专题03 勾股定理、逆定理（讲义）2025-2026学年 人教版数学八年级下册期中专题复习

专题03 勾股定理、逆定理 考点01（★★★）勾股定理及逆定理的运用 3 考点02（★）勾股树问题 4 考点03（★★★）最短路径问题 5 考点04（★★）赵爽弦图问题 7 考点05（★★★）折树问题 8 考点06（★★★） “池塘里的芦苇”问题 9 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 2．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 4．勾股数 （1）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． （2）勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 1．勾股定理 （1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的逆定理 （1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）勾股定理及逆定理的运用 1．勾股定理是直角三角形特有的三边关系，可以用来求直角三角形的直角边或斜边长． 2．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用边的关系来证明三角形是直角三角形． 【例1】　（2026春•铁东区校级月考）一个直角三角形的两边长分别为5，12，则第三边长是（　　） A．12 B．5 C．13 D．13或 【例2】　（2026春•东城区校级月考）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1， D．1，2，3 【例3】　（2025秋•金凤区校级期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（　　） A．3，4，5 B．6，12，15 C．7，24，25 D．0.3，0.4，0.5 考点02（★）勾股树问题 在解决勾股树问题时，常常用到“同一直角三角形两直角边上的两个正方形面积和等于斜边上的正方形的面积”． 【例4】　（2026•青秀区校级开学）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例5】　（2025秋•林甸县期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为　8+4n ． 【例6】　（2025秋•龙华区期中）如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　） A．75 B．78 C．80 D．81 考点03（★★★）最短路径问题 最短路径问题实际上是平面展开最短路线问题，关键是根据题意画出图形，它的依据是“两点之间，线段最短”和“将军饮马”模型． 【例7】　（2025春•兴宁区校级期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，m和m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　） A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 【例8】　（2025春•建始县期末）如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 【例9】　（2025秋•槐荫区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 考点04（★★）赵爽弦图问题 赵爽弦图是三国时期吴国数学家赵爽在《周髀算经》一书中作序时创制的．这个图形是以弦为边长得到的正方形，它由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．赵爽弦图的证法基本思想是图形经过割补后，面积不变，这也是解决这类问题常用的思想． 【例10】　（2025秋•高新区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【例11】　（2025秋•余姚市期末）中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理．它是由四个全等的直角三角形（△ABG，△BCH，△CDE，△DAF）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．如图，连结AE，BE，若AE＝AB，则△ABE与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【例12】　（2025秋•永州期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（　　） A． B．2 C．4 D．8 考点05（★★★）折树问题 在树的折断问题中，树与地面是垂直的，从而得到了直角三角形，通过设未知数分别表示各未知边的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【例13】　（2025秋•大英县期末）如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（　　） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【例14】　（2025秋•济阳区期末）如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上，那么树高是（　　） A．4m B．m C．（1）m D．（3）m 【例15】　（2025秋•惠来县期末）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 考点06（★★★） “池塘里的芦苇”问题 解决此类问题，首先要读懂题意，还要有生活常识，比如：什么时候筷子露在杯子外面的长度最长？什么时候筷子露在杯子外面的长度最短？ 【例16】　（2025秋•连云港期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【例17】　（2025秋•安宁区校级期中）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为2尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇的长度是（　　） A．5.25尺 B．7.25尺 C．12尺 D．13尺 【例18】　（2024秋•秦州区期末）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为　　 尺．（1丈＝10尺） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理、逆定理 考点01（★★★）勾股定理及逆定理的运用 3 考点02（★）勾股树问题 5 考点03（★★★）最短路径问题 8 考点04（★★）赵爽弦图问题 11 考点05（★★★）折树问题 14 考点06（★★★） “池塘里的芦苇”问题 16 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 2．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 4．勾股数 （1）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． （2）勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 1．勾股定理 （1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的逆定理 （1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）勾股定理及逆定理的运用 1．勾股定理是直角三角形特有的三边关系，可以用来求直角三角形的直角边或斜边长． 2．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，用边的关系来证明三角形是直角三角形． 【例1】　（2026春•铁东区校级月考）一个直角三角形的两边长分别为5，12，则第三边长是（　　） A．12 B．5 C．13 D．13或 【答案】D 【分析】分第三边为直角边和斜边两种情况解答即可求解． 【解答】解：当第三边为斜边时，第三边长为； 当第三边为直角边时，第三边长为； 综上，第三边长是13或． 故选：D． 【例2】　（2026春•东城区校级月考）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1， D．1，2，3 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、12+（）2≠32，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、12+22≠32，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例3】　（2025秋•金凤区校级期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（　　） A．3，4，5 B．6，12，15 C．7，24，25 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理分别判断即可． 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，不符合题意； B、62+122≠152，不能构成直角三角形，符合题意； C、72+242＝252，能构成直角三角形，不符合题意； D、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 考点02（★）勾股树问题 在解决勾股树问题时，常常用到“同一直角三角形两直角边上的两个正方形面积和等于斜边上的正方形的面积”． 【例4】　（2026•青秀区校级开学）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案． 【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2， 第1个图中， S1＝a，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3，符合题意； 第2个图中， ，，， ∵， ∴S1+S2＝S3，符合题意； 第3个图中，作DG⊥EF于点G，则∠EDG60°＝30°，EGEFc， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴S1+S2＝S3，符合题意； 综上，三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是3个． 故选：D． 【例5】　（2025秋•林甸县期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为　8+4n ． 【答案】8+4n． 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【解答】解：图①中，∵∠ACB＝90°， AC2+BC2＝AB2＝22＝4， ∴图①中所有正方形面积和为：4+4＝8， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 8+4＝12， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 8+4×2＝16， ⋯ ∴若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n， 故答案为：8+4n． 【例6】　（2025秋•龙华区期中）如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　） A．75 B．78 C．80 D．81 【答案】D 【分析】根据题意分别计算出即第1次操作后所有正方形的面积和为6+3＝9，第2次操作后所有正方形的面积和为6+3×2＝12，得出规律即可求解． 【解答】解：如图，由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形． 根据勾股定理，BC2+AC2＝AB2， ∴， ∴图①中所有正方形的面积和为3+3＝6， 图②中第1次操作后增加的四个正方形的面积和为BC2+AC2＝3， 即第1次操作后所有正方形的面积和为6+3＝9， 同理，第2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是3， 即第2次操作后所有正方形的面积和为6+3×2＝6+6＝12， ⋯ 第25次操作后所有正方形的面积和为6+3×25＝6+75＝81， 故选：D． 考点03（★★★）最短路径问题 最短路径问题实际上是平面展开最短路线问题，关键是根据题意画出图形，它的依据是“两点之间，线段最短”和“将军饮马”模型． 【例7】　（2025春•兴宁区校级期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，m和m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　） A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m 【答案】C 【分析】将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【解答】解：如图，将台阶展开为矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边， 则AC＝4m，BC＝（）×3＝3（m）， 在Rt△ABC中，AB5（m）， 所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m． 故选：C． 【例8】　（2025春•建始县期末）如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情形展开解决问题即可． 【解答】解：①沿CC1展开，如图所示， MN2（cm）． ②沿B1C1展开，MN4（cm）， 42， ∴最短路线长是4cm， 故选：D． 【例9】　（2025秋•槐荫区期中）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】B 【分析】化曲为直，利用勾股定理解决． 【解答】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接BC，过点B作BD⊥AD于D， 由已知得：，AD＝16﹣4﹣3＝9（cm），CD＝9+6＝15（cm）， 在Rt△CDB中，由勾股定理得：， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm． 故选：B． 考点04（★★）赵爽弦图问题 赵爽弦图是三国时期吴国数学家赵爽在《周髀算经》一书中作序时创制的．这个图形是以弦为边长得到的正方形，它由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．赵爽弦图的证法基本思想是图形经过割补后，面积不变，这也是解决这类问题常用的思想． 【例10】　（2025秋•高新区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 【分析】由题意可得a2+b2＝152，再与已知条件b﹣a＝3联立，即可求出ab的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【解答】解：由勾股定理，得a2+b2＝152＝225， ∵b﹣a＝3， ∴b2﹣2ab+a2＝9， ∴225﹣2ab＝9， ∴ab＝108， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 【例11】　（2025秋•余姚市期末）中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理．它是由四个全等的直角三角形（△ABG，△BCH，△CDE，△DAF）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．如图，连结AE，BE，若AE＝AB，则△ABE与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作AM⊥BE于点M，设正方形EFGH的边长为a，根据AE＝AB＝AD，AF⊥DE得DF＝EF＝a，进而得DE＝2a，CE＝DF＝EH＝BH＝a，由勾股定理得CD，则S正方形ABC＝5a2，AE＝AB＝CD，在Rt△EHB中，由勾股定理得BE，在△ABE中，根据AE＝AB，AM⊥BE得BMBE，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM，进而得S△ABEBE•AM，由此即可得出△ABE与正方形ABCD的面积之比． 【解答】解：过点A作AM⊥BE于点M，如图所示： 设正方形EFGH的边长为a， ∴EF＝FG＝FH＝HE＝a，∠GFE＝∠FEH＝∠EHG＝90°， ∴AF⊥DE，∠DEC＝EHB＝90°， ∴△DEC和△EHB都是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∵AE＝AB， ∴AE＝AD， ∴△ADE是等腰三角形， 又∵AF⊥DE， ∴DF＝EF＝a， ∴DE＝DF+EF＝2a，CE＝DF＝EH＝BH＝a， 在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD， ∴S正方形ABCD5a2，AE＝AB＝CD， 在Rt△EHB中，EH＝BH＝a， 由勾股定理得：BE， 在△ABE中，AE＝AB＝√5a，AM⊥BE于点M， ∴BMBE， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM， ∴S△ABEBE•AM， ∴． 故选：B． 【例12】　（2025秋•永州期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（　　） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形ABCD的面积，进而利用算术平方根求出边长． 【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10， ∴股， ∴小正方形ABCD的面积：， ∴小正方形ABCD的边长为：， 故选：B． 考点05（★★★）折树问题 在树的折断问题中，树与地面是垂直的，从而得到了直角三角形，通过设未知数分别表示各未知边的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【例13】　（2025秋•大英县期末）如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（　　） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得AC长即可． 【解答】解：由题意，得：AB＝6米，BC＝8米，∠ABC＝90°，如图， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝62+82＝100， ∴AC＝10米， ∴大树高6+10＝16（米）， 故选：C． 【例14】　（2025秋•济阳区期末）如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上，那么树高是（　　） A．4m B．m C．（1）m D．（3）m 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高，继而即可求出折断前的树高． 【解答】解：根据勾股定理可知：折断的树高米， 则这棵大树折断前的树高＝（1）米． 故选：C． 【例15】　（2025秋•惠来县期末）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【解答】解：如图： ∵BC＝7.5m，AC＝4m， ∵∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， 即AB2＝42+7.52， ∴AB＝8.5m， ∴这棵树在折断之前的高度＝8.5+7.5＝16m． 故选：A． 考点06（★★★） “池塘里的芦苇”问题 解决此类问题，首先要读懂题意，还要有生活常识，比如：什么时候筷子露在杯子外面的长度最长？什么时候筷子露在杯子外面的长度最短？ 【例16】　（2025秋•连云港期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】先求出AB⊥B′C，B′C＝5尺，再设AB'＝AB＝x尺，则AC＝（x﹣1）尺，在Rt△AB′C中，利用勾股定理求解即可得． 【解答】解：由题意得：（尺），BC＝1尺，AB⊥B′C，AB′＝AB， 设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺， 在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 【例17】　（2025秋•安宁区校级期中）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为2尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇的长度是（　　） A．5.25尺 B．7.25尺 C．12尺 D．13尺 【答案】B 【分析】设出芦苇的长度，再根据勾股定理列出方程． 【解答】解：设芦苇的长度为x尺，由题知CB′＝5尺，CA＝（x﹣2）尺， 在Rt△AB'C中，（x﹣2）2+52＝x2， 解得x＝7.25， 故选：B． 【例18】　（2024秋•秦州区期末）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为　13　 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：1丈＝10尺， 设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故答案为：13． 学科网（北京）股份有限公司 $