专题 02 二次根式的运算（讲义） 2025--2026学年人教版八年级数学下册

专题02 二次根式的运算 考点01（★★★）二次根式的大小比较 5 考点02（★★★）二次根式的混合运算 5 考点03（★★）二次根式的规律探究 6 考点04（★★★）利用数轴化简求值 7 考点05（★）二次根式的运算与求值技巧 8 1．二次根式的乘法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． （3）逆用 ． 2．二次根式的除法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （3）逆用 ． 3．最简二次根式 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 4．可以合并的二次根式 （1）可以合并的二次根式： 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并． （2）合并的方法 合并二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如（a≥0）． 5．二次根式的加减 （1）二次根式的加减： 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）二次根式加减运算的一般步骤： ①化：将每个二次根式都化成最简二次根式． ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式． ③合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并． 6．二次根式的混合运算 （1）运算种类 二次根式的加、减、乘、除乘方（或开方）的混合运算． （2）运算顺序 无括号的先乘方，再乘除，最后加减； 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）； 同级运算，从左到右进行计算． （3）运算依据 实数的运算律（交换律、结合律、分配律）、整式的乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用． （4）二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 ①； ②； ③； ④； ⑤． 1．应用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 2．将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 一分：将被开方数（或被开方数的分子、分母）分解因数（式）． 二移：把能开得尽方的因数（式）利用公式移到根号外． 三化：化去被开方数中的分母． 四约：约分，化为最简二次根式． 3．二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除． 根号外的因数（式）相加减． 被开方数 被开方数相乘除． 被开方数不变． 化简 结果化为最简二次根式或整式． 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． 4．在进行二次根式的加减运算时，交换律、结合律、去（添）括号法则依然适用． 5．二次根式混合运算的要点 （1）牢记运算顺序和法则并能正确运用； （2）用运算律和乘法公式可简化运算； （3）结果必须化成最简二次根式或整式． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）二次根式的大小比较 二次根式比较大小的方法 （1）平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可． （2）比较被开方数法：逆用公式，即，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大． （3）作商法：同号两数相除，比较商与1的大小． 【例1】　（2024秋•浦东新区校级期中）比较大小：　 　 ． 【例2】　（2023春•冠县期中） 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【例3】　（2023秋•景泰县校级期中）比较大小： ① 　 　 ； ② 　 　 （填“＞”或“＜”）． 考点02（★★★）二次根式的混合运算 1．混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 2．有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． 3．结果一定要化成最简二次根式或整式． 【例4】　（2026春•廊坊校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例5】　（2026春•江汉区校级月考）计算： （1）； （2）． 【例6】　（2026春•铁东区校级月考）计算：． 考点03（★★）二次根式的规律探究 和其它规律探究一样，先从简单的二次根式等式入手，层层递进，经过猜想、归纳得出一般规律，并加以严格的数学论证．在解决此类问题时，如果由题目提供的几个等式还看不出规律，可以"依葫芦画瓢"再写几个等式，这样一来找规律会更容易些． 【例7】　（2025秋•启东市期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a﹣b＝　 　 ． 【例8】　（2025春•莱山区期末）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果并证明； （2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　71　 ． 【例9】　（2025春•新会区校级月考）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． （1）化简：　　 ，　　 ． （2）化简：； （3）利用上面的规律，比较和的大小． 考点04（★★★）利用数轴化简求值 1．解此类题，首先要知道数轴上的点所表示的数的大小关系，从而分析每个式子的正负性． 2．灵活运用二次根式的运算性质： 3．会去绝对值符号． 【例10】　（2026•西城区校级开学）实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【例11】　（2025秋•金山区期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 【例12】　（2025秋•赛罕区校级期末）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 考点05（★）二次根式的运算与求值技巧 在进行二次根式的运算时，要观察式子的特点，多用乘法公式转化，多采用数学中的整体思想代入求值，这样可以简化运算过程． 【例13】　（2026春•赣州校级月考）已知：，，求下列代数式的值． （1）xy； （2）x2﹣y2． 【例14】　（2026春•扶绥县校级月考）已知，． （1）求代数式xy的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）1； （2）． 【例15】　（2026春•红桥区校级月考）计算： （1）； （2）已知，，求下列各式的值： ①x2+2xy+y2； ②x2﹣y2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算 考点01（★★★）二次根式的大小比较 5 考点02（★★★）二次根式的混合运算 6 考点03（★★）二次根式的规律探究 8 考点04（★★★）利用数轴化简求值 11 考点05（★）二次根式的运算与求值技巧 13 1．二次根式的乘法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． （3）逆用 ． 2．二次根式的除法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （3）逆用 ． 3．最简二次根式 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 4．可以合并的二次根式 （1）可以合并的二次根式： 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并． （2）合并的方法 合并二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如（a≥0）． 5．二次根式的加减 （1）二次根式的加减： 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）二次根式加减运算的一般步骤： ①化：将每个二次根式都化成最简二次根式． ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式． ③合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并． 6．二次根式的混合运算 （1）运算种类 二次根式的加、减、乘、除乘方（或开方）的混合运算． （2）运算顺序 无括号的先乘方，再乘除，最后加减； 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）； 同级运算，从左到右进行计算． （3）运算依据 实数的运算律（交换律、结合律、分配律）、整式的乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用． （4）二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 ①； ②； ③； ④； ⑤． 1．应用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 2．将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 一分：将被开方数（或被开方数的分子、分母）分解因数（式）． 二移：把能开得尽方的因数（式）利用公式移到根号外． 三化：化去被开方数中的分母． 四约：约分，化为最简二次根式． 3．二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除． 根号外的因数（式）相加减． 被开方数 被开方数相乘除． 被开方数不变． 化简 结果化为最简二次根式或整式． 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． 4．在进行二次根式的加减运算时，交换律、结合律、去（添）括号法则依然适用． 5．二次根式混合运算的要点 （1）牢记运算顺序和法则并能正确运用； （2）用运算律和乘法公式可简化运算； （3）结果必须化成最简二次根式或整式． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）二次根式的大小比较 二次根式比较大小的方法 （1）平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可． （2）比较被开方数法：逆用公式，即，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大． （3）作商法：同号两数相除，比较商与1的大小． 【例1】　（2024秋•浦东新区校级期中）比较大小：　＜　 ． 【答案】＜． 【分析】利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【解答】解：，， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【例2】　（2023春•冠县期中） 　＞　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】比较两个数的平方即可得到答案． 【解答】解：∵，，， ∴， 故答案为：＞． 【例3】　（2023秋•景泰县校级期中）比较大小： ① 　＜　 ； ② 　＜　 （填“＞”或“＜”）． 【答案】①＜； ②＜； 【分析】对于与的比较，先比较其平方数的大小即可；对于与大小的比较，利用二次根式估算方法及不等式的性质即可完成． 【解答】解：①∵， ∴； 故答案为：＜； ②∵4＜5， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＜． 考点02（★★★）二次根式的混合运算 1．混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 2．有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． 3．结果一定要化成最简二次根式或整式． 【例4】　（2026春•廊坊校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）10； （4）． 【分析】（1）先通过分母有理化化简，再由二次根式加减运算法则求解即可； （2）先化为最简二次根式，再根据二次根式乘除混合运算法则求解即可； （3）先化简二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可； （4）先运用完全平方公式及平方差公式进行计算，再合并即可． 【解答】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝6+4 ＝10； （4）原式 ． 【例5】　（2026春•江汉区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式除法法则计算，合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式0； （2）原式 ． 【例6】　（2026春•铁东区校级月考）计算：． 【答案】3． 【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可． 【解答】解： ＝1+2 ＝3． 考点03（★★）二次根式的规律探究 和其它规律探究一样，先从简单的二次根式等式入手，层层递进，经过猜想、归纳得出一般规律，并加以严格的数学论证．在解决此类问题时，如果由题目提供的几个等式还看不出规律，可以"依葫芦画瓢"再写几个等式，这样一来找规律会更容易些． 【例7】　（2025秋•启东市期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a﹣b＝　﹣57　 ． 【答案】﹣57． 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令n＝8，求出a和b的值，进而计算． 【解答】解：∵， ∴可得规律：， ∴当n＝8时，， ∵， ∴a＝8，b＝82+1＝65， ∴a﹣b＝8﹣65＝﹣57， 故答案为：﹣57． 【例8】　（2025春•莱山区期末）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． （1）猜想的结果并证明； （2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　71　 ． 【答案】（1），证明见解析； （2），证明见解析； （3）71． 【分析】（1）先把被开方数化成假分数，然后把二次根式化简即可； （2）根据已知条件和（1）中的式子用正整数n表示含有已知条件规律的等式，进行证明即可； （3）根据（2）中的规律，求出a，b，再代入a+b进行计算即可． 【解答】解：（1），证明如下： ； （2），证明如下： ； （3）∵（a，b为正整数）， ∴a＝8，b＝82﹣1＝64﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 【例9】　（2025春•新会区校级月考）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． （1）化简：　　 ，　　 ． （2）化简：； （3）利用上面的规律，比较和的大小． 【答案】（1）； ； （2）； （3）． 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将各式子分母有理化，然后根据二次根式的加减法则计算即可； （3）先求出分别求出和的倒数，再进行比较即可． 【解答】解：（1）；， 故答案为：； ； （2）原式 ； （3）∵，， ∵， ∴． 考点04（★★★）利用数轴化简求值 1．解此类题，首先要知道数轴上的点所表示的数的大小关系，从而分析每个式子的正负性． 2．灵活运用二次根式的运算性质： 3．会去绝对值符号． 【例10】　（2026•西城区校级开学）实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据题意可知a﹣1＞0，a﹣2＜0，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0，a﹣2＜0， ∴原式＝a﹣1+（2﹣a） ＝a﹣1+2﹣a ＝1， 故选：B． 【例11】　（2025秋•金山区期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 【答案】A 【分析】由数轴可知，a＜b＜0，进而可得b﹣a＞0，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知，a＜b＜0， ∴，b﹣a＞0， ∴， 故选：A． 【例12】　（2025秋•赛罕区校级期末）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 【答案】C 【分析】观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，根据有理数的加法法则判断a+b的正负，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0， ∴原式 ＝﹣a﹣b﹣a﹣（﹣a﹣b） ＝﹣a﹣b﹣a+a+b ＝﹣a 故选：C． 考点05（★）二次根式的运算与求值技巧 在进行二次根式的运算时，要观察式子的特点，多用乘法公式转化，多采用数学中的整体思想代入求值，这样可以简化运算过程． 【例13】　（2026春•赣州校级月考）已知：，，求下列代数式的值． （1）xy； （2）x2﹣y2． 【答案】（1）4； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的性质计算即可； （2）先将x2﹣y2变形为（x+y）（x﹣y），再根据二次根式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴xy； （2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 当，时 原式 ． 【例14】　（2026春•扶绥县校级月考）已知，． （1）求代数式xy的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）直接代入x、y的值，根据平方差公式计算可得答案； （2）首先把代数式化简，化简后，再代入x、y的值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）原式， ∵，， ∴原式． 【例15】　（2026春•红桥区校级月考）计算： （1）； （2）已知，，求下列各式的值： ①x2+2xy+y2； ②x2﹣y2． 【答案】（1）； （2）①12；②． 【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）①先利用完全平方公式变形，再代入计算即可； ②先利用平方差公式变形，再代入计算即可． 【解答】解：（1） ； （2）①∵， ∴x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 ＝12； ②x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） 把代入（x+y）（x﹣y）得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $