉杆，点D,E分别是AB,AC的中点.若 DE=40cm,则B,C两点间的距离为 A.40 cm B.50 cm C.60 cm D.80cm S 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，S1,S2,S,分别表示这三个 正方形的面积.若S2=16,S,=10,则BC的长为 A.V5 B.V6 C.V26 D.6 5.如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E.若AD=5,CE=3,则AB的长为 D B A.6 B.7 C.8 D.9 下列计算正确的是 1 A.2V3+3V2=5V5 B.42 C.5V3x5V2=5V6 D.V⑧÷V2=2 7如图，在矩形ABCD中，连接AC,BD,∠BAC=60°，AB=4,则BD的长为 1A.8 B.4V3 C.4 D.2V3 第7题图 第8题图 ·.如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的 ∠1的度数是( ) A.I18 B.122° C.128° D.132° 、《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，间折高者几何.”意 思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹 子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 A.5.3尺 B.6.8尺 C.4.7尺 D.3.2尺 如图①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，它可以近似地看成是由一串有公 共顶点0的直角三角形演化而成的.若图②中的0A1=A42=AA=AA,==1,则0A,的长为 ICME-7 ① ② 3 A 3-2 B.3 C.5 D. 4 第Ⅱ卷非选择题（共80分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 化成最简二次根式为 1.把5 2,已知某长方体的体积为120V了cm,高为2V15cm,长为3V10cm,则该长方体的宽为 em. ,如图，矩形ABCD的边AD在数轴上，A,D两点在数轴上对应的数分别为-1和2，CD=1,连接 AC,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴正半轴于点E,则点E表示的数为 B D -2-101 2134 14.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同 时离开港口，“远航”号以每小时12nile的速度沿北偏西50°方向航行，“海 天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开港口一个半小 时后分别位于R、2处，此时两艘轮船相距 n mile. P 第15题图 第14题图 15.如图是一台手机支架的示意图，AB,CD可分别绕点A,B转动，测得BD=5cm,AB=12cm.若A BD,DELAP,垂足为点E,DE=AE,则DE的长为 cm. 三、解答题（本大题共【个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分)计算： w(a+月)-2后-， (2)(4V2-3√6)÷2V2; (本题7分)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解：（√3-√2）2X(5+2√6) =(3一2√6+2)X(5+2√6)…第一步 =(5一2√6)X(5十2√6)…第一步 =25一12…第三步 =13.…第四步 任务： (1)上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为 (用字母表示)： (2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 (3)请写出正确的计算过程. 18:(本题6分)如图，在口ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE交CD的延长线于点F,连接 BD,AF.求证：四边形ABDF是平行四边形. A 某居民小区有一块长方形空地ABCD,空地的长BC为V243m,宽AB为V128m,现要在空 地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为(V14+1)m,宽为（√14-1）m, (1)求空地ABCD的周长， (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元/的地砖，要铺完 整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） A D B 20 (本题9分)项目化学习 项目主题：办公区绿化规划 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候.某占地面 积为400m的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化 设计方案：如图是该办公区的规划示意图.已知AB=12m,BC=9m,CD=8m,AD=17m, LABC=90°. 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC,则这条直道AC的 长度为 m (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案 是否符合规划要求 办公楼 绿 区 A 街道 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等 的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即号b×4(b-α)2，从而得到 等式c2=号b×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=2这里用两种求法来表示同一个量从而得 到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种小颖受“赵爽弦图”的 启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板ABC和DEF,项点F在AC 边上，顶点A,E重合，∠ACB=∠DFE=∠BAD=90°，BC=EF=a, AC=DF=b(a<b),AB=DE=c,也利用“双求法”验证了勾股定理。 证明：连接BD,CD,则CF=AC-EF=b-a. 则S四边形ABCp=… (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程， (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得4ABC,则AB 边上的高为 (3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值， A() 赵爽弦圈 ③ ④ 22综合与探究（本题3扮） 问题情境：如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E,F分别在边AD,BC上，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在BD上的点G处，将△DCF沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处.求证：四边形 BEDF是平行四边形 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C=90° .∴.∠EDG=∠FBH, 由折叠，得GB=AB,HD=CD,∠BGE=∠A=90°，∠DHF=∠C=90° ∴.DH=BG,∠DGE=∠BHF=90°. .∴DH-HG=BG-HG,即DG=BH. .△DEG≌△BFH. ..DE=BF. 又DE∥BF, ∴.四边形BEDF是平行四边形（依据） 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是 (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明.请按赵斌的思路写出证 明过程 拓展探究： (3)连接EH,FG,若AB=6,BC=8,求四边形EGFH的周长. 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