专题02勾股定理期末专项突破讲义（20大核心题型精讲+专项训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题02勾股定理期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.熟练掌握勾股定理及逆定理的定义、标准公式、公式变式，能快速计算直角三角形边长、判断三角形是否为直角三角形，熟记常用勾股数，是全章解题的基础。 2.勾股定理的实际应用建模，包含折叠、最短路径、航海、测量高度、梯子滑动等经典场景，核心是将生活场景转化为直角三角形模型解题。 3. 勾股定理与折叠、轴对称、网格图形、四边形的综合计算，结合分类讨论思想求解边长、周长、面积，是期末高分关键。 核心题型◆归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21进阶练习9题 重点知识◆梳理 知识点一、勾股定理 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 3. 适用条件 只适用于直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）。 4. 常见勾股数（整数组） 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17 知识点二、勾股定理的逆定理 1.内容：如果三角形三边长a、b、c满足+=， 那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2.判定步骤 ① 找最长边c； ② 计算较短两边平方和+； ③ 比较：若+=，则为直角三角形。 3. 拓展判定 +→ 锐角三角形 + → 钝角三角形 知识点三、互逆命题 & 互逆定理 1.勾股定理：直角三角形→三边平方关系 2.逆定理：三边平方关系→直角三角形 二者互为逆定理。 知识点四、勾股定理的证明（常用方法） 知识点五、易错点提醒 1.未说明直角三角形，不能直接用勾股定理； 2.逆定理必须先找最长边； 3.边长为正数，开方只取正值。 题型解析◆精准备考 题型1.直角三角形边长直接计算 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 2．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 3．如图，在中，， (1)尺规作图：作的边上的中线； (2)若，，求的长． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 3．综合探究： 在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求、两点之间的距离； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出这个最小值； (3)若直线轴，且在轴上方，到轴的距离为，在直线上依次取两点、，且（在左，在右），利用平移知识，求的最小值． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，，B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 2．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 3．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型4.网格中求线段长度 1．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 3．探究与实践【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是____________； (2)如图2、3，在方格纸中，，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点，都在格点上． 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．11，60，61 2．在中，，，，若，则的度数是__________． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离． 例如，若点，，则． (1)已知点，，求A，B两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 题型6.求梯子滑落高度 1．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 3．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型7.求旗杆高度 1．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 3．在“测量学校旗杆的高度”综合与实践课中，优优所在的小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米．当把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)优优把绳子底端刚好压在头顶处（按住处忽略不计），一直向东走，当绳子拉直时，优优恰好走到D处．已知优优身高1.5米．求优优从A处到D处走了多少米？（计算结果保留2位小数，） 题型8求河宽 1．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 题型9解决水杯中筷子问题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 3．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    题型10求台阶上地毯长度 1．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 题型11求小鸟飞行距离 1．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 3．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 1．如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的面积为5 D．点到的距离为 2．如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 3．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在网格格点上，试判断的形状，并说明理由． 题型13勾股定理与折叠问题 1．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 3．如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 3．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 3．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 2．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 3．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 题型18勾股定理与无理数 1．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数为3，过点作垂直于数轴，且，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点表示的数为______． 3．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形； 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 3．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 2．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 3．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 2．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 4．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 5．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 6．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 三、解答题 7．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 8．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 9．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.熟练掌握勾股定理及逆定理的定义、标准公式、公式变式，能快速计算直角三角形边长、判断三角形是否为直角三角形，熟记常用勾股数，是全章解题的基础。 2.勾股定理的实际应用建模，包含折叠、最短路径、航海、测量高度、梯子滑动等经典场景，核心是将生活场景转化为直角三角形模型解题。 3. 勾股定理与折叠、轴对称、网格图形、四边形的综合计算，结合分类讨论思想求解边长、周长、面积，是期末高分关键。 核心题型◆归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.求梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、勾股定理 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 3. 适用条件 只适用于直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）。 4. 常见勾股数（整数组） 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17 知识点二、勾股定理的逆定理 1.内容：如果三角形三边长a、b、c满足+=， 那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2.判定步骤 ① 找最长边c； ② 计算较短两边平方和+； ③ 比较：若+=，则为直角三角形。 3. 拓展判定 +→ 锐角三角形 + → 钝角三角形 知识点三、互逆命题 & 互逆定理 1.勾股定理：直角三角形→三边平方关系 2.逆定理：三边平方关系→直角三角形 二者互为逆定理。 知识点四、勾股定理的证明（常用方法） 知识点五、易错点提醒 1.未说明直角三角形，不能直接用勾股定理； 2.逆定理必须先找最长边； 3.边长为正数，开方只取正值。 题型解析◆精准备考 题型1.直角三角形边长直接计算 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 2．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 3．如图，在中，， (1)尺规作图：作的边上的中线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，连接，则线段即为所求； （）由直角三角形的性质得，即得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 【答案】 【分析】由点A和点P的坐标可知点A在y轴上，点P在x轴上，可得为直角三角形，利用勾股定理即可求出点A到点P的距离． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴点在轴上，点在轴上，， ，， 在中，由勾股定理得． 3．综合探究： 在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求、两点之间的距离； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出这个最小值； (3)若直线轴，且在轴上方，到轴的距离为，在直线上依次取两点、，且（在左，在右），利用平移知识，求的最小值． 【答案】(1) (2)点见解析，的值最小为 (3) 【分析】（1）直接利用两点间距离公式计算即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，点即为所求，连接，根据轴对称的性质得出，，可得的最小值为，利用两点间距离公式计算即可； （3）将点向右平移个单位长度到，连接、、，得出，，可得的最小值为的长，利用两点间距离公式计算的长，再加上的长即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，点即为所求，连接， ∵点与点关于轴对称，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图将点向右平移个单位长度到，连接、、， ∵， ∴， ∵直线到轴的距离为， ∴轴， ∴，， ∴是向右平移个单位长度，， ∴， ∴点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，，B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，三个数不是整数，不是勾股数，不符合题意； B选项，，，，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意； C选项，，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D选项，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 2．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 3．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）．证明如下： ，， ． （2） 由（1）可知，阴影部分的面积． 题型4.网格中求线段长度 1．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值． 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 3．探究与实践【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是____________； (2)如图2、3，在方格纸中，，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点，都在格点上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解； （2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是对直四边形， ∴， ∴； （2）解：如图2，图3四边形即为所求；（答案不唯一） 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．11，60，61 【答案】D 【分析】先确定每组三边中的最大边，计算两条较小边的平方和，与最大边的平方比较，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A．由，，，故不能构成直角三角形； B． 由，，，则不能构成直角三角形； C．由，，，则不能构成直角三角形； D．由，，即，则能构成直角三角形． 2．在中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离． 例如，若点，，则． (1)已知点，，求A，B两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）直接代入公式求解； （2）由两点间的距离公式分别求解，再由勾股定理逆定理求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 题型6.求梯子滑落高度 1．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 所以梯子顶端的高度h为． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，米，米，由勾股定理可得米，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， 米， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，米，米， 根据勾股定理可得，米， ∴米， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型7.求旗杆高度 1．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据题意设旗杆的高为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：如图：设旗杆的高为x米，则绳子的长为米， 在中，米， ， ， 解得， ， 旗杆的高为12米． 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 3．在“测量学校旗杆的高度”综合与实践课中，优优所在的小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米．当把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)优优把绳子底端刚好压在头顶处（按住处忽略不计），一直向东走，当绳子拉直时，优优恰好走到D处．已知优优身高1.5米．求优优从A处到D处走了多少米？（计算结果保留2位小数，） 【答案】(1)旗杆的高度长为12米 (2)优优从A处到D处走了1.71米 【分析】（1）设旗杆的高度长为x米，则米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）过点E作于点F，求出米，再根据勾股定理求出米，即可求出结论； 【详解】（1）解：设旗杆的高度长为x米，则米， 在中，由勾股定理可知， 即， 解得， 答：旗杆的高度长为12米； （2）解：如图，过点E作于点F， 则米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理可得 米， ∴米， 所以米， 答：优优从A处到D处走了米． 题型8求河宽 1．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 2．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 题型9解决水杯中筷子问题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，据此分别求出吸管露在盒外部分的最长长度和最短的长度即可得到答案． 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 吸管露在盒外部分的长度最短为， ∴． 3．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 题型10求台阶上地毯长度 1．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 题型11求小鸟飞行距离 1．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 3．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 1．如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的面积为5 D．点到的距离为 【答案】D 【分析】结合网格特点，利用勾股定理求出的长，则可得A正确；再根据勾股定理的逆定理可得B正确；利用直角三角形的面积公式可得C正确、D错误． 【详解】解：，则选项A正确； ， ， ∴， ∴是直角三角形，且，则选项B正确； ∴的面积为，则选项C正确； 设点到的距离为， ∴， ∴，则选项D错误． 2．如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】 直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形． 3．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在网格格点上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】利用勾股定理求出和，再根据勾股定理的逆定理即可求证． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 题型13勾股定理与折叠问题 1．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 2．如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 3．如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 3．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 3．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 2．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 3．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理逆定理可得，根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 又∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，； （2）解：由题意，得， ∴， 又∵，，且， 即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴． 题型18勾股定理与无理数 1．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 2．如图，数轴上点表示的数为3，过点作垂直于数轴，且，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点表示的数为______． 【答案】 【详解】解：如图， 根据数轴有：， ∵垂直于数轴，且， ∴在中，， 根据作图有：， ∴， ∴点表示的数为． 3．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个长3格宽1格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可；． 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，正方形边长为，则面积为 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可. 【详解】解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 2．如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 【答案】/厘米 【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： ∵底面周长为， ∴， ∵圆柱玻璃容器高， ∴， 在中，， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 3．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 2．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 3．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 2．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：选项A，最大边为，，，，不能构成直角三角形； 选项B，最大边为，，，，不能构成直角三角形； 选项C，最大边为，，，，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； 选项D，最大边为，，，，不能构成直角三角形． 二、填空题 4．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得到，结合点在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由图和题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点所表示的数为． 5．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 【答案】/45度 【分析】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接， 根据题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 由网格得， ∴． 6．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 三、解答题 7．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)米 (2)5米 【分析】（1）根据长方形的性质可得米，，在中，利用勾股定理求出的长，即可； （2）求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米， ∴米； （2）解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ∴再放出米的线． 8．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 9．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $