精品解析：陕西西安市铁一中学曲江校区2025-2026学年下学期中考二模数学试题

2025-2026-2九年级数学 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（ ） A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，与运算结果相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C和D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 分解因式：___________. 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 11. 小霞原有存款元，小明原有存款元，从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，则至少经过______个月小霞的存款超过小明． 12. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 13. 如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ___________________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE. 求证：BD＝CE. 19. 钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 20. “唐小西”是西安博物院推出的官方卡通形象，展示了一位大唐少女的活泼可爱与自信十足．小铭和小泽第一次来到西安博物院就深深地被其造型所吸引，他们来到“唐小西”的盲盒柜台前，工作人员告诉他还剩余有如图所示的贪吃、看书、弹阮、射箭造型的“唐小西”各1个，分别装在4个外形和包装一致的盲盒中．（贪吃、看书、弹阮、射箭分别用A、B、C、D表示）． （1）小泽购买一个盲盒里面正好为贪吃造型的“唐小西”的概率为______； （2）求小铭和小泽分别购买1个盲盒里面正好为看书、射箭造型的“唐小西”的概率． 21. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，老师组织全班同学开展了测量物体高度的实践活动．小明所在的小组为测量学校教学楼的高度经讨论之后，他们准备以学校的旗杆为参照物进行测量，教学楼和旗杆底部均不可到达．如图，教学楼AB与旗杆CD的底部B，D在同一平面上，经查阅有关资料得知教学楼和旗杆之间的距离BD长为70米，旗杆CD高度为11.5米．经过分析，他们设计了以下测量方案：小明站在MN处，标杆立在EF处，点B、N、F、D共线，此时小明的眼睛M点、标杆的顶部E点和旗杆的顶部C点在一条直线上，然后，小明原地转身180°后，利用自制的测倾器测得教学楼的顶部A的仰角为40°．已知：AB⊥BD，MN⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，测得MN＝1.5米，EF＝2米，FN＝2米，利用以上测量数据求教学楼AB的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 22. 物理操作实验考试中，小亮抽到的是“探究凸透镜成像规律”实验．勤奋好学的小亮利用蜡烛、凸透镜、光屏在动手操作、反复实验的过程中，不仅熟练地掌握了凸透镜的成像规律，他还惊喜地发现：蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度与燃烧时间之间呈一次函数关系．已知蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度；蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度． （1）求y关于t的函数关系式； （2）若晚上点亮一根完整的蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，一直燃至晚上时蜡烛燃烧了一半，问期间蜡烛熄灭了多长时间？ 23. 《出师表》是初中语文经典的核心篇目．为了解学生对其掌握情况，某教育集团从甲、乙两校区各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲校区20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如下： 甲校学生样本成绩频数分布表（表1） 成绩m（分） 频数（人数） 频率 a 0.05 b c 3 0.15 8 0.40 6 0.30 合计 20 1.0 b．甲校区学生成绩在的这一组的具体数据是：87 88 88 88 89 89 89 89 c．甲、乙两校区学生成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示（表2）： 学校 平均分 中位数 众数 方差 甲 84 n 89 129.7 乙 84.2 85 85 138.6 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表1中______，表2中______，并补全甲校区学生样本成绩频数分布直方图； （2）在此次测试中，某学生的成绩是87分，在他所属校区抽取的学生中排在前10名，由表中数据可知该学生是______校区的学生（填“甲”或“乙”），理由是______； （3）假设甲校区1600名学生都参加此次测试，若成绩80分及以上为优秀，估计甲校成绩优秀的学生人数． 24. 如图，点A为外一点，过点A作切线与相切于点P，连接并延长交于点B，连接交于点C，连接交于点D，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 【项目式学习】项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】 电动自行车约的火灾是在充电时发生．由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．某单位考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 【模型构建】 如图①，已知该单位的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，设计人员以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，将消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． 【问题解决】 （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车的电池离地高度为0.2米，设计人员想在喷淋头M的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请求出喷淋头N距离喷淋头M至少多少米． 26. 探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题 （1）问题提出 如图①，在中，，，已知的半径为1，且与两直角边相切，点E是圆上一点，则的最小值为______． （2）问题探究 如图②，在中，，，以点A为圆心，长为半径作圆，点M是圆上一动点，点N是的中点，当点M运动一周时，求点N的运动轨迹长． （3）问题解决 如图③，某景区内的人工湖由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，该景区计划对人工湖进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建石桥，并在中点F处修建一个湖心亭，沿修建玻璃吊桥，由于玻璃吊桥造价高达5000元/米，为了控制成本，景区要求玻璃吊桥的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造玻璃吊桥的最低费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2九年级数学 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 2. 下图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（ ） A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面展开图可知该几何体是棱锥． 【详解】解：由图可知展开图侧面是三角形，所以该几何体是棱锥， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体展开图的认识，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键． 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4. 下列运算中，与运算结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式计算原式和各选项结果，然后对比即可得到答案． 【详解】解：先计算原式结果： 、，与原式相同，符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意； 、，与原式结果不同，不符合题意． 5. 如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C和D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则．根据折叠的性质可得．通过角度转换证明，利用相似三角形周长比等于相似比，结合将周长转化为已知线段之和，即可求出的值． 【详解】解：设， 为等边三角形， ． 由折叠的性质可知：．  ，， ，， ． 又， ．  与的相似比等于其周长之比．  的周长，  的周长，  ．  ，  ． 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，求出交点坐标，再根据第三象限点的特征进行计算即可． 【详解】解：联立方程组， 解得：， 交点在第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 7. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，再结合得到，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴． 8. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 正边形的一个外角为， 的值为． 故答案为：12． 11. 小霞原有存款元，小明原有存款元，从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，则至少经过______个月小霞的存款超过小明． 【答案】 【解析】 【分析】经过个月小霞的存款超过小明，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】解：经过个月小霞的存款超过小明， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴至少经过个月小霞的存款超过小明． 12. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 13. 如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．先证明得到点E在以为直径的半圆上移动，再作点D关于直线的对应点是F，即可得，求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接，则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂、乘方化简，再进行加减运算 【详解】解：原式 = = 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先因式分解，再算括号，最后计算除法，化简后代入求值即可． 【详解】原式 当时， 原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 16. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】的值为或． 【解析】 【分析】先根据根的判别式确定根的情况，然后通过，，代入得，再求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴无论取何值时，方程有两个不相等实数根， ∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点A作直线的垂线，则，那么，此时，则，故． 【详解】解：如图，点D即为所求； 18. 如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE. 求证：BD＝CE. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答 【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD. 又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴BD＝CE. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于判定三角形全等 19. 钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键． 设黑色琴键x个，则白色琴键个，可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个， 由题意得：， 解得：， ∴白色琴键：（个）， 答：白色琴键52个，黑色琴键36个． 20. “唐小西”是西安博物院推出的官方卡通形象，展示了一位大唐少女的活泼可爱与自信十足．小铭和小泽第一次来到西安博物院就深深地被其造型所吸引，他们来到“唐小西”的盲盒柜台前，工作人员告诉他还剩余有如图所示的贪吃、看书、弹阮、射箭造型的“唐小西”各1个，分别装在4个外形和包装一致的盲盒中．（贪吃、看书、弹阮、射箭分别用A、B、C、D表示）． （1）小泽购买一个盲盒里面正好为贪吃造型的“唐小西”的概率为______； （2）求小铭和小泽分别购买1个盲盒里面正好为看书、射箭造型的“唐小西”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵贪吃、看书、弹阮、射箭造型的“唐小西”各1个， ∴小泽购买一个盲盒里面正好为贪吃造型的“唐小西”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中小铭和小泽分别购买1个盲盒里面正好为看书、射箭造型的“唐小西”的情况有2种， ∴小铭和小泽分别购买1个盲盒里面正好为看书、射箭造型的“唐小西”的概率为． 21. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，老师组织全班同学开展了测量物体高度的实践活动．小明所在的小组为测量学校教学楼的高度经讨论之后，他们准备以学校的旗杆为参照物进行测量，教学楼和旗杆底部均不可到达．如图，教学楼AB与旗杆CD的底部B，D在同一平面上，经查阅有关资料得知教学楼和旗杆之间的距离BD长为70米，旗杆CD高度为11.5米．经过分析，他们设计了以下测量方案：小明站在MN处，标杆立在EF处，点B、N、F、D共线，此时小明的眼睛M点、标杆的顶部E点和旗杆的顶部C点在一条直线上，然后，小明原地转身180°后，利用自制的测倾器测得教学楼的顶部A的仰角为40°．已知：AB⊥BD，MN⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，测得MN＝1.5米，EF＝2米，FN＝2米，利用以上测量数据求教学楼AB的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【答案】26.7米 【解析】 【分析】作MH⊥AB于H，延长HM交EF于J，交CD于K．则BH＝MN＝JF＝DK＝1.5米，MJ＝FN＝2米，EJ＝EJ−JF＝0.5米，CK＝CD−DK＝10米．由EJ//CK证得△MEJ∽△MCK求出MK，再在Rt△AHM中，求出AH即可． 【详解】解：作MH⊥AB于H，延长HM交EF于J，交CD于K．则BH＝MN＝JF＝DK＝1.5米，MJ＝FN＝2米，EJ＝EJ−JF＝0.5米，CK＝CD−DK＝10米． ∵EJ//CK， ∴△MEJ∽△MCK ∴， ∴， ∴MK＝40（米）， ∵BD＝70米．DN＝MK＝40米， ∴BN＝HM＝30米， 在Rt△AHM中，AH＝HM•tan40°＝30×0.84＝25.2（米）， ∴AB＝AH＋BH＝25.2＋1.5＝26.7（米）． 答：教学楼AB的高度为26.7米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 物理操作实验考试中，小亮抽到的是“探究凸透镜成像规律”实验．勤奋好学的小亮利用蜡烛、凸透镜、光屏在动手操作、反复实验的过程中，不仅熟练地掌握了凸透镜的成像规律，他还惊喜地发现：蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度与燃烧时间之间呈一次函数关系．已知蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度；蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度． （1）求y关于t的函数关系式； （2）若晚上点亮一根完整的蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，一直燃至晚上时蜡烛燃烧了一半，问期间蜡烛熄灭了多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设y关于t的函数关系式为，根据题意，代入函数解析式即可求解； （2）根据题意得出一根完整的蜡烛长，确定燃烧了一半的时间为，即可求解． 【小问1详解】 解：设y关于t的函数关系式为， 将、代入得： ，解得， ∴y关于t的函数关系式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴一根完整的蜡烛长， 蜡烛燃烧一半时，， 令， 解得， ， ， 答：期间蜡烛熄灭了． 23. 《出师表》是初中语文经典的核心篇目．为了解学生对其掌握情况，某教育集团从甲、乙两校区各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲校区20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如下： 甲校学生样本成绩频数分布表（表1） 成绩m（分） 频数（人数） 频率 a 0.05 b c 3 0.15 8 0.40 6 0.30 合计 20 1.0 b．甲校区学生成绩在的这一组的具体数据是：87 88 88 88 89 89 89 89 c．甲、乙两校区学生成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示（表2）： 学校 平均分 中位数 众数 方差 甲 84 n 89 129.7 乙 84.2 85 85 138.6 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表1中______，表2中______，并补全甲校区学生样本成绩频数分布直方图； （2）在此次测试中，某学生的成绩是87分，在他所属校区抽取的学生中排在前10名，由表中数据可知该学生是______校区的学生（填“甲”或“乙”），理由是______； （3）假设甲校区1600名学生都参加此次测试，若成绩80分及以上为优秀，估计甲校成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）， （2）乙；乙的中位数是85， （3）人 【解析】 【分析】（1）由总数乘以频率即可求解；再由中位数的定义求解； （2）根据这名学生的成绩为87分，小于甲校样本数据的中位数88.5分，大于乙校样本数据的中位数85分可得； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：； 甲组的人数为：， 可知中位数为第、人成绩的平均数， 由频数分布直方图可得，中位数落在这一组， 前三组的人数为（人）， 甲校区学生成绩在的这一组的具体数据是：87 88 88 88 89 89 89 89， ∴第、人的成绩为， ∴中位数； 补全甲校区学生样本成绩频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：在此次测试中，某学生的成绩是87分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是乙校的学生， 理由：乙的中位数是85，； 【小问3详解】 解：（人） 答：甲校成绩优秀的学生人数为人． 24. 如图，点A为外一点，过点A作切线与相切于点P，连接并延长交于点B，连接交于点C，连接交于点D，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线的性质得到，结合，根据等角的余角相等进行证明即可； （2）连接，得到为等边三角形，则．设的半径为x，则，，那么．再证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵与相切于点P， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如解图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． 设的半径为x，则， 在中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 25. 【项目式学习】项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】 电动自行车约的火灾是在充电时发生．由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．某单位考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 【模型构建】 如图①，已知该单位的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，设计人员以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，将消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． 【问题解决】 （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车的电池离地高度为0.2米，设计人员想在喷淋头M的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请求出喷淋头N距离喷淋头M至少多少米． 【答案】（1） （2）喷淋头距离喷淋头至少米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设喷淋头距离喷淋头至少米，顶点为的抛物线解析式为：，把代入得出，求出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：​， ∴ 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设喷淋头距离喷淋头至少米， 根据题意得：点的坐标为，则顶点为的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或​​， ∴喷淋头距离喷淋头至少米． 26. 探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题 （1）问题提出 如图①，在中，，，已知的半径为1，且与两直角边相切，点E是圆上一点，则的最小值为______． （2）问题探究 如图②，在中，，，以点A为圆心，长为半径作圆，点M是圆上一动点，点N是的中点，当点M运动一周时，求点N的运动轨迹长． （3）问题解决 如图③，某景区内的人工湖由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，该景区计划对人工湖进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建石桥，并在中点F处修建一个湖心亭，沿修建玻璃吊桥，由于玻璃吊桥造价高达5000元/米，为了控制成本，景区要求玻璃吊桥的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造玻璃吊桥的最低费用． 【答案】（1） （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）连接，交于点E，即为最小值，过点O作于点D，过点O作于点F，则四边形是正方形，由勾股定理求出，再由即可求解； （2）连接，取的中点D，连接，根据三角形的中位线定理得，点N的运动轨迹是以D为圆心，为半径的圆，即可解答； （3）连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值，根据勾股定理计算，再求，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点E，即为最小值，过点O作于点D，过点O作于点F， ∵，， ∴四边形是正方形， ∵的半径为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问2详解】 解：如图，连接，取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵点N是的中点，点D是的中点， ∴是的中位线， ∴（三角形中位线定理）， ∴点N的运动轨迹是以D为圆心，为半径的圆， ∴当点M运动一周时，求点N的运动轨迹长为：； 【小问3详解】 解：∵米，，， ∴， ∴米， ∴米， 如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，   ∵点E在以为直径的半圆上， ∴， ∵中点为M，中点为F，中点为N， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，米， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的左侧半圆上， 取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ∵米，中点为O，，，中点为N， ∴米，米，米， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 又∵米， ∴米， ∴的最小值为米， ∵玻璃吊桥造价高达5000元/米， （元）， ∴建造玻璃吊桥的最低费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $