专题05 因式分解全章12种题型（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题04 因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解的意义 题型02 用提公因式法分解因式 题型03 用平方差法分解因式 题型04 用平方差法分解因式 题型05 用完全平方公式分解因式 题型06 用完全平方公式分解因式 题型07 利用因式分解进行简便计算 题型08 利用因式分解求值 题型09 利用因式分解判断三角形的形状 题型10利用因式分解求最值 题型11 因式分解在新定义问题中的应用 题型12 因式分解在阅读理解的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的 定义辨析 1. 明确因式分解的定义：把多项式化成几个整式积的形式；2. 区分因式分解与整式乘法，二者是互逆运算；3. 掌握因式分解的结果规范，必须是整式乘积. 选择题、填空题基础考点，分值2-3分，易错混淆因式分解和整式乘法，判断正误类题型常考. 提公因式法 分解因式 1. 会找多项式各项的公因式（系数最大公约数、相同字母最低次幂）；2. 熟练提取公因式，注意符号、常数项和余式；3. 分解彻底，提取后余式无公因式. 期中必考基础计算，填空、解答均考查，分值4-6分，所有因式分解题型的第一步，易错漏提公因式、符号出错. 平方差公式法 分解因式 1. 熟记平方差公式：，；2. 识别平方差结构（两项、异号、可写成平方形式）；3. 先提公因式，再用公式，分解彻底. 公式法核心考点，填空、解答高频考查，分值4-6分，常和提公因式综合，易错忽略符号、变形错误. 完全平方公式法分解因式 1. 熟记完全平方公式：2. 识别完全平方式结构（三项、首尾平方、中间倍积）；3. 区分和、差两种形式，规范书写. 期中重点考点，分值6-8分，中档计算题，易错混淆完全平方和与差，漏看系数倍数. 因式分解 综合应用 1. 掌握“先提公因式，再用公式”的综合步骤；2. 能进行化简求值、简便运算；3. 保证分解彻底，无公因式、无可用公式剩余. 解答大题必考，分值8-10分，期中计算压轴基础题，失分多因分解不彻底、步骤出错. 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 判断是否为因式分解，抓住两点：①左边是多项式，右边是整式乘积；②与整式乘法互逆，结果不能有加减，必须分解彻底。 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，右边为和的形式，不是因式分解； B：，右边为展开式，是整式乘法； C：，右边为乘积形式，是因式分解； D：，右边为展开式，是整式乘法． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；因式分解是将多项式分解为几个整式的积的形式，由此可排除选项． 【详解】解：∵因式分解是将多项式变形为整式的积； A中左边是积，右边是多项式，为乘法运算，不是因式分解； C中右边含有分式，不是整式，因此不是整式的积； D中右边是乘积与常数的和，不是积的形式； ∴只有B中是将多项式变形为整式的积，属于因式分解； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，该选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，该选项不符合题意； C、是因式分解，该选项符合题意； D、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 三步走找准公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，整体多项式也可作为公因式；首项为负时，记得把负号一并纳入公因式。 【典例1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）多项式的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式为系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，求解即可． 【详解】解：多项式的公因式为； 故选A． 【点睛】本题考查公因式．熟练掌握公因式是系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 【变式2】式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： ；， 式子与的公因式是， 故选：A． 【变式3】多项式分解因式时所提取的公因式是_________． 【答案】 【分析】根据确定多项式中各项的公因式的方法确定公因式即可． 【详解】解：由题意可知： 多项式分解因式时所提取的公因式是． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式中各项的公因式的方法解题的关键是掌握确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 用多项式每一项除以公因式，得到剩余因式；首项负则先提负号，括号内各项全部变号；提取后检查余式，确保无公因式可提，才算分解完成。 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法因式分解； （1）直接提取公因式进行因式分解； （2）先变形，再提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）； （2）． 【变式2】分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 题型四 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式后括号内有同类项要合并，相同因式写成幂的形式，避免括号内有可合并项，保证结果最简规范。 【典例1】下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 【变式1】（2024·河南郑州·一模）对任意整数，都能（  ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】∵， ∴故一定能被4整除， 故选B． 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型五 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 认准结构——两项、异号、能写成平方形式，套用公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，先把各项化为平方形式再套公式，不跳步。 【典例1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，进行因式分解的方法即可求解． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 、，用完全平方公式分解因式，符合题意； 、，运用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查运用乘法公式进行因式分解，掌握完全平方公式因式分解是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】因式分解． (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 题型六 因式分解方法的综合应用 解｜题｜技｜巧 遵循一提二套三检查：先提公因式，再用公式，最后验证是否分解彻底，不能再分解为止。 【典例1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将变形为，提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】因式分解 (1)： (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先用平方差公式因式分解，得，再用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可； （4）把看作整体用完全平方公式，得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法并正确求解是解答的关键． （1）提公因式即可求解； （2）提公因式即可求解； （3）先提公因式x，再利用平方差公式求解即可； （4）先利用完全平方公式展开并合并，然后再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）观察多项式各项的公因式，通过提取公因式进行因式分解； （2）识别多项式的形式，利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式，再观察剩余部分是否符合完全平方公式进行因式分解； （4）先将多项式看作关于某一字母的二次三项式，利用完全平方公式分解，再对分解后的部分利用平方差公式进一步分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型七 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 观察算式，提取公因数或套用公式凑整；先算括号内整数，再算外层，简化大数硬算。 【典例1】利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) 1600 (2) 4000 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型八 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 先把式子彻底分解因式，再代入数值计算；简化运算，减少计算错误，提高正确率。 【典例1】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了因式分解的运用，首先由，得到，然后利用完全平方公式得到，而，由此可以求出的值，再把提取公因式，最后代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 【变式1】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如果，，则的值是（　　） A．30 B． C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，求下列各式的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2)41 【分析】（1）直接利用因式分解将原式变形进而得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式及其变形是解题关键． 【变式3】已知，，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)60 (2)13 【分析】（1）先提公因式，然后将式子的值代入即可求解； （2）根据完全平方公式变形求值，，然后将式子的值代入即可求解； 【详解】（1）解： 当，时，原式 （2）解：∵ 又∵， ∴ 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，整体代入是解题的关键． 【变式3】阅读：已知a＋b＝﹣4，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：∵a＋b＝﹣4，ab＝3， ∴a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2＋b2的值． （2）已知（2018﹣a）（2019﹣a）＝2047，求（2018﹣a）2＋（2019﹣a）2的值． 【答案】（1）5；（2）4095 【分析】（1）利用完全平方公式，先求出 的值，再计算a2+b2的值； （2）把（2018﹣a）（2019﹣a）看成两个数的乘积，利用完全平方公式仿照例题计算得结论． 【详解】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2， ∴a2＋b2＝（a﹣b）2＋2ab＝（﹣3）2＋2×（﹣2）＝5； （2）（2018﹣a）2＋（2019﹣a）2 ＝ ＝（﹣1）2＋2（2018﹣a）（2019﹣a）， ∵（2018﹣a）（2019﹣a）＝2047， ∴原式＝1＋2×2047 ＝4095． 【点睛】此题考查整式乘法的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形，是解决本题的关键．a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab． 题型九 利用因式分解判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 对式子因式分解，结合边长为正、三边关系，推出a=b或a=b=c或直角三角形，从而判断形状。 【典例1】已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握完全平方式公式是解题的关键． 利用完全平方式变形运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：B． 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（，故，舍去） ∴， ∴此三角形的形状是等腰三角形． 故选：A． 【变式2】【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 题型十 利用因式分解求最值 解｜题｜技｜巧 将式子配方成完全平方式，利用(  )2≥0，平方项为 0 时取最值，直接写出最大 / 最小值。 【典例1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解 【小明的解答】： ① ； ② (2)根据小明与小丽的思考解决下列问题： 【小丽的思考】：代数式都大于等于，再加上，则代数式大于等于，所以有最小值为， ①试说明：代数式的最小值为． ②请仿照小明与小丽的思考求代数式的最值为（　　） A．最大值   B．最小值    C．最大值    D．最小值 【答案】(1)①；② (2)①见解析；② A 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）① 利用公式法因式分解即可；②利用公式法因式分解即可； （2）①将代数式配方即刻求解；②将代数式配方即刻求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）① ， ， ， 代数式的最小值为； ② ， ， ， 代数式的最大值为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 【变式2】（23-24八年级下·浙江金华·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）9；（4）最大值6 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）把变形为，得出，，然后进行求解即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可； （4）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； （3） ， ，是整数， ，也是整数， ∴的最小值为0，的最小值为1， ∵S的最小值为2， ∴， 解得：； （4）∵， ，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 【变式3】【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1)9 (2)4；5；2 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （3）根据配方法即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； （3）解： ， ∴． 题型十一 因式分解在新定义问题中的应用 解｜题｜技｜巧 先理解新定义规则，再按要求对多项式因式分解，结合定义条件列式求解。 【典例1】设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： A．，，故推断正确； B．，，故推断不正确； C．，，故推断不正确； D．，，故推断不正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可求出c； （2）先根据“如意数”的定义列出c的代数式，然后对等式右边因式分解，结合乘方的非负性即可证明； （3）根据“如意数”的定义构建方程，求出b即可. 【详解】解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查因式分解的应用.能根据“如意数”的定义去计算（或列式）是解决此题的先决条件，能灵活运用因式分解法因式分解是解决此题的关键.尤其在（3）中能用因式分解法将化为是解决此问的关键. 【变式2】定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析 【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”； （2）利用53=22+72即可判断； （3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可； （4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断． 【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， 故答案为：2或5或8（写一个即可）； （2）53=22+72，故53是“完美数”， 故答案为：是； （3）k=5（答案不唯一）， 理由：∵M=x2+4x+k ∴M=x2+4x+4+k-4 M=（x+2）2+k-4 则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5． （4）设m=a2+b2，n=c2+d2， 则有mn=（a2+b2）（c2+d2） =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd =（ac+bd）2+（ad-bc）2 故mn是一个“完美数”． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 【变式3】【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3)的值为13． 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“方和数”的定义即可得出答案； （2）根据“方和数”的定义和完全平方公式即可得出结论； （3）先化简，再根据“方和数”的定义得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“方和数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∴，且，2都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； ∵，且，3都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； （3）解：∴， 根据“方和数”的意义得：， 解得：， ∴的值为13． 题型十二 因式分解在阅读理解的应用 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：a＝13，k＝65． 故另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解． 【变式2】阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式配方，使代数式中有一个完全平方式：，利用完全平方公式分解因式得到：，然后再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照（1）的思路把多项式分解因式得到：，根据平方的非负性可得：，所以可知当取最小值时，代数式有最小值，从而得到的最小值； （3）首先把等式右边的部分移项到左边，得到：，然后配方得到：，利用平方的非负性分别求出、、的值，根据三角形周长公式求出的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 因为，所以， 所以多项式的最小值为； （3）解：可变为： ， 所以，，， 所以的周长． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式、平方差公式和配方法分解因式．解决本题的关键是理解阅读材料中提供的解题思路，把多项式配方得到完全平方式利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方的非负性解决问题． 【变式3】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 ． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，读懂阅读材料中的分解方法是解此题的关键． （1）设另一个因式为，从而得出，对应相等可得，，计算即可得出结果； （2）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （3）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵设另一个因式为， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得， 解得，． （3）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式转化为几个整式（单项式或多项式）的乘积形式的变形过程．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是单项式，故不是因式分解，不符合题意； B、中不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是整式的乘积，故不是因式分解，不符合题意． 故选：C ． 2．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式． 【详解】解： 多项式分解因式时，应提取的公因式 故选：D 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式分解因式的特点是解本题的关键．根据平方差公式分解因式的特点逐项分析即可． 【详解】A. 是b与a的平方差的形式，故选项正确，符合题意； B. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； C. 是a、b的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； D. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 7．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形面积公式和周长公式得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前面知识铺垫，得到，解答即可，本题考查了配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了配方法以及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解能力．观察题目，对已知条件根据完全平方公式进行整理得，结合非负数的性质可得， 从而求出x和y的值，接下来将其代入即可解答． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【答案】C 【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴a=3，b=4. 分两种情况讨论： ①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10， ②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11． 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因数，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用平方差公式分解因式即可； （4）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3，0； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解是解题的关键； （1）由可变形为，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （2）由可变形为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解． （1）将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，得到，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ，，， ，，， ∴，，， ， 故的周长为：10． 17．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1） ； 【应用结论】 （2）已知，，分别求与的值； 【变式拓展】 （3）因式分解： 【答案】（1）；（2）36；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）根据平方差公式和（1）中的公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （3） ． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 【答案】(1)C (2)能， (3) (4)或． 【分析】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握整体思想和乘法公式分解因式是解题关键． （1）由题意可直接得出结果； （2）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （3）仿照例题利用完全平方公式进行因式分解即可． （4）设，利用完全平方公式进行因式分解即可求出y的值，再将代入，再进行因式分解即可得出x的值． 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：能， 故答案为：能；； （3）解：设， ∴ （4）解：设 即， 整理得： ， ∴， ∴， 即 ∴或． 19．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 20．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解的意义 题型02 用提公因式法分解因式 题型03 用平方差法分解因式 题型04 用平方差法分解因式 题型05 用完全平方公式分解因式 题型06 用完全平方公式分解因式 题型07 利用因式分解进行简便计算 题型08 利用因式分解求值 题型09 利用因式分解判断三角形的形状 题型10利用因式分解求最值 题型11 因式分解在新定义问题中的应用 题型12 因式分解在阅读理解的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的 定义辨析 1. 明确因式分解的定义：把多项式化成几个整式积的形式；2. 区分因式分解与整式乘法，二者是互逆运算；3. 掌握因式分解的结果规范，必须是整式乘积. 选择题、填空题基础考点，分值2-3分，易错混淆因式分解和整式乘法，判断正误类题型常考. 提公因式法 分解因式 1. 会找多项式各项的公因式（系数最大公约数、相同字母最低次幂）；2. 熟练提取公因式，注意符号、常数项和余式；3. 分解彻底，提取后余式无公因式. 期中必考基础计算，填空、解答均考查，分值4-6分，所有因式分解题型的第一步，易错漏提公因式、符号出错. 平方差公式法 分解因式 1. 熟记平方差公式：，；2. 识别平方差结构（两项、异号、可写成平方形式）；3. 先提公因式，再用公式，分解彻底. 公式法核心考点，填空、解答高频考查，分值4-6分，常和提公因式综合，易错忽略符号、变形错误. 完全平方公式法分解因式 1. 熟记完全平方公式：2. 识别完全平方式结构（三项、首尾平方、中间倍积）；3. 区分和、差两种形式，规范书写. 期中重点考点，分值6-8分，中档计算题，易错混淆完全平方和与差，漏看系数倍数. 因式分解 综合应用 1. 掌握“先提公因式，再用公式”的综合步骤；2. 能进行化简求值、简便运算；3. 保证分解彻底，无公因式、无可用公式剩余. 解答大题必考，分值8-10分，期中计算压轴基础题，失分多因分解不彻底、步骤出错. 知识点01 因式分解 ◆1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点02 公因式 ◆1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ◆2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点03 提公因式法分解因式 ◆1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ◆2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点04 用平方差公式分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ◆1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ◆2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ◆4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． 知识点05 用完全平方公式分解因式 ◆1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ◆2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ◆3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ◆4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 因式分解的意义 解｜题｜技｜巧 判断是否为因式分解，抓住两点：①左边是多项式，右边是整式乘积；②与整式乘法互逆，结果不能有加减，必须分解彻底。 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 确定公因式 解｜题｜技｜巧 三步走找准公因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，整体多项式也可作为公因式；首项为负时，记得把负号一并纳入公因式。 【典例1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）多项式的公因式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】多项式分解因式时所提取的公因式是_________． 题型三 用提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 用多项式每一项除以公因式，得到剩余因式；首项负则先提负号，括号内各项全部变号；提取后检查余式，确保无公因式可提，才算分解完成。 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是______． 【变式1】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)， 【变式2】分解因式： (1) (2)． 【变式3】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 用平方差法分解因式 解｜题｜技｜巧 提公因式后括号内有同类项要合并，相同因式写成幂的形式，避免括号内有可合并项，保证结果最简规范。 【典例1】下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（2024·河南郑州·一模）对任意整数，都能（  ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【变式3】分解因式： (1)； (2)． 题型五 用完全平方公式分解因式 解｜题｜技｜巧 认准结构——两项、异号、能写成平方形式，套用公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，先把各项化为平方形式再套公式，不跳步。 【典例1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 【变式2】因式分解． (1)． (2) 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 因式分解方法的综合应用 解｜题｜技｜巧 遵循一提二套三检查：先提公因式，再用公式，最后验证是否分解彻底，不能再分解为止。 【典例1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）因式分解： (1) (2) 【变式1】因式分解 (1)： (2)； (3)； (4) 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 利用因式分解进行简便计算 解｜题｜技｜巧 观察算式，提取公因数或套用公式凑整；先算括号内整数，再算外层，简化大数硬算。 【典例1】利用因式分解计算： (1) (2) 【变式1】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）计算的值是（       ） A． B． C． D． 【变式2】用乘法公式简便计算： (1) (2) 【变式3】利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 题型八 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 先把式子彻底分解因式，再代入数值计算；简化运算，减少计算错误，提高正确率。 【典例1】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 【变式1】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如果，，则的值是（　　） A．30 B． C．11 D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知，求下列各式的值． (1) (2)． 【变式3】已知，，求下列各式的值 (1) (2) 【变式3】阅读：已知a＋b＝﹣4，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：∵a＋b＝﹣4，ab＝3， ∴a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求a2＋b2的值． （2）已知（2018﹣a）（2019﹣a）＝2047，求（2018﹣a）2＋（2019﹣a）2的值． 题型九 利用因式分解判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 对式子因式分解，结合边长为正、三边关系，推出a=b或a=b=c或直角三角形，从而判断形状。 【典例1】已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 题型十 利用因式分解求最值 解｜题｜技｜巧 将式子配方成完全平方式，利用(  )2≥0，平方项为 0 时取最值，直接写出最大 / 最小值。 【典例1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解 【小明的解答】： ① ； ② (2)根据小明与小丽的思考解决下列问题： 【小丽的思考】：代数式都大于等于，再加上，则代数式大于等于，所以有最小值为， ①试说明：代数式的最小值为． ②请仿照小明与小丽的思考求代数式的最值为（　　） A．最大值   B．最小值    C．最大值    D．最小值 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【变式2】（23-24八年级下·浙江金华·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【变式3】【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． (3)已知，，试比较P，Q的大小． 题型十一 因式分解在新定义问题中的应用 解｜题｜技｜巧 先理解新定义规则，再按要求对多项式因式分解，结合定义条件列式求解。 【典例1】设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 【变式2】定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 【变式3】【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 题型十二 因式分解在阅读理解的应用 解｜题｜技｜巧 先读懂材料方法，模仿材料步骤，对目标式进行提公因式、套公式分解，按要求作答。 【典例1】阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【变式2】阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【变式3】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 ． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 7．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为________． 8．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，求的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 11．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．12 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______． (2)已知，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 17．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1） ； 【应用结论】 （2）已知，，分别求与的值； 【变式拓展】 （3）因式分解： 18．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 19．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 20．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $