第九章 因式分解（知识清单）数学新教材苏科版八年级下册

第九章 因式分解 一、因式分解的概念 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 二、因式分解的方法和步骤： 1.提公因式法： 当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先提公因式； （2）再运用公式； （3）检查检查每个因式是否可以继续分解。 目标： 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 一、因式分解的概念理解： 1.错误：混淆“因式分解” 与 “整式乘法”概念． 注意： 因式分解与整式乘法是互逆的过程，整式乘法是将积的形式变成多项式，而因式分解是将一个多项式变成积的形式。 2.错误：认为“”也是因式分解． 注意：因式分解是将多项式变成几个因式积的形式，它是在整式范围内的一种整式恒等变形，结果中不能含有不是整式的部分或因式。等号右边括号中的已经不是整式了，所以这个不是因式分解。 二、因式分解的方法和步骤 1.错误：提取多项式的各项系数的公因数时，没有提取最大公因数，导致提取不彻底． 注意：例如，对多项式，提取公因式时，系数只提取2，得到,括号内仍可以继续提取公因数2，所以导致因式分解不彻底。 2.错误：第一项系数为负数时,负号忘记提取 注意：当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为公因式的符号进行因式分解.忘记提取负号也是经常见到的一种错误，所以拿到因式分解题目时，首先认真审题是非常重要的，尤其是首项带有负号的。 3. 错误：因式分解通常分为3个步骤，第三步“检查”常常被忽略，认为检查不检查无所谓 提醒：因式分解一般步骤分为3步，一是提取公因式；二是运用公式；三是检查。大部分同学只注意第一二步，对于第三步检查感觉无所谓，只要自己认真点，第3步要不要无所谓，其实，这是不对的。很多错误都是由于对第三步的轻视导致的，这一步非常关键，重视，才会减少错误。 知识点1训练：利用因式分解的概念判断 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 知识点2训练：找多项式各项的“最大公因式” 4．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 5．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 6．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 知识点3训练：判断能否利用公式进行因式分解 7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 8．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 9．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，逐一判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果． 【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为 ，逐一判断： ① 对于， ①可以用完全平方公式因式分解； ②  对于，完全平方结构要求中间项应为，不符合完全平方结构， ②不能用完全平方公式分解； ③ 对于， ③可以用完全平方公式因式分解； ④ 对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解； ⑤ 对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解； 综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个． 知识点4训练：综合运用提公因式法和公式法因式分解 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式，即可得到答案； （2）直接利用平方差公式分解因式即可得到答案； （3）首先提取，再利用完全平方公式分解因式可得答案； （4）利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 知识点5训练：利用因式分解求代数式的值 13．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 14．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及了整体代入的思想方法．先对所求代数式因式分解，转化为含已知条件的形式，再代入已知值计算求解． 【详解】∵ 又∵ ∴ 且 ∴原式， 故选：A． 15．若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点6训练：因式分解的综合应用 16．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 17．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，图1可以得到，基于此，请解答下列问题． (1)根据图2，写出一个代数恒等式：______； (2)利用（1）中的结论对多项式进行因式分解：______； (3)类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个长、宽、高分别为x，2，2的小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了因式分解在几何图形中的应用． （1）根据图形，用两种方法表示图形的面积即可， （2）把（1）中等号左右两边交换位置后，用来进行因式分解即可； （3）分别表示出两个几何体的体积，列出恒等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， 故答案为： （2）解：∵， 根据可得，， 故答案为： （3）解：图3左边几何体的体积是， 图3右边几何体的体积是， 根据图3两几何体的体积相等，即可列等式：． 故答案为： 18．如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了因式分解的应用，列代数式，平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为左边能使用的面积为，右边能使用的面积为，所以图中能使用部分的面积之和为：； （2）①两个正方形能使用部分的面积差为 ，化简之后因式分解即可； ②因为，所以，因为，所以，联立求出、． 【详解】（1）（1）因为，， 所以图中能使用部分的面积之和为：； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ， ， ； ②∵ ， 且， ∴， 解方程组：， 解得：． 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解 一、因式分解的概念 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个 的 ,那么其中的每个 都叫作这个多项式的 。 2.因式分解：把一个多项式表示成 形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为 . 二、因式分解的方法和步骤： 1.提公因式法： 当多项式的各项含有 时,可以采用 的方法把公因式提到括号外,把多项式写成 与另一个 的 的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 2.公式法： 逆向使用 、 等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先 ； （2）再 ； （3）检查检查 。 目标： 必须把每一个因式都分解到 . 一、因式分解的概念理解： 1.错误：混淆“因式分解” 与 “整式乘法”概念． 注意： 因式分解与整式乘法是互逆的过程，整式乘法是将积的形式变成多项式，而因式分解是将一个多项式变成积的形式。 2.错误：认为“”也是因式分解． 注意：因式分解是将多项式变成几个因式积的形式，它是在整式范围内的一种整式恒等变形，结果中不能含有不是整式的部分或因式。等号右边括号中的已经不是整式了，所以这个不是因式分解。 二、因式分解的方法和步骤 1.错误：提取多项式的各项系数的公因数时，没有提取最大公因数，导致提取不彻底． 注意：例如，对多项式，提取公因式时，系数只提取2，得到,括号内仍可以继续提取公因数2，所以导致因式分解不彻底。 2.错误：第一项系数为负数时,负号忘记提取 注意：当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为公因式的符号进行因式分解.忘记提取负号也是经常见到的一种错误，所以拿到因式分解题目时，首先认真审题是非常重要的，尤其是首项带有负号的。 3. 错误：因式分解通常分为3个步骤，第三步“检查”常常被忽略，认为检查不检查无所谓 提醒：因式分解一般步骤分为3步，一是提取公因式；二是运用公式；三是检查。大部分同学只注意第一二步，对于第三步检查感觉无所谓，只要自己认真点，第3步要不要无所谓，其实，这是不对的。很多错误都是由于对第三步的轻视导致的，这一步非常关键，重视，才会减少错误。 知识点1训练：利用因式分解的概念判断 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点2训练：找多项式各项的“最大公因式” 4．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 5．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 6．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 知识点3训练：判断能否利用公式进行因式分解 7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 9．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点4训练：综合运用提公因式法和公式法因式分解 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 知识点5训练：利用因式分解求代数式的值 13．如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 14．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 15．若，，则__________． 知识点6训练：因式分解的综合应用 16．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 17．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，图1可以得到，基于此，请解答下列问题． (1)根据图2，写出一个代数恒等式：______； (2)利用（1）中的结论对多项式进行因式分解：______； (3)类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个长、宽、高分别为x，2，2的小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 18．如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $