精品解析：江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025—2026学年江科附中高一（下）4月月考 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得（）， 化简得（）. 即. 在集合的元素中，属于整数的元素为， 因此. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，，则， 所以， 则. 故选：B 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 4. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：A. 5. 函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用交点求出，利用正弦型函数减区间的求法即可得减区间. 【详解】因为在上，所以； 把代入可得, 所以或， 即或， 因为，所以，即， 令，解得； 当时，减区间为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 7. 已知函数单调递增，记，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，得 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 所以 ， 又因为函数 在区间 上单调递增，所以 . 8. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，利用图象平移规律求出得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由得即， 因为，所以，可得， 将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则， 解得，又因为对，在上都不单调， 所以，解得， 综上，. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数图像的对称中心为 B. 函数的图像与函数的图象关于对称 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，直接求出的对称中心，即可求解；对B，根据条件可得，即可求解；对C，利用正弦的和角公式及余弦函数的性质，即可求解；对D，利用和化差积公式得到，再结合条件，利用余弦函数的性质得，即可求解. 【详解】对于A，因为图像的对称中心为，所以A错误； 对于B，因为，则，所以， 则函数的图像与函数的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为，又，则， 所以，故C错误， 对于D，因为， 又，则，且，所以， 则，故D正确. 11. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法求得一些特殊点的值，然后利用函数奇偶性和周期性的定义判断A,B,C即可;然后利用函数的概念和性质计算选项D即可. 【详解】令，得， 令，得，故为奇函数，所以 选项B正确，选项C错误； 令，得 令，得 所以选项A正确； 令，得 所以 令，得 因为， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：赋值法常用的赋值有，两个变量相等，其中一个变量为0或1.也需要根据题意分析得到，比如这个题中的和. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 13. 已知，则=_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，即可利用弦切互化以及齐次式求解. 【详解】由可得， ， 故答案为： 14. 已知函数的部分图象如图，，则____________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由求出，由图像得，结合求解，根据函数的对称性得，再结合求得结果. 【详解】结合题意可知，，， ∵，∴， 又由图像可知，，即，解得. 又由，即，即，， 从而，故， 令，，则， 从而的对称轴为，， 由图像可知，与关于对称，即，， 因为，即， 所以． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式计算求解； （2）先利用已知条件求出，进而求出相关角的正、余弦值，再利用两角和的正弦公式计算求解． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 为锐角， ， 又， ， ，为锐角， ， ． 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，再利用诱导公式化简和弦化切，可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，即可得解. 【小问1详解】 由题知，又，A在单位圆上， ，则，， ； 【小问2详解】 ， 由，得， 则， ，得， . 17. 若的最小值为. （1）求实数的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据最小值求出参数； （2）先由已知函数值求出，再通过三角恒等变换和诱导公式计算目标值； （3）通过换元将三角方程转化为二次方程，再根据二次方程根的分布和三角函数的值域，分类讨论的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 因为，. ， 【小问3详解】 令，则， ，，，， 则原方程可化为，整理得 即，或，因关于的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根，则有1个根， 则需，解得， 综上：的取值范围为或 . 18. 已知定义域为的函数的解析式为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）由题知，进而得，，记在上的值域为，即可将问题转化为，再根据，利用集合的包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图：    方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 【小问3详解】 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 19. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P （1）判断函数是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数具有性质P，求出和的值 （3）若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】（1） 令， 故， 则不具有性质P． （2）； （3）2个 【解析】 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． 【小问3详解】 当时， 具体如图所示 则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年江科附中高一（下）4月月考 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. 1 C. D. 5. 函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（ ）. A． B． C． D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数单调递增，记，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数图像的对称中心为 B. 函数的图像与函数的图象关于对称 C. D. 11. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 13. 已知，则=_______； 14. 已知函数的部分图象如图，，则____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. （1）若，求及的值； （2）若，求. 17. 若的最小值为. （1）求实数的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知定义域为的函数的解析式为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P （1）判断函数是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数具有性质P，求出和的值 （3）若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $