精品解析：2026年广东广州大学附属中学九年级适应性模拟考试数学试卷

2026年广东广州大学附属中学九年级适应性模拟考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 3. 2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解；1300万． 故选B． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 1000件产品中只有一件是次品，从中随机抽取一件，“是次品”是不可能事件 B. “在一张纸上任意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”是随机事件 C. 天气预报明天武汉有雨，“武汉明天下雨”是必然事件 D. 了解汉江襄阳段的水质情况，适合用全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，以及调查方法的选择，正确把握相关定义是解题关键．根据不可能事件、随机事件、必然事件的概念，以及普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．分别分析判断，即可得出答案． 【详解】解：A、1000件产品中只有一件是次品，从中随机抽取一件，“是次品”是随机事件，选项错误，不符合题意； B、“在一张纸上任意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”是随机事件，正确符合题意； C、天气预报明天武汉有雨，“武汉明天下雨”是随机事件，选项错误，不符合题意； D、了解汉江襄阳段的水质情况，适合用抽样调查，选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方法则逐一计算判断即可． 【详解】对于选项A：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减， 时，， ∴A运算正确； 对于选项B：合并同类项可得 ， ∴B运算错误； 对于选项C：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， ∴C运算错误； 对于选项D：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ∴D运算错误．　　　 6. 如图，的顶点在反比例函数 的图像上，顶点 在 轴上，轴，若点的坐标为，，则 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 7 D. -7 【答案】C 【解析】 【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a=，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值． 【详解】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3）， ∴设点A（a，3） ∵S△ABC=（a-1）×3=2， ∴a=， ∴点A（，3） ∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴k=7， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键． 7. 已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长，列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，已知圆锥底面半径 ，母线长， ∴圆锥底面周长为， 根据扇形弧长公式可得方程：， 解得：， ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 8. 如图，在正方形 中，点 在的延长线上，点 是 的中点，连接 并延长交于点 ，连接，则（） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到 的长度，再利用勾股定理求出、 、 的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形 中，， ∴，． ∵， ∴． ∵ 是 的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中， ，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 9. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误； B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误； C、， 假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误； D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确； 故选D． 10. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论： ；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（， 为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出， ，然后通过函数图象可得当时，，即可判断 ；通过二次函数的性质即可判断；当 时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴ ， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故 正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随 的增大而减小，， ∴，故 错误； 根据图象可知：当 时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（， 为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（， 为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（， 为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（， 为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得： 正确，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若分式有意义，则实数 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 即 ． 故答案为 ． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用公式法进行因式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在进行因式分解时，有公因式一定要先提公因式．熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于 的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于 的不等式，从而求得 的范围． 【详解】解：， 解得：． 的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在 中，E是上一点，， 的延长线与 的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出 ，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解： 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 15. 如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点 落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，由旋转性质可得， ，，然后通过．即可求解 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， ∵将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到延长线上的点， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴边变到边所扫过的面积为平方厘米． 16. 美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将图②抽象成数学模型，根据邻角之间的关系可得关于五边形五个内角的方程组，求解出每个角的值即可．根据抽象所得的图③可知，，．连接，，作于点，取 的中点 ，连接，则 是等腰直角三角形， 是含角的直角三角形，由勾股定理和三角函数可计算出，，．由和 可判断 ，进而得到也是等腰直角三角形，因此，最后利用所得数据计算周长即可． 【详解】解：将图②抽象成几何图形可得， 由图③可知， ， 解得， 如图④，连接，，作于点，取 的中点 ，连接， 由图③可知，，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 由勾股定理可得，， 在 中，，， ∵点 为 的中点， ∴， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】分别利用零指数幂的性质，二次根式的化简方法，特殊角的三角函数值计算每一项，再合并得到最终结果． 【详解】解： ． 18. 若，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则进行化简，最后根据求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的相关计算法则． 19. 已知：如图，点P为矩形 内一点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】欲证明只要证明 即可． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定． 20. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这 周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这 周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“ ”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与 轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线 与反比例函数的图象交于点 ，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）的面积为 【解析】 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由，，根据图象即可求解； （3）根据反比例函数的对称性得出，过点作 轴于点 ，过点 作 轴于点，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与 轴交于点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴根据图象可得，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：∵射线 与反比例函数的图象交于点 ， ∴与 关于原点对称， ∴， 过点作 轴于点 ，过点 作 轴于点， ∴ ，， ∵， ∴， ∴ ． 22. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）共有3种建造方案，方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位；（3）方案1的总费用最少，最少费用是10630元 【解析】 【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，根据题意列分式方程解决问题； （2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，根据题意，列一元一次不等式组解决问题； （3）根据（2）的结论，分别计算各方案的费用，再比较即可得出费用最少的方案以及最少费用． 【详解】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米， 依题意得：＝×， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意， ∴x+2＝5． 答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米． （2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位， 依题意得： 解得：≤m≤25． 又∵m为整数， ∴m可以取23，24，25， ∴共有3种建造方案， 方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位； 方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位； 方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位． （3）方案1所需总费用为40×5×23+30×3×67＝10630（元）， 方案2所需总费用为40×5×24+30×3×66＝10740（元）， 方案3所需总费用为40×5×25+30×3×65＝10850（元）． ∵10630＜10740＜10850， ∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式和方程是解题的关键． 23. 根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为 ，最大夹角为 ．如图2，小浩设计直角形遮阳篷 ，点 在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧 延伸后经过点，段可伸缩， 为的中点），， 的长保持不变． 【任务1】如图2，求， 的长． 【任务2】如图3，求劣弧 的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到 的距离）． 【答案】任务1： ，；任务2：劣弧 的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【解析】 【分析】任务1：由题意得： ，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在 中，，得到，结合， ，即可求得， 的长； 任务2：已知 ，得到是直径，取的中点 ，过点 作交于点，即点 是圆心，已知，，求得，根据 是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点 是圆心，得到，结合，，即可得到 即为劣弧 的弓高，根据，即可求得劣弧 的弓高； 任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与 相交于点 ，与 相交于点， 根据，得到，在中，结合，得到 ，进而得到 ，结合，可知点 与点 重合，连接 ，过点 作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，， 即可证明四边形是矩形，进一步得到，，， ，，结合是半径，得到， 在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值． 【详解】任务1： 如图所示： 由题意得： ，，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， 又∵， ，则， ∴， ∴， 即，； 任务2： 如图所示： ∵ ， ∴是直径， 取的中点 ，过点 作交于点，即点 是圆心， ∵，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意可知：是直径，点 是圆心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 即为劣弧 的弓高， ∴， ∴劣弧 的弓高为米； 任务3： 如图所示： 过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与 相交于点 ，与 相交于点， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴点 与点 重合， 连接 ，过点 作， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， 又∵是半径， ∴， 在中， ∵，，， 则， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 如图，在中，，，为线段上一点． （1）尺规作图，作点 关于的对称点 ，连接， ，并证明； （2）如图，当由 点运动到点过程中， 若线段与线段交于点 ，当取最大值时，求的值； 在上取一点 ，使得，连接 ，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 ，点 即为所求， 在 和中， ， ∴； （2） ；存在，最小值为． 【解析】 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 ，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （） 先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点 ，连接，交于点 ，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点 在与夹角为的直线 上运动，再得出，，即点 在垂直平分线上运动， ，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点 ，连接，交于点 ，延长交于点，连接， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点 在与夹角为的直线 上运动， ∴， ∴， ∴，即点 在垂直平分线上运动， ∴ ， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 25. 已知抛物线 ，点，纵坐标为的点在抛物线上，且 ，过点 作直线交抛物线于点，． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知点 ，直线， 分别交抛物线于 ，两点． ①求证：直线 过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】（1） （2） ①证明：根据题意，设，，直线 的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得 ， ∴ ； ∵ ，直线交抛物线于点 ， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得 ， ∴ ， 同理可得 ， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴对于直线 ，当 时， ， ∴直线 过定点； ②10 【解析】 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线 的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ， ，从而求得 ，即可解答； ②根据①中所求，可得 ， ，然后利用完全平方公式的变形求得， ，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【小问1详解】 解：根据题意，设，则 ， ∴， ∵ ， ∴， 整理得 ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①略 ②解：由①可得， ， ； ， ， 直线 过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵ ， ∴与面积和的最小值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东广州大学附属中学九年级适应性模拟考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 1000件产品中只有一件是次品，从中随机抽取一件，“是次品”是不可能事件 B. “在一张纸上任意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”是随机事件 C. 天气预报明天武汉有雨，“武汉明天下雨”是必然事件 D. 了解汉江襄阳段的水质情况，适合用全面调查 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点在反比例函数 的图像上，顶点在 轴上，轴，若点的坐标为，，则 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 7 D. -7 7. 已知圆锥的母线长为，底面半径是 ，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形 中，点在的延长线上，点 是 的中点，连接 并延长交于点 ，连接，则（） A. B. C. D. 2 9. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 10. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论： ；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（， 为常数）的所有根的和为 ．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若分式有意义，则实数 的取值范围是___________． 12. 分解因式：______． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 14. 如图，在 中，E是上一点，， 的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 15. 如图，中， ，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边 变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 16. 美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．） 17. 计算：． 18. 若，求代数式的值． 19. 已知：如图，点P为矩形 内一点，，求证：． 20. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这 周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这 周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“ ”）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与 轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线 与反比例函数的图象交于点，连接 ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 22. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？ 23. 根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为 ，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷 ，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩， 为的中点）， ，的长保持不变． 【任务1】如图2，求 ，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 24. 如图 ，在中，，，为线段 上一点． （1）尺规作图，作点关于的对称点，连接， ，并证明； （2）如图 ，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点 ，当取最大值时，求的值； 在上取一点 ，使得，连接 ，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 25. 已知抛物线 ，点，纵坐标为 的点在抛物线上，且 ，过点 作直线 交抛物线于点，． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）已知点 ，直线， 分别交抛物线于，两点． ①求证：直线 过定点； ②求与 面积和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $