专题03勾股定理实际应用期中复习讲义 (12大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03勾股定理实际应用期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握勾股定理（a2+b2=c2）及逆定理，明确适用条件，能区分直角边与斜边。 2.了解实际应用常见题型（测量、折叠、航海、立体图形最短路径等）及核心思路。 1.能将实际问题转化为直角三角形模型，灵活运用定理求解。 2.具备建模、准确计算及综合运用相关几何知识解题的能力。 1.快速识别勾股定理实际应用类考题，精准匹配解题方法，提高答题速度。 2.规范答题步骤，减少计算、建模失误，确保基础题不丢分、中档题稳得分。 3.能应对题型变式，突破综合应用题难点，提升应试得分率。 题型01.求旗杆高度(高频) 题型02.解决航海问题(高频) 题型03.求河宽问题(高频) 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 题型09.汽车超速判断问题(低频) 题型10.求最短路径问题(低频) 题型11.台风影响判断(选练) 题型12.等距选址计算(选练) 知识点01:勾股定理应用的核心公式与等量关系 一、核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤 1.建模：将实际问题抽象为直角三角形，明确直角边和斜边。 2.设元：将未知量设为 x，用 x 表示其他相关线段。 3.列方程：根据勾股定理列出方程。 4.求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 应用分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 1. 混淆定理与逆定理的用法：误将逆定理用于已知直角求边长，或用定理判断直角三角形； 2. 建模失误：忽略实际问题中的直角条件，或找错直角边、斜边（如航海问题中方位角判断错误，导致直角边标注错误）； 3. 计算失误：二次根式化简不规范、边长单位不统一，或代入公式时符号错误； 4. 立体图形展开不全面：求最短路径时，只考虑一种展开方式，忽略最优解。 题型01:求旗杆高度 【典例】学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为__________ 【跟踪专练2】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 题型02:解决航海问题 【典例】如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A． B．30 C．40 D．50 【跟踪专练1】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【跟踪专练2】如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【跟踪专练3】如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 题型03:求河宽问题 【典例】小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________． 【跟踪专练1】如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【跟踪专练3】如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 题型04:解决水杯中筷子问题 【典例】如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（      ）厘米． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【跟踪专练2】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 题型05:小鸟飞行距离问题 【典例】如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行_______ 米． 【跟踪专练2】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 题型06:梯子滑落高度计算 【典例】如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【跟踪专练1】如图，一根竹竿长米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙米，若竹竿底端向左滑动米，那么竹竿顶端下滑______米． 【跟踪专练2】如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【跟踪专练3】如图，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑至C点．求梯子底端B外移距离的长度； 题型07:求大树折断前的高度问题 【典例】如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有_____米． 【跟踪专练2】如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 【跟踪专练3】如图，在一棵树的高处（B）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（C）的池塘，而另一只则爬到树顶（D）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 题型08:求台阶地毯长度问题 【典例】要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【跟踪专练1】如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【跟踪专练2】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 题型09:汽车超速判断问题 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【跟踪专练1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【跟踪专练2】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【跟踪专练3】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 题型10:求最短路径问题 【典例】某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 【跟踪专练2】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 题型11:台风影响判断 【典例】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【跟踪专练1】今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【跟踪专练2】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒． 【跟踪专练3】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 题型12:等距选址问题 【典例】如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【跟踪专练1】如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 【跟踪专练3】如图，某通信公司计划在A，B两地间的E处修建一座信号塔，这样C，D两个村庄到E处的距离恰好相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应建在离A地多远的地方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理实际应用期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握勾股定理（a2+b2=c2）及逆定理，明确适用条件，能区分直角边与斜边。 2.了解实际应用常见题型（测量、折叠、航海、立体图形最短路径等）及核心思路。 1.能将实际问题转化为直角三角形模型，灵活运用定理求解。 2.具备建模、准确计算及综合运用相关几何知识解题的能力。 1.快速识别勾股定理实际应用类考题，精准匹配解题方法，提高答题速度。 2.规范答题步骤，减少计算、建模失误，确保基础题不丢分、中档题稳得分。 3.能应对题型变式，突破综合应用题难点，提升应试得分率。 题型01.求旗杆高度(高频) 题型02.解决航海问题(高频) 题型03.求河宽问题(高频) 题型04.解决水杯中筷子问题(高频) 题型05.小鸟飞行距离问题(高频) 题型06.梯子滑落高度计算(高频) 题型07.求大树折断前的高度问题(低频) 题型08 求台阶地毯长度问题(低频) 题型09.汽车超速判断问题(低频) 题型10.求最短路径问题(低频) 题型11.台风影响判断(选练) 题型12.等距选址计算(选练) 知识点01:勾股定理应用的核心公式与等量关系 一、核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤 1.建模：将实际问题抽象为直角三角形，明确直角边和斜边。 2.设元：将未知量设为 x，用 x 表示其他相关线段。 3.列方程：根据勾股定理列出方程。 4.求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 应用分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 易错点梳理（高频易错） 1. 混淆定理与逆定理的用法：误将逆定理用于已知直角求边长，或用定理判断直角三角形； 2. 建模失误：忽略实际问题中的直角条件，或找错直角边、斜边（如航海问题中方位角判断错误，导致直角边标注错误）； 3. 计算失误：二次根式化简不规范、边长单位不统一，或代入公式时符号错误； 4. 立体图形展开不全面：求最短路径时，只考虑一种展开方式，忽略最优解。 题型01:求旗杆高度 【典例】学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，在中，由勾股定理可得，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设旗杆的高度为米， 米，米， 根据以上信息，在中，由勾股定理可得， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为__________ 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理得：， 解得：， 所以旗杆的高度为； 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 【跟踪专练3】小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 题型02:解决航海问题 【典例】如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A． B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴A，C两港之间的距离为， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角； 本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，过作于点，轴于点，连接，证明出是等腰直角三角形，求出海里， 海里，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 题型03:求河宽问题 【典例】小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________． 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 【跟踪专练1】如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 【跟踪专练2】某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【跟踪专练3】如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】天 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是是运用勾股定理求边的长度，然后除以每天凿的隧道的长度，即可求出所需的天数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， （天）． 答：需要天才能把隧道凿通． 题型04:解决水杯中筷子问题 【典例】如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（      ）厘米． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，本题可以先利用勾股定理计算杯内的筷子长度，再利用减法求杯子外面的长度即可． 【详解】解：∵（厘米），（厘米）， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米； 故选：B ． 【跟踪专练1】《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 【跟踪专练3】如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 【答案】 【分析】先分析出细木棒在盒子内倾斜时露在外面最短的位置，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：如图所示进行标注，当木棒在上时露在盒外面的长度最短， ∴由题意可得：，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴细木棒露在盒外面的最短长度为：． 题型05:小鸟飞行距离问题 【典例】如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，构造直角三角形ABC ∵两棵树的高度差为AC=（米），间距为AB=米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC（米）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【跟踪专练1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行_______ 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【跟踪专练3】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 题型06:梯子滑落高度计算 【典例】如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，一根竹竿长米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙米，若竹竿底端向左滑动米，那么竹竿顶端下滑______米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得米，米，米，米，在中，，在中，，即可求出顶端下滑的距离． 【详解】解：如图， 由题意得，米，米，米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 则顶端下移的距离米． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 【跟踪专练3】如图，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑至C点．求梯子底端B外移距离的长度； 【答案】底端B外移距离的长度为 【分析】在中运用勾股定理求得，在中运用勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴． 在中，，， ， 梯子底端外移的距离为． 题型07:求大树折断前的高度问题 【典例】如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 【跟踪专练1】如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有_____米． 【答案】4 【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 设此时树的顶端离树的底部有x米，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得： ， 解得：（舍去）， 答：此时树的顶端离树的底部有4米． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得， 即， 整理得，解得， 即的距离为12米． 【跟踪专练3】如图，在一棵树的高处（B）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（C）的池塘，而另一只则爬到树顶（D）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 【答案】这棵树有15米高 【分析】设米，则米，米，根据勾股定理得， 解得，即得答案． 【详解】解：设米，则米， ∵两只猴子经过的路程相等， ∴， ∴， ∴米， ∵一般树是竖直向上，地面是水平的， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 则（米， 答：这棵树有15米高． 题型08:求台阶地毯长度问题 【典例】要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    【跟踪专练3】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 题型09:汽车超速判断问题 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【跟踪专练1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练3】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 题型10:求最短路径问题 【典例】某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 【答案】52 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 【跟踪专练2】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为，宽为圆柱的高的长方形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是长方形， 长方形的长为圆柱的底面周长为，宽为圆柱的高为， 根据勾股定理得： ， 根据两点之间线段最短，可得这条彩带的最小长度是为． 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用“点到直线的垂线段最短”确定最短路线是解题关键． 过点作，先通过垂线段最短明确为最短距离，再设未知数，结合勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 题型11:台风影响判断 【典例】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 【跟踪专练1】今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【跟踪专练2】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒． 【答案】32 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 【跟踪专练3】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 题型12:等距选址问题 【典例】如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，， 设，则， 因为于于， 所以在与中， 由勾股定理得，， ， 解得， ， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，某通信公司计划在A，B两地间的E处修建一座信号塔，这样C，D两个村庄到E处的距离恰好相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应建在离A地多远的地方． 【答案】 【分析】设，则，根据，利用勾股定理建立等式解答即可． 【详解】解：由，设，则． ，， 和都是直角三角形， 在和中， ，． ，，， ， 解得， ． 答：信号塔E应建在离A地远的地方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $