精品解析：江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高二年级第二学期4月月考数学试题

江科附中2025-2026学年第二学期 高二年级4月月考数学试卷 卷面分数：150分；考试时间：120分钟；命题人/审题人：高二数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项列出等式即可求解. 【详解】由题意，代入，， 得：. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 令，可得，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 3. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 所以， 因为， ， 所以的图象在处的切线方程为，即． 4. 数列满足，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以当时，，两式相减得，即，当时，，满足，故，故选B. 5. 已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的最大整数值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，，得到，利用等比数列的求和公式，求得，结合，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，首项为1，公差为2，可得， 又由数列为等比数列，首项为1，公比为2，可得， 因为， 所以数列的前项和， 又因为，所以单调递增， 当时，可得， 所以当时，的最大整数值为. 6. 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 7. 数列满足（），则它的前9项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， . 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A： 为等差数列， ， 得， ， 正确； B：因为， ， ， (一般情况)， 错误； C： 设公差为， 由， ， 得， ， ， ， 则， 正确； D： ， 得； ， 得， ， ， 且， ， 错误. 10. 已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，结合图象与导数运算及性质可得，；求出与即可得A；利用导数定义可得B；表示出后，利用高次不等式解法可得C；利用求导法则计算可得D. 【详解】因为函数为三次函数，可设，， 由图可知：，， 即，即， 则，则， 由图可得，则， 即，， 由图可得当时，，则， 对A：，，由，故，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，由， 故，解得，故C正确； 对D：，则， 则，则， 即有，则， 故，故D错误. 11. 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：分析可知有2个不同是实根，利用韦达定理分析判断；对于C：根据，整理可得；对于D：整理可得，结合二次函数最值分析求解. 【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根， 则，且，即，故A正确，B错误； 对于选项C：可得，故C正确； 对于选项D：因为， 构建 若，即，即， 且，则， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若与的等差中项是与的等比中项，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项，等比中项的定义求解即可. 【详解】由题意可知，等差中项为， 则由等比中项的性质得，解得. 13. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 14. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，要求写出解答过程） 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极小值为；无极大值 【解析】 【分析】（1）结合题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）利用导数判断的单调性，进而求出极小值，得到其没有极大值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由导数的几何意义得切线斜率为， 由题意得，则切点为， 可得切线方程为，即. 【小问2详解】 由上问得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 16. 已知数列的前n项和为，且（）. （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系化简可得，根据等比数列通项公式求法可得； （2）根据错位相减法计算即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，整理可得. 由可得，又， 则. 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以，所以. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，则. ①， 两边同时乘以3得 ②. 由①②得：， 即. 其中. 则. 所以. 因此，数列的前n项和. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间； （2）由（1）得的最小值为，解不等式即可． 【小问1详解】 函数的定义域为. 对求导得. 当时，在上，，，，所以，则在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，，，所以，在上单调递减； 当时，，，，所以，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， ， 因为恒成立，所以，即， 移项可得，因为，两边同时除以a得， 令，，对求导得，所以在上单调递增， 又因为，所以即，根据单调性可知， 故实数a的取值范围. 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，…. （1）求的通项公式； （2）设第n个群中所有项的和为，求； （3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据等差数列通项公式求法计算即可求解； （2）根据等差数列前项和公式计算求解； （3）根据题意由累乘法可得，令，判断数列的单调性，根据单调性即可求解. 【小问1详解】 已知，两边同时取倒数可得. 因为，所以，则. 又，所以. 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以； 【小问2详解】 由题意可知，第个群中有项，第个群中的第一项是，最后一项是. 根据等差数列求和公式（其中为首项，为末项），可得：. 因为，所以，. 则； 【小问3详解】 当时，. 所以（）. 当时，，上式也成立，所以. 已知，即. 则. 令， 则. 因为， 因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以数列满足， 所以数列的最小值为. 所以，即实数的取值范围是. 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，分析函数单调性即可得到极值点； （2）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （3）结合函数零点的概念和韦达定理得到两个根的关系，将表示为关于的函数，令，利用导数求得函数的值域即可得解. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， ，得， 当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上单调递增. 因此，极大值点为，极小值点为. （2）函数的定义域为. 对求导得. 因为在其定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得在上恒成立. 根据基本不等式（，，当且仅当时等号成立）， 对于2，其中，，则， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数m的取值范围是. （3）由（2）知，因为有两个零点，， 所以，是方程的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程（）， 两根，有，， 则在方程中，，. 因为，所以，且. 已知，即，解不等式， 两边同时除以，得，移项得，即， 因为，所以该不等式恒成立. 解不等式，两边同时乘以（）得， 因式分解得，解得，结合，可得. 设，， ，所以在上单调递减. 则，， ， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江科附中2025-2026学年第二学期 高二年级4月月考数学试卷 卷面分数：150分；考试时间：120分钟；命题人/审题人：高二数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 3. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，则 A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的最大整数值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足（），则它的前9项和（ ） A. B. C. D. 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 若，则 11. 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若与的等差中项是与的等比中项，则____________. 13. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 14. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，要求写出解答过程） 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）求的极值． 16. 已知数列的前n项和为，且（）. （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，…. （1）求的通项公式； （2）设第n个群中所有项的和为，求； （3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $