第九章 因式分解（复习讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第九章 因式分解（复习讲义） 1. 理解因式分解的定义，明确其本质是把一个多项式化成几个整式的积的形式的恒等变形； 清晰区分因式分解与整式乘法的互逆关系，能运用整式乘法检验因式分解结果的正确性； 2. 掌握因式分解的一般方法：提公因式法、运用公式法，掌握因式分解的基本顺序（一提、二套、三检查）； 3. 感悟 “因式分解”与“整式乘法”是互逆过程，领悟用逆向思维、转化、整体的数学思想方法。 知识点 重点归纳 常见易错点 因 式 分 解 的 概 念 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 1.混淆“因式分解” 与 “整式乘法”概念： 例如：把 再展开回去，以为还要继续算,这是最常犯的错误。 2.因式分解是在整式范围内进行。 易错：出现类似 这种带分式的变形，根本不是因式分解。 因 式 分 解 的 方 法 1.提公因式法： 当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因 式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式, 这种分解因式的方法叫作提公因式法. 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解 的方法叫作公式法。 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先提公因式； （2）再运用公式； （3）检查检查每个因式是否可以继续分解。 目标： 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 1.漏提系数的最大公因数 如分解，只写成 ，没把系数2提出来。 概念误区：认为 “只要有因式就行”，不理解公因式要提尽。 2.当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为公因式的符号进行因式分解. 3.把和的形式”强行拆成积,如 不能分解，学生却乱写成或， 4. 分解后不整理，不符合 “最简形式”. 5.因式分解结束后，忘记检查是否分解彻底。 题型一 根据因式分解概念判断是否为因式分解 【例1】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【变式1-1】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据因式分解的结果求参数的值 【例2】多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【变式2-2】若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 题型三 公因式的概念 【例3】多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 题型四 找出多项式各项的最大公因式 【例4】多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 【变式4-2】多项式中各项的最大公因式是______． 题型五 利用提公因式法因式分解 【例5】因式分解： (1)； (2)． 【变式5-1】因式分解． (1) (2) 【变式5-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 判断能否利用公式法分解因式 【例6】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 题型七 运用平方差公式分解因式 【例6】下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】因式分解：_______． 【变式6-2】因式分解：______ 题型八 运用完全平方公式分解因式 【例6】因式分解：______． 【变式6-1】因式分解：__________． 【变式6-2】因式分解：____________． 题型九 综合运用公式法分解因式 【例6】分解因式： 【变式6-1】分解因式：． 【变式6-2】分解因式：． 题型十 综合运用提公因式法和公式法分解因式 【例6】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-1】把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【变式6-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 利用因式分解求代数式的值 【例6】已知，，则的值为______． 【变式6-1】已知：，，则______． 【变式6-2】若，，则__________． 题型十二 利用因式分解判断三角形的形状 【例6】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式6-1】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【变式6-2】已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 题型十三 关于因式分解的材料阅读问题 【例6】对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：．请分解因式：． 【变式6-1】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【变式6-2】仔细阅读下面的例题，解答问题． 例题：已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， ， 则， ， 解得 问题：仿照以上方法解答下面的问题： (1)已知二次三项式因式分解后一个因式为，求另一个因式及的值； (2)已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 5．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 6．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 8．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 9．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 10．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 二、填空题 11．因式分解____． 12．因式分解：______． 13．分解因式：______． 14．分解因式：_______． 15．分解因式：______． 16．若实数，满足，，则_______． 三、解答题 17．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 20．利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C． D． 7．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 8．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 9．词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（    ） A．乌江夜 B．啼西月 C．西江月 D．乌夜啼 10．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 二、填空题 11．若，则____________． 12．已知，，则的值为___________． 13．已知，则________． 14．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 15．若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 16．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 三、解答题 17．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 19．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 20．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解（复习讲义） 1. 理解因式分解的定义，明确其本质是把一个多项式化成几个整式的积的形式的恒等变形； 清晰区分因式分解与整式乘法的互逆关系，能运用整式乘法检验因式分解结果的正确性； 2. 掌握因式分解的一般方法：提公因式法、运用公式法，掌握因式分解的基本顺序（一提、二套、三检查）； 3. 感悟 “因式分解”与“整式乘法”是互逆过程，领悟用逆向思维、转化、整体的数学思想方法。 知识点 重点归纳 常见易错点 因 式 分 解 的 概 念 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 1.混淆“因式分解” 与 “整式乘法”概念： 例如：把 再展开回去，以为还要继续算,这是最常犯的错误。 2.因式分解是在整式范围内进行。 易错：出现类似 这种带分式的变形，根本不是因式分解。 因 式 分 解 的 方 法 1.提公因式法： 当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因 式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式, 这种分解因式的方法叫作提公因式法. 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解 的方法叫作公式法。 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先提公因式； （2）再运用公式； （3）检查检查每个因式是否可以继续分解。 目标： 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 1.漏提系数的最大公因数 如分解，只写成 ，没把系数2提出来。 概念误区：认为 “只要有因式就行”，不理解公因式要提尽。 2.当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为公因式的符号进行因式分解. 3.把和的形式”强行拆成积,如 不能分解，学生却乱写成或， 4. 分解后不整理，不符合 “最简形式”. 5.因式分解结束后，忘记检查是否分解彻底。 题型一 根据因式分解概念判断是否为因式分解 【例1】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 【变式1-1】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， B．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意， D．右边的不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 【变式1-2】下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形后左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解； C、等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属于因式分解； D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解； 题型二 根据因式分解的结果求参数的值 【例2】多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 【变式2-1】若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 【变式2-2】若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键．展开因式分解后的表达式，与原二次三项式对比系数，求出k和b，再计算的2025次幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 题型三 公因式的概念 【例3】多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 【变式3-1】把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 【变式3-2】（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 题型四 找出多项式各项的最大公因式 【例4】多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 【变式4-1】多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：（1）最大公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，多项式的最大公因式是， 故选：D． 【变式4-2】多项式中各项的最大公因式是______． 【答案】 【分析】根据公因式中系数是各系数的最大公约数，相同字母的最低次幂的积，解答即可． 本题考查了提取公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 故答案为：． 题型五 利用提公因式法因式分解 【例5】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5-1】因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式5-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 判断能否利用公式法分解因式 【例6】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 【变式6-1】下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解． 【详解】解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解； ∵B选项，符合平方差公式，可因式分解； ∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解； ∵D选项，提公因式x即可因式分解； 故选：C． 【变式6-2】下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 题型七 运用平方差公式分解因式 【例6】下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 【变式6-1】因式分解：_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 【变式6-2】因式分解：______ 【答案】 【详解】解：． 题型八 运用完全平方公式分解因式 【例6】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-1】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．熟悉根据完全平方公式进行因式分解，是解题的关键．可以将看作一个整体，根据完全平方公式将原式转化为即可． 【详解】解：， ， ． 【变式6-2】因式分解：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的公式法是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型九 综合运用公式法分解因式 【例6】分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 【变式6-1】分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 【变式6-2】分解因式：． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式进行因式分解，最后再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： 题型十 综合运用提公因式法和公式法分解因式 【例6】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式6-1】把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 【变式6-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 题型十一 利用因式分解求代数式的值 【例6】已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式6-1】已知：，，则______． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后用完全平方公式分解因式，将数据代入求出结果即可． 【详解】解： ， 因为， 原式 故答案为： 【变式6-2】若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十二 利用因式分解判断三角形的形状 【例6】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式6-1】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【变式6-2】已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)的形状是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理，等边三角形的判定． （1）整理后得到，根据平方的非负性得到且，则，即为等边三角形； （2）整理后得到，分情况判断即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 且， ，即为等边三角形； （2）解：， ， ， ， 即或， 当即时，是直角三角形 当即时，是等腰三角形 综上所述：的形状是等腰三角形或直角三角形． 题型十三 关于因式分解的材料阅读问题 【例6】对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：．请分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式加1再减去1，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 【变式6-2】仔细阅读下面的例题，解答问题． 例题：已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， ， 则， ， 解得 问题：仿照以上方法解答下面的问题： (1)已知二次三项式因式分解后一个因式为，求另一个因式及的值； (2)已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设二次三项式因式分解后的另一个因式为，根据题意得到，进而求出、的值即可； （2）设二次三项式因式分解后的另一个因式是，根据题意得到，进而求出、的值即可． 【详解】（1）设二次三项式因式分解后的另一个因式为， 则， 即， 故， 解得 即二次三项式因式分解后的另一个因式为，． （2）设二次三项式因式分解后的另一个因式是， 则， 即， 故， 解得， 所以二次三项式因式分解后的另一个因式为，． 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 3．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 4．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 5．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 6．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 7．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键． 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可． 【详解】解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意；； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意． 故选D． 8．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 9．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 10．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ∵对应我，对应爱,对应德,对应州， ∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州． 二、填空题 11．因式分解____． 【答案】 【分析】直接提取公因式分解因式即可. 【详解】解：． 12．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 13．分解因式：______． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 14．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 15．分解因式：______． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 16．若实数，满足，，则_______． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 三、解答题 17．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式，即可得到答案； （2）直接利用平方差公式分解因式即可得到答案； （3）首先提取，再利用完全平方公式分解因式可得答案； （4）利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 20．利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 2．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 3．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 4．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件，将表达式进行因式分解和代入求值． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 6．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 7．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 8．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 9．词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（    ） A．乌江夜 B．啼西月 C．西江月 D．乌夜啼 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 将给定的多项式因式分解，得到 ，然后根据每个因式对应的字组合成词牌名． 【详解】解：∵ ， ∴对应“乌”，对应“夜”，对应“啼”， ∴结果呈现的词牌名为“乌夜啼”， 故选：D． 10．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 【详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 二、填空题 11．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 12．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可. 【详解】解： ，， 可得：原式． 13．已知，则________． 【答案】 【分析】先根据平方差公式因式分解，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 14．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 15．若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 16．甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 三、解答题 17．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据提取公因式，完全平方公式以及平方差公式，使用合适的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 19．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 20．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $