2026年中考数学压轴题几何模型 专题18 角平分线模型

专题18 角平分线模型 角平分线模型，由角平分线的对称性与性质定理推导得出，是处理角度关系、线段比例与距离问题的核心几何模型，可快速构造全等、相似图形，实现角与边的双向转化。中考常以三角形、四边形、折叠旋转及代几综合题型出现，题目思路灵活、应用广泛，是几何角边转化思想与对称思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、巩固提高三个部分展开，循序渐进，层层剖析角平分线模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 知识总结： 1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例： 已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则. 2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例： 已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则. 3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例： 已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则. 4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即. 证明：是的平分线，， 又，是等腰三角形. 5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例： 已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则. 6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例： 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例： （1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示： （2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示： （3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示： 8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例： 已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠DOE是圆O的圆心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，连接BF、CF、DG、EG，则BF＝CF，DG＝EG. 9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中， ① 在中， ② ， 由得， 即. 10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中，，即 ① 在中， ② 由得 ，即. 11. 【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中，，即 ① ， ② 由①＝②，得， 在中，， ，， 即， 由④可得，代入③式可得， 整理可得. 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解） 模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一 模型2：内角平分线+外角平分线模型 如图二 模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、 飞镖模型内角关系模型： 图四 2、 飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型： 图五 例题分析 类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．如图，在△ABC中，．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2014，得∠A2014 ．如果∠A＝n度，则∠A2014＝___________度．（直接用含n的代数式表示） 类型三、 外角平分线+外角平分线模型 3．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： (1)若∠A＝60°，则∠P＝　 　°； (2)若∠A＝40°，则∠P＝　 　°； (3)若∠A＝100°，则∠P＝　 　°； (4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系　 　． 类型四、 飞镖内角平分线+内角平分线模型 4．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ） A．80° B．75° C．60° D．45° 巩固提高 一、单选题 1．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 3．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①和都是等腰三角形 ②； ③； ④若，则． 其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号）    6．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 7．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 8．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 9．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 10．如图，的角平分线、相交于点，，则 ． 11．如图，在中，，的平分线与的平分线交于，得，则 ．的平分线与的平分交于点，得,,的平分线与的平分线交于点，得，则 ． 三、解答题 12．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 13．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 14．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 15．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 16．如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 17．如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 18．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16 (1)求C点坐标； (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数； (3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 19．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 20．已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题： （1）如图（1），求证：OB∥AC． （2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数． （3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∶∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 21．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示） 22．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求： ①∠CAE的度数； ②∠DAE的度数． （2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数． （3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由． 23．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小． （2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC． 24．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 25．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 26．如图，已知、的平分线相交于点，过点且．    （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 27．已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 28．（1）问题发现： 如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______ （2）类比探究： 如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由． （3）类比延伸： 如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．    29．如图，的角平分线相交于点． （1）若，则________； （2）试探究与之间的数量关系并说明理由． 30．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形． （1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形； （2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　． （3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 角平分线模型 角平分线模型，由角平分线的对称性与性质定理推导得出，是处理角度关系、线段比例与距离问题的核心几何模型，可快速构造全等、相似图形，实现角与边的双向转化。中考常以三角形、四边形、折叠旋转及代几综合题型出现，题目思路灵活、应用广泛，是几何角边转化思想与对称思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、巩固提高三个部分展开，循序渐进，层层剖析角平分线模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 知识总结： 1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例： 已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则. 2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例： 已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则. 3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例： 已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则. 4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即. 证明：是的平分线，， 又，是等腰三角形. 5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例： 已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则. 6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例： 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例： （1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示： （2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示： （3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示： 8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例： 已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠DOE是圆O的圆心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，连接BF、CF、DG、EG，则BF＝CF，DG＝EG. 9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中， ① 在中， ② ， 由得， 即. 10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中，，即 ① 在中， ② 由得 ，即. 11. 【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则. 证明：平分，平分，， 在中，，即 ① ， ② 由①＝②，得， 在中，， ，， 即， 由④可得，代入③式可得， 整理可得. 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解） 模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一 模型2：内角平分线+外角平分线模型 如图二 模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、 飞镖模型内角关系模型： 图四 2、 飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型： 图五 例题分析 类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 解：（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．如图，在△ABC中，．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2014，得∠A2014 ．如果∠A＝n度，则∠A2014＝___________度．（直接用含n的代数式表示） 【答案】 解：由∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC可得∠A=∠ACD –∠ABC，∠A1=∠A1CD –∠A1BC；又因∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，所以，∠A1=∠A1CD –∠A1BC=∠ACD—∠ABC=（∠ACD—∠ABC），即可得到∠A1=∠A.同理可得∠A2=∠A1=×∠A……∠An=∠A.所以∠A2014=∠A== 考点：三角形内角和定理；三角形外角的性质. 类型三、 外角平分线+外角平分线模型 3．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： (1)若∠A＝60°，则∠P＝　 　°； (2)若∠A＝40°，则∠P＝　 　°； (3)若∠A＝100°，则∠P＝　 　°； (4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系　 　． 【答案】(1)65；(2)45；(3)40； (4)∠P=90°-∠A，理由见解析. 解：试题分析：（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数； （2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠A与∠P的关系． 考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质． 点评：本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义． 类型四、 飞镖内角平分线+内角平分线模型 4．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 解：连接 平分，平分， 故选： 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 巩固提高 一、单选题 1．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 3．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①和都是等腰三角形 ②； ③； ④若，则． 其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号）    6．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 7．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 8．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 9．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 10．如图，的角平分线、相交于点，，则 ． 11．如图，在中，，的平分线与的平分线交于，得，则 ．的平分线与的平分交于点，得,,的平分线与的平分线交于点，得，则 ． 三、解答题 12．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 13．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 14．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 15．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 16．如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 17．如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 18．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16 (1)求C点坐标； (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数； (3)如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 19．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 20．已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题： （1）如图（1），求证：OB∥AC． （2）如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数． （3）在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB∶∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值． 21．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示） 22．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求： ①∠CAE的度数； ②∠DAE的度数． （2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数． （3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由． 23．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小． （2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC． 24．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 25．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 26．如图，已知、的平分线相交于点，过点且．    （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 27．已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 28．（1）问题发现： 如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______ （2）类比探究： 如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由． （3）类比延伸： 如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．    29．如图，的角平分线相交于点． （1）若，则________； （2）试探究与之间的数量关系并说明理由． 30．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形． （1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形； （2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　． （3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 《巩固提高》参考答案 题号 1 2 3 4 答案 A C C B 1．A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 3．C 【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线， ∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC， ∴DB=DF，EF=EC， ∴△BDF和△CEF都是等腰三角形， ∴①选项正确，符合题意； ②∵DE=DF+FE， ∴DB=DF，EF=EC， ∴DE=DB+CE， ∴②选项正确，符合题意； ③根据题意不能得出BF＞CF， ∴④选项不正确，不符合题意； ④∵若∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°， ∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF， ∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°， ∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°， ∴④选项正确，符合题意； 故①②④正确． 故选C 【点睛】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案． 4．B 【分析】由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数． 【详解】 ∵， ∴+=110°， ∵为与的平分线， ∴，， ∴+=110÷2=55°， ∴=180°－55°=125°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键． 5．①④ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 6． 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 7． 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=α． ∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 8．105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 9． 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 10．． 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【详解】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∵∠A=40°， ∴∠OBC+∠OCB= =70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-70° =110°． 故答案是110． 【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键． 11． 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=；由于，，…，以此类推可知，． 【详解】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD ∴， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴ 以此类推 故答案为： ； 【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出，并能找出规律． 12．（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 13．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【详解】（1）的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线，    （2）如图2，延长、交于点．    ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； （3）∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ②（舍去） ③ ④（舍去） 或．    14．(1)见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题． （2）延长交于点．证明，可得，，由，可得． （3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）解：延长交于点． ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． （3）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 15．(1)见解析 (2)6 (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由交点有点，再分类确定即可得到答案； （3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）交点有点， 以为交点的8字形有1个，为与， 以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与， 以为交点的8字形有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个． 故答案为：6； （3）由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （4）关系：． 理由：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①＋②，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． 16．(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm ∴1＜BC＜7 ∴BC=6 cm ∴三角形的周长为： C△ABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×135° =67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−67.5° =112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×(180°− x°) =90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−(90°−x°) =90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 17．(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【详解】（1）， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （2），， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 18．(1) (2) (3)不变化， 【分析】（1）由点，的坐标求出和的长，根据梯形面积公式，从而求得的长，进而求得点坐标； （2）可设，从而表示出，，，进而表示出，，进而根据三角形内角和定理得出结果； （3）连接，并延长至，根据三角形内角和定理推论，可得出，根据三角形内角和定理推出，进而得出，再根据三角形内角和求得结果． 【详解】（1）解：由题意得：，， 由得， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， ， 平分， ， ， 在中， ； （3）解：如图， 点在运动过程中，的大小不变化，理由如下： 连接，并延长至， 是的外角， ， 同理可得， ， ， 即， 轴，， ，， ，， ， ， ， 平分，平分； ，， ， ， ， ， 即原． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和线段长之间关系，角平分线的定义，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识． 19．（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50° 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答． 【详解】解：（1）∵∠MON=60°， ∴∠BAO+∠ABO=120°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°， 故答案为：60°； （2）∵∠MON=n°， ∴∠BAO+∠ABO=180°-n°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°； （3）∵CF∥OA， ∴∠ACF=∠CAG， ∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG， 由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°． ∴∠BGO-∠ACF=50°． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）40°；（3）不发生变化， 【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明； （2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA，算出结果； （3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证． 【详解】解：（1）∵BC∥OA， ∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A， ∴∠A+∠O=180°， ∴OB∥AC； （2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°， ∴∠BOA=80°， ∵OE平分∠BOF， ∴∠BOE=∠EOF， 又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°； （3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为： ∵BC∥OA， ∴∠FCO=∠COA， 又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠FOC=∠FCO， ∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB=1：2=． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 21．（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证； （2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD． ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2）∵分别平分， 设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y， 则有， ∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC， ∴； （3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3， ∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3）， ∠P+∠1=∠ABC+∠4， ∴2∠P=∠ABC+∠ADC， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 22．（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），见解析 【分析】（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解决问题． （2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE＝∠HAE即可． （3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 而AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°； （2）如图2中，作AH⊥BC于H． 由（1）可知∠HAE＝10°， ∵AH∥EF， ∴∠DFE＝∠HAE＝10° （3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下： 如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D． ∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C）， ∵AH∥FD， ∴∠DFE＝∠HAE， ∴∠DFE＝（β-α）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 23．（1）33°；（2）123° 【分析】（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数． （2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数． 【详解】解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图： ∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线， ∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b， ∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角， ∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM， 即：∠M+b=24°+a①， 又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角， 可得∠M+a=42°+b②， ①式＋②式得2∠M=24°+42°， 解得：∠M=33°， ∴． （2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图: ∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线， ∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n， ∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角， ∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD， 即：24°+(180°-2m）=42°+2n， 可得m+n=81°①， 又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角， 可得∠N+n=24°+(180°-m）， 得∠N=204°-（m+n）②， ①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键． 24．（1）120°；（2） 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可； （2）方法同（1） 【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°， ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°； （2） 证明：在四边形ABCD中， ∴ ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∴ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角． 25．（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； （3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC， ∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC， ∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC， ∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC， ∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF， ∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°， ∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α， ∴∠D=α， ∵∠DBE=90°， ∴∠E=90°-α； （3）如图， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， ∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC， ∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β． 故答案为：β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 26．（1）125°  （2）60°；40° 【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解； 【详解】解：（1）∵和的平分线与相交于点， ∴，， 又，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵和的平分线与相交于点， ∴，． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 27．（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解； （2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF； （3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF． 【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°； （2）DE⊥BF 延长DE交BF于点G ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵∠ABC+∠MBC=180° ∴∠ADC=∠MBC ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC ∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC ∴∠EDC=∠EBG ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG ∴∠EGB=∠C=90° ∴DE⊥BF （3）DE∥BF 连接BD ∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC ∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC ∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC ∴∠MBC+∠NDC=180° ∴∠EDC+∠FBC=90° ∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90° ∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180° ∴DE∥BF． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 28．（1）110°；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答； （3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵和的平分线交于， ∴，， ∴ 故答案为110° （2）， 证明：∵是的外角， 是的外角， ∴ ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由（1）得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键． 29．（1）60；（2），见解析． 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可． 【详解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∴∠A=180°-50°-70°=60°． 故答案为60． （２）∠DPC=90°-∠A ， 理由：的平分线相交于点，， ， ∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A． 故答案为：90°-∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． 30．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36° 【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案， （2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答， （3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可． 【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°， ∴∠A＝2∠C， ∴△ABC为2倍角三角形， 故答案为：2； （2）∵最小内角为α， ∴3倍角为3α， 由题意可得： 3α＜90°，且180°﹣4α＜90°， ∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°． 故答案为22.5°＜α＜30°． （3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴∠E＝×90°或×90°， ∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ， ∴∠E＝∠ABO， ∴∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $