专题4.8 挑战压轴题【14个题型讲练+能力提升练 共38题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲练

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习讲义【题型讲练】 专题4.8 挑战压轴题『第四章 因式分解』 （题型讲练+能力提升练 共38题） 〔原卷版〕 题型分类讲练 1 题型讲练一 判断是否是因式分解 1 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 2 题型讲练三 公因式 3 题型讲练四 提公因式法分解因式 3 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 4 题型讲练六 平方差公式分解因式 5 题型讲练七 完全平方公式分解因式 6 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 7 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 8 题型讲练十 实数范围内分解因式 8 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 9 题型讲练十二 十字相乘法 10 题型讲练十三 分组分解法 12 题型讲练十四 因式分解的应用 13 能力提升训练 14 题型讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 题型讲练三 公因式 【典例分析】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【变式训练】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 题型讲练六 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·上海·期末）已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（23-24八年级下·安徽宿州·期中）配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ，当时，有最小值是2． 解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为______； (2)分解因式：______； (3)求代数式的最大或最小值． 【变式训练】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·北京大兴·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【变式训练】（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【变式训练】（25-26八年级上·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式：________． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【变式训练】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 题型讲练十二 十字相乘法 【典例分析】（24-25八年级上·江西上饶·月考）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【变式训练】【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 题型讲练十三 分组分解法 【典例分析】（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【变式训练】（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 题型讲练十四 因式分解的应用 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：40 “奇特数”，2020 “奇特数”．（填“是”或“不是”） (2)设两个连续奇数是和（其中是正整数），由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如下图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成大正方形图案，已知这个大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，若用、表示小矩形的两边长．观察图案后，甲同学认为：；乙同学认为：．则下列说法正确的是（   ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲错乙对 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．因式分解：______． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____． 7．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则__________． 8．（25-26八年级下·重庆·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习讲义【题型讲练】 专题4.8 挑战压轴题『第四章 因式分解』 （题型讲练+能力提升练 共38题） 〔解析版〕 题型分类讲练 1 题型讲练一 判断是否是因式分解 1 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 2 题型讲练三 公因式 5 题型讲练四 提公因式法分解因式 6 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 8 题型讲练六 平方差公式分解因式 10 题型讲练七 完全平方公式分解因式 12 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 14 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 16 题型讲练十 实数范围内分解因式 18 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 19 题型讲练十二 十字相乘法 21 题型讲练十三 分组分解法 25 题型讲练十四 因式分解的应用 27 能力提升训练 30 题型讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【规范解答】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C．，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D．，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键． 【变式训练】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据因式分解的概念逐项判断即可． 【规范解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； B．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意； C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； D．分解错误，故不符合题意． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【思路引导】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时， ， 当时， ∴是的因式 ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【规范解答】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 题型讲练三 公因式 【典例分析】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【规范解答】， 则余下的部分是x． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 【答案】 【思路引导】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【规范解答】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【思路引导】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得 ，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【规范解答】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) (4)63 【思路引导】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解； （2）仿照例子，即可变形得解； （3）依据题意，根据前面所得结果即可得解； （4）依据上述（3）结论，令，则可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）解： （3）解：由（1）、（2）可得，． （4）解：由（3）， 当时，． 令， ． ． 【考点剖析】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 【变式训练】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 【思路引导】根据平方差公式判断即可； 【规范解答】A．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C．能运用平方差公式分解，故此选项正确； D．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选： C． 【考点剖析】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 【答案】(1)，分解因式为： (2) 【思路引导】本题主要考查了平方差公式的应用、因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握平方差公式的因式分解方法，以及通过整体代入求解方程组是解题的关键． （1）通过观察图形，用大正方形面积减去重叠部分得到左侧图形面积，用小正方形面积减去重叠部分得到右侧图形面积．两者作差即可得到面积差，再对得到的代数式进行因式分解． （2）将第（1）题得到的因式分解结果代入已知条件差，结合求出的值，再通过解二元一次方程组求出和． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ； 分解因式为：； （2）解：，且， ， 解方程组：， 解得． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【规范解答】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·上海·期末）已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 【答案】(1)② (2)①证明见解析；②验证见解析 (3)7 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用完全平方公式计算整理原式即可得解； ②设四个连续奇数为、、、，作差即可得解； （3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ②设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． （3）解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（23-24八年级下·安徽宿州·期中）配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ，当时，有最小值是2． 解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为______； (2)分解因式：______； (3)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)有最大值4 【思路引导】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，因式分解是解题的关键． （1）由题意知，，可得，然后作答即可； （2）根据，作答即可； （3）由题意知，，由，可知，进而可得当时，有最大值，然后求解作答即可． 【规范解答】（1）解：多项式是一个完全平方式，， ； 故答案为：9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：由题意知，， ， ， 当时，有最大值4． 【变式训练】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路引导】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【规范解答】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【考点剖析】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·北京大兴·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【答案】61830 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【规范解答】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 【变式训练】（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【思路引导】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【思路引导】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 【变式训练】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)4045； (4)9800 【思路引导】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【考点剖析】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 题型讲练十二 十字相乘法 【典例分析】（24-25八年级上·江西上饶·月考）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可进行分解因式； （2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解； （3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式； 综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式． 【规范解答】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 【变式训练】【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【思路引导】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【规范解答】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 题型讲练十三 分组分解法 【典例分析】（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【答案】(1) (2) (3)S的最小值为6 【思路引导】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键． （1）根据题意分组分解即可； （2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值； （3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值． 【规范解答】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 题型讲练十四 因式分解的应用 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：40 “奇特数”，2020 “奇特数”．（填“是”或“不是”） (2)设两个连续奇数是和（其中是正整数），由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如下图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)是，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用、连续奇数求和的方法，以及新定义题型的解题思路；掌握平方差公式分解平方差，连续整数求和公式，结合新定义进行推导与计算是解题的关键． （1）根据奇特数的定义即可解答； （2）用平方差公式展开两个连续奇数的平方差，化简后判断是否为的倍数； （3）阴影面积是连续奇数平方差的和，用平方差公式分解后求和． 【规范解答】（1）解：∵， ∴40是“奇特数”； ∵，是两个连续偶数的平方差， ∴不是“奇特数”． （2）解：是．理由如下： ， 由这两个连续奇数构造的“奇特数”是的倍数． （3）解： ． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【思路引导】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【规范解答】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【思路引导】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【规范解答】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成大正方形图案，已知这个大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，若用、表示小矩形的两边长．观察图案后，甲同学认为：；乙同学认为：．则下列说法正确的是（   ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲错乙对 【答案】B 【思路引导】本题主要考查乘法公式与几何图形及因式分解的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后可得，，进而根据因式分解可进行求解． 【规范解答】解：由大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，可知：大正方形图案的边长为10，小正方形的边长为6， ∴，即， 根据完全平方公式可知：， ∴，， ∴， ； ∴甲对乙错； 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【规范解答】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 5．因式分解：______． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解： ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【规范解答】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 7．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则__________． 【答案】 【思路引导】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 8．（25-26八年级下·重庆·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【思路引导】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $