精品解析：上海市风华初级中学教育集团2025--2026学年第二学期九年级数学阶段练习1

上海市风华初级中学教育集团2025-2026学年第二学期九年级数学阶段练习1 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，计算出正确的结果． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A、与不是同类二次根式； B、=a与不是同类二次根式； C、 =a与是同类二次根式； D、=a2与不是同类二次根式； 故选C． 3. 直线不经过第三象限，则k、b应满足（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数图象经过一、二、四象限；当时，函数图象经过第二，四象限是解答此题的关键．直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：直线不经过第三象限， 的图象经过第一、二、四象限或第二，四象限， 直线必经过二、四象限， ， 当图象过一、二四象限，直线与y轴正半轴相交时：， 当图象过原点时：， ， 故选：D． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线即的图象， 故选：C． 5. 在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形． 【详解】解：A、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误， B、正六边形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误， C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A. 4＜OC≤ B. 4≤OC≤ C. 4＜OC D. 4≤OC 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论． 【详解】作DE⊥BC于E，如图所示： 则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2， ∴CE＝4＝DE， 当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4； 当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A， 设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2， 解得：x＝； ∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤； 故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法可对原式进行因式分解． 【详解】解：． 8. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：，解得的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 9. 不等式组的解集为________． 【答案】－1≤x<2 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据数轴确定两不等式解集的公共部分，从而得出不等式组的解集． 【详解】解： ∵由①得：x≥－1， 由②得：x＜2， ∴不等式组的解集是－1≤x＜2， 故答案为：－1≤x＜2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式组中每个不等式的解集数形结合求出不等式组的解集． 10. 根据国家电影局统计，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，其中57.52亿元用科学记数法表示为______元． 【答案】 【解析】 【分析】先将单位由亿元换算为元，再根据科学记数法的定义确定和的值，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的值等于原数的整数位数减． 【详解】解：亿元元， ∴． 11. 在数字2，3，9，11，87中随机抽出一个，抽中素数的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据素数的定义找出抽中素数的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，给出的数字共有个，即所有等可能的结果总数为， 根据素数的定义：大于的自然数中，只有和它本身两个正因数的数是素数， 可得，，，，中，素数为，，，共个， 即抽中素数的结果数为， 根据概率公式，抽中素数的概率为． 12. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤计算求解即可． 【详解】∵， ∴， 解得或． 经检验，是原方程的根，是原方程的增根； 故原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确求解，规范验根是解题的关键． 13. 关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x的方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根可得△=（-2）2-4×（-k）=0，求出k的值即可． 【详解】∵方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根， ∴△=（-2）2-4×（-k）=0， ∴k=-1， 故答案为-1． 14. 已知点A(2，－1)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而____． 【答案】增大 【解析】 【分析】根据点A(2，-1)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上可知k<0，进而根据反比例函数性质即可得出答案. 【详解】∵点A(2，-1)在反比例函数y=(k≠0)的图象上， ∴k=2×（-1）=-2<0， ∴在每一象限内y随着x的增大而增大， 故答案为增大． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，k>0时，图像在一、三象限，在每一象限内y随着x的增大而减小；k<0时，图像在二、四象限，在每一象限内y随着x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 15. 在梯形ABCD中，//BC，AD=BC，设，，那么等于____________（结果用、的线性组合表示）； 【答案】 【解析】 【详解】 即： 16. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形的面积公式，设该圆半径为，根据等边三角形的性质得到；，根据三角形的面积公式得到正三角形的面积；根据勾股定理得到，求得圆的内接正六边形，解方程即可得到结论． 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 17. 如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，根据矩形的性质得出，由折叠可得：，，得到，，推出，根据勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ， ， ， ， ， ∴． 18. 若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键． 由题意知，，顶点坐标为，对称轴是直线．则该抛物线开口向上，点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可． 【详解】解：由题意知，， ∴顶点坐标为，对称轴是直线， ∵抛物线与x轴交于点M、N两点， ∴该抛物线开口向上， ∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内． ①当该抛物线经过点和时，如图1． 将代入得，， 解得， ∴此时抛物线解析式为． 当时，， 解得，， ∴x轴上的点，，符合题意． ∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意． ∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大， ∴． ②当该抛物线经过点和点时，如图2． 此时x轴上的点 ，，符合题意． 将代入得，， 解得． ∴此时抛物线解析式为． 当时，． ∴符合题意． 当时，得． ∴符合题意． 综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴不符合题． ∴． 综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】4- 【解析】 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】原式 ． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 解方程： ． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把方程组化成两个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，∴或，解得，． 【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 21. 如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，，结合，可得，再利用勾股定理可得答案； （2）过作于，可得，证明，求解，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵，点G是的重心， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，重心性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． （1）根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． （2）根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． （3）已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． （4）请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】（1）407.2；17 （2）图见解析 （3）403，401，398 （4）1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【解析】 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【小问1详解】 解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． 【小问2详解】 解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数， 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， 【小问3详解】 解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． 【小问4详解】 解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 23. 如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点． （1）求证：四边形AOEB是平行四边形； （2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据BE∥AC，△COF∽△BEF，又因为F为BC的中点可得CF=BF，所以BE=OC=OA，结合BE∥AC，即可证得AOEB是平行四边形. （2）根据题意可证得△COB∽△CBA，即，在依据AC＝2OC，BC＝2FC，可得，即可证得BO•OC＝AB•FC 【详解】（1）∵BE∥AC， ∴△COF∽△BEF ∴ ∵点F为BC的中点， ∴CF＝BF， ∴OC＝BE ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO ∴AO＝BE ∵BE∥AC， ∴四边形AOEB是平行四边形 （2）∵四边形AOEB是平行四边形， ∴∠BAO＝∠E ∵∠OBC＝∠E， ∴∠BAO＝∠OBC ∵∠ACB＝∠BCO， ∴△COB∽△CBA ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC ∵点F为BC的中点， ∴BC＝2FC ∴ 即BO•OC＝AB•FC. 【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定的综合应用，本题的关键是通过平行得到几组相似三角形来解题. 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； （3）如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求得抛物线的表达式，然后将表达式化为顶点式即可求解； （2）设，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H，证明，根据相似三角形的性质可求出e的值，即可求解； （3）待定系数法求出直线的表达式，设，当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在上，故点D只能在y轴右侧，由新抛物线的对称轴与经过原点可知点，当垂直平分时，方程无解；当垂直平分时，则点与点G的纵坐标的绝对值相等，据此列出关于m的方程，解得m的值即可求得新抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点的坐标为 【小问2详解】 解：∵ ∴， 设， 如图，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H， 则，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵ 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； ∴设， 当点D在y轴左侧时，如图， 此时，点P不可能在线段上，故点D只能在y轴右侧， 由新抛物线的表达式知，其对称轴为， ∵以P为顶点的新抛物线经过原点， 则点， 当垂直平分时， 则， 此方程无解，即此种情况不存在； 当垂直平分时， 则，即， 解得：（舍去）或2， ∴， 设新抛物线的表达式为， 则， ∴， ∴新抛物线的表达式为：． 25. 已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． （1）如图1，当点在线段上，且时，求的值； （2）如图2，当时，求的长； （3）如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 【答案】（1） （2） （3）为或或. 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，证明，可得，设，则，进一步利用勾股定理与三角函数求解即可； （2）如图，记与的交点为，过点作于点，结合（1）可得：，证明，进一步可得答案. （3）分情况讨论：如图，当在边上时，过作于，如图，当在边上时，如图，当在直线上时，过作于，过作于，再分别画图进一步求解即可. 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， ，， ， ，， ， ， ∴， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ， ； 【小问2详解】 解：如图，记与的交点为，过点作于点， 结合（1）可得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：如图，当在边上时，过作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在边上时， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线上时，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上：为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华初级中学教育集团2025-2026学年第二学期九年级数学阶段练习1 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 直线不经过第三象限，则k、b应满足（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A. 4＜OC≤ B. 4≤OC≤ C. 4＜OC D. 4≤OC 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： ____________． 8. 函数的定义域是_____． 9. 不等式组的解集为________． 10. 根据国家电影局统计，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，其中57.52亿元用科学记数法表示为______元． 11. 在数字2，3，9，11，87中随机抽出一个，抽中素数的概率为____． 12. 分式方程的解是________． 13. 关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为_________． 14. 已知点A(2，－1)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而____． 15. 在梯形ABCD中，//BC，AD=BC，设，，那么等于____________（结果用、的线性组合表示）； 16. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 17. 如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，那么的值为_____． 18. 若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是_____ 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 解方程： ． 21. 如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F． （1）求的长； （2）求的长． 22. 【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． （1）根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． （2）根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． （3）已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． （4）请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 23. 如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点． （1）求证：四边形AOEB是平行四边形； （2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； （3）如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 25. 已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． （1）如图1，当点在线段上，且时，求的值； （2）如图2，当时，求的长； （3）如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $