精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024—2025学年下学期二月月考九年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期初中数学九年级二月素质评估 班级：________ 一、单选题（共24分） 1. 三角形的外心具有的性质是（ ） A. 外心三角形外 B. 外心在三角形内 C. 外心到三角形三边距离相等 D. 外心到三角形三个顶点距离相等 2. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 3. 已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如下表： 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 则下列说法正确的是（ ） A. 中位数是3，众数是2 B. 众数是1，平均数是2 C. 中位数是2，众数是2 D. 中位数是3，平均数是2.5 6. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ） A. 9.6 B. C. D. 19 二、填空题（共48分） 7 已知，那么____________． 8. 已知点是线段的黄金分割点，，且，则____________． 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 10. 若抛物线过、两点，那么____________（填“”，“”或“”） 11. 某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为________米． 12. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，设，，用向量、表示向量______． 13. 如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____． 14. 正边形的边长与半径的夹角为，那么________． 15. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 16. 已知一组数据7，10，8，14，9，7，12，11，10，8，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，那么这组数据落在范围8.5～11.5的频率是__________． 17. 在中，将绕点旋转，点对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．则的值为____________． 18. 如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为________. 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中的m值为________；此次抽样随机抽取了口罩_______枚； （2）求统计的这些数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？ 21. 已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．填空： ； （2）求点到距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 23. 如图，在中，为上一点，为上一点，作平行四边形，边交于点，满足，联结． （1）求证：． （2）联结交于点，若，求证：四边形是等腰梯形． 24. 如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点坐标【不必书写求解过程】． 25. 如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点. （1）设，的余切值为，求关于的函数解析式； （2）若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； （3）对（2）中求出矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期初中数学九年级二月素质评估 班级：________ 一、单选题（共24分） 1. 三角形的外心具有的性质是（ ） A. 外心在三角形外 B. 外心在三角形内 C. 外心到三角形三边距离相等 D. 外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 2. 已知在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦，勾股定理是解题的关键．由题意知，，求出的值，然后由勾股定理求线段长即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ 解得，， 由勾股定理得，， 故选：C． 3. 已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，且与的相似比为，与的相似比为，故设，则，，所以，即可作答． 【详解】解：∵，与的相似比为，与的相似比为， ∴设， 则，， ， ∴与的相似比为， 故选：B． 4. 已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了向量平行的判定，向量的线性运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量的线性运算分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 若，，则，正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有3个， 故选：D． 5. 为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如下表： 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 则下列说法正确的是（ ） A. 中位数是3，众数是2 B. 众数是1，平均数是2 C. 中位数是2，众数是2 D. 中位数是3，平均数是2.5 【答案】C 【解析】 【分析】将15个数据按顺序排列，位于中间的数是中位数，求15个数的和的平均值即是平均数，根据众数的定义，出现次数最多次的数是众数，据此解题即可． 【详解】15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，平均数：，中位数为2，出现最多的次的数是2，众数是2，故A错误，B错误，D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的求法，是常见基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ） A. 9.6 B. C. D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可 详解】解：连接OC ∵AB⊥CD, OE⊥AC ∴ AE=EC，CF=FD ∵OE=3，OB=5 ∴OB=OC=OA=5 ∴在Rt△OAE中 ∴AE=EC=4 设OF=x，则有 x=1.4 在Rt△OFC中， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键 二、填空题（共48分） 7. 已知，那么____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，设，代入求值即可． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为：13． 8. 已知点是线段的黄金分割点，，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的解析式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 10. 若抛物线过、两点，那么____________（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近，且在对称轴上，即顶点 ∴． 故答案为：． 11. 某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设垂直高度下降了米，则水平前进了米． 根据勾股定理可得：． 解得， 即它距离地面的垂直高度下降了100米． 故答案为：100． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理． 12. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，设，，用向量、表示向量______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形法则，进行求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键． 13. 如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____． 【答案】1cm 【解析】 【分析】首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． 【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E， ∵分直径成1cm和5cm两部分， ∴AB＝6cm， ∴OA＝AB＝3cm， ∴OE＝OA﹣AE＝2cm， ∵∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝1（cm）． 故答案为：1cm． 【点睛】此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 14. 正边形的边长与半径的夹角为，那么________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据正边形的边长与半径的夹角为求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：正边形的边长与半径的夹角为， 一个内角的度数，即， 解得． 故答案为：6 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键． 15. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 16. 已知一组数据7，10，8，14，9，7，12，11，10，8，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，那么这组数据落在范围8.5～11.5的频率是__________． 【答案】0.5. 【解析】 【分析】此题只需正确找到数据落在范围8.5～11.5的频数，再根据频率=频数÷总数，进行计算． 【详解】解：∵这组数据共有20个；有10个在8.5～11.5之间， ∴落在范围8.5～11.5内的频率=10÷20=0.5． 故答案为0.5 【点睛】此题考查了频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和． 17. 在中，将绕点旋转，点对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，先作图，由得，，结合中线得，运用勾股定理得，因为旋转得，故，，再证明，代入数得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，将绕点旋转，点对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．如图所示： ∵ ∴设， ∴， ∵是的中线， ∴， 故， ∵旋转， ∴， 过点作于点， 则，， ∵ ∴ ∴， 即 解得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18. 如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设与交点为，过作交于，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，由翻折变换的性质得出：，，同理由三角形中位线定理得出，设，则，，得出，，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可得出结果． 【详解】解：设与交点为，过作交于，如图所示： 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， 由翻折变换的性质得：，， 同理：是的中位线， ， 设，则，， ，， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出，是解决问题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则，是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）图①中的m值为________；此次抽样随机抽取了口罩_______枚； （2）求统计的这些数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？ 【答案】（1）28，50 （2）1.52元，1.8元，1.5元 （3）960枚 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出的值，从而可以得到的值，再结合条形统计图中的数据，可计算抽样随机抽取了口罩的总数； （2）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出价格为1.8元的口罩有多少枚． 【小问1详解】 解：， 即的值是28， 随机抽取了口罩总数为（枚） 故答案为：28，50； 【小问2详解】 平均数是：元， 单价为1.8元的数量最多，则，众数为：1.8元； 由（1）只共调查了50枚，则中位数是第25枚和枚26平均数，即：元； 【小问3详解】 （枚）， 答：价格为1.8元的口罩有960枚． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．填空： ； （2）求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）20 （2）10.3cm 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）过点作垂足为过点作垂足为则从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： 故答案为：20； 【小问2详解】 解：过点作垂足为过点作垂足为 则 在Rt中， ， 在Rt中， ， ， 点到的距离约为10.3cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图，在中，为上一点，为上一点，作平行四边形，边交于点，满足，联结． （1）求证：． （2）联结交于点，若，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，结合，则，因为，证明，即可作答． （2）先由平行四边形的性质得，证明，故，则，因为，得，因为，证明，则，所以，得四边形是梯形，结合由（1）得，，所以，即，证明四边形是等腰梯形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：联结,如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∴， 由（1）得， ∴， 则， 由（1）得， ∴， ∴， 则， 即， ∴四边形是等腰梯形． 24. 如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】． 【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在； 或或或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的坐标，用待定系数法求得函数解析式． （2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案． （3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标． 【详解】解：（1）∵A、B是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴点B的坐标为； 将A、B两点坐标值代入可列方程组： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）∵点P为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴， ∴点P的横坐标为-1，纵坐标为， ∴点P的坐标为， 直线BC的解析式为，将B、C的值代入可列方程： 解得 ∵BC与对称轴交于点Q， ∴当，， ∴点Q的坐标为， ， ∵是点P绕点Q顺时针旋转120°得到的， ∴， 过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，如图： ∵在中，，， ∴，， ∴点横坐标为点D横坐标加，即：， 点纵坐标为点Q纵坐标减，即：， 将的横坐标值代入， ， ∴的坐标符合抛物线表达式， ∴在抛物线上． （3）∵， ， ， ， ∴， ∴是直角三角形，，，， ∵M是x轴上一点，， 若，则， ∴， 此时，点M坐标为或， 若，则， ∴， 此时，点M坐标为或， ∴综上，点M存在，点坐标为 或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 25. 如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点. （1）设，的余切值为，求关于的函数解析式； （2）若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； （3）对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）或或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果； （2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 则， ； 【小问2详解】 ：四边形的面积比是， ， ， 设，则， ∵，， ，且， ， ， 解得， ， ∴； 【小问3详解】 ①时，过点作，垂足为点， 则，，延长交于点， ， ， 当时，是等腰三角形； ②时，则， ，， ， 则， 当时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，故为中点． ，， ， ∴， ， ，即， ∴， 解得， 当时，是等腰三角形， 综上：的长度为或或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$