专题3.4 旋转综合问题【6个题型讲练+真题演练+能力提升练 共31题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义围绕“旋转综合问题”构建知识体系，通过题型分类梳理旋转中的规律性问题、坐标与旋转规律、线段面积角度综合等核心内容，以“典例分析+变式训练”框架呈现，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，题型讲练夯实基础，真题演练对接中考，能力提升挑战思维。如旋转规律性问题中，通过直角三角形连续旋转探究点坐标规律，培养空间观念与推理意识，助力不同学生进阶，为教师提供精准教学资源。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【题型讲练】 专题3.4 旋转综合问题『第三章 图形的平移与旋转』 （题型讲练+真题演练+能力提升练 共31题） 〔原卷版〕 题型分类讲练 1 题型讲练一 旋转中的规律性问题 1 题型讲练二 坐标与旋转规律问题 2 题型讲练三 线段问题（旋转综合题） 4 题型讲练四 面积问题（旋转综合题） 6 题型讲练五 角度问题（旋转综合题） 8 题型讲练六 其他问题（旋转综合题） 10 真题实战演练 12 能力提升训练 14 题型讲练一 旋转中的规律性问题 【典例分析】如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 题型讲练二 坐标与旋转规律问题 【典例分析】在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【变式训练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型讲练三 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 【变式训练2】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 题型讲练四 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请画出，并写出中的坐标为（_______，_______）； (2)连接，求的面积． 【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 【变式训练2】某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？    探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 题型讲练五 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式训练1】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式训练2】在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 题型讲练六 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【变式训练1】【问题背景】 在图（1）中，①～③的三个三角形，各自是由通过怎样的全等变换得到的？ 【问题探究】 （1）我们发现： Ⅰ：图（1）中，①号三角形能由通过一次轴对称得到，请在图（1）中画出对称轴． Ⅱ：图（1）中，②号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为 　　单位． Ⅲ：图（1）中，③号三角形能由通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：③号三角形能否由绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．分析过程如下： 已知线段与线段相等，分两种情况讨论： 第一种情况：当与对应时，如图（2），分别作与的中垂线交于点，连接、、、． ∵在的中垂线上 ∴ 同理， 又∵ ∴ ∴ ∴，即对应点与点形成的夹角相等 ∴线段可以看成由线段绕点旋转一次得到 第二种情况：当与对应时，如图（3），同理可证． 综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到． 【问题解决】 （2）如图（4），已知（且满足△DEF不能由通过平移得到）．现在来解决能由绕某个点通过一次旋转得到的问题： ①通过尺规作图找到旋转中心； ②证明：能由绕点通过一次旋转得到．（提示：只要证明关键的对应点到点的距离相等和关键的对应点与点形成的夹角相等）    【变式训练2】（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【真题演练1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    【真题演练3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．    (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 1．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，，点的坐标为，为边中线，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 4．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，……，则三角形⑫的直角顶点的坐标为_____． 6．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 7．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 8．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【题型讲练】 专题3.4 旋转综合问题『第三章 图形的平移与旋转』 （题型讲练+真题演练+能力提升练 共31题） 〔解析版〕 题型分类讲练 1 题型讲练一 旋转中的规律性问题 1 题型讲练二 坐标与旋转规律问题 4 题型讲练三 线段问题（旋转综合题） 7 题型讲练四 面积问题（旋转综合题） 14 题型讲练五 角度问题（旋转综合题） 19 题型讲练六 其他问题（旋转综合题） 27 真题实战演练 34 能力提升训练 41 题型讲练一 旋转中的规律性问题 【典例分析】如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【思路引导】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【规范解答】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】根据题意得出点坐标变化规律． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 题型讲练二 坐标与旋转规律问题 【典例分析】在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，每次旋转， 则， 即每旋转八次，点B对应点的位置循环出现， 又∵， ∴点在第一象限． ∵正方形的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍， ∴正方形的边长为2；正方形的边长为； 则正方形的边长为； …， 依次类推，正方形的边长为， 当时，正方形的边长为， ∴点的坐标为． 【变式训练1】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，， ，推出，根据，求出点的坐标即可． 【规范解答】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【变式训练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【规范解答】解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：B． 题型讲练三 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【规范解答】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ，， ，． （2）解：设旋转秒时，射线、射线第一次互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴旋转9秒时，射线、射线第一次互相垂直； （3）解：设射线转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①∵，， 当时，不符合题意； 当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 当时，不符合题意； 综上所述，射线转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 【变式训练2】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【思路引导】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【规范解答】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 题型讲练四 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请画出，并写出中的坐标为（_______，_______）； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2)4 【思路引导】本题考查旋转的知识，解题时注意旋转方向和旋转角度，掌握以上知识是解题的关键； （1）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得到旋转后的图形，然后可以得到的坐标； （2）在一个的正方形中，求出正方形的面积减去3个小三角形面积即可得到的面积； 【规范解答】（1）解：分别连接、、，然后分别逆时针旋转即可得到点、、，然后连接、、， 如图：， ∴； （2） 解：如图， ∵在一个的正方形中， ∴； 【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 【答案】或12 【思路引导】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【规范解答】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 【变式训练2】某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？    探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【思路引导】（1）通过旋转变换可得四边形面积等于直角梯形面积的一半，结合题意求直角梯形的面积即可求解； （2）通过旋转变换可得四边形面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质可求得，，根据角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得等边三角形的高，求出等边三角形的面积，即可求解； （3）①根据旋转的性质即可求解； ②通过旋转变换可得四边形面积等于等腰三角形面积，根据三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意“等补四边形”的面积． 故答案为：9． （2）解：过点作交于点，如图：    根据题意可得， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 则， 故“等补四边形”的面积． 故答案为：． （3）解：①由旋转的性质可知，， 故答案为：． ②：由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积的面积． 【考点剖析】本题考查了旋转变换，直角梯形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式等，解题的关键是利用旋转变换把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积． 题型讲练五 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【思路引导】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【规范解答】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式训练2】在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题 （1）过点G作于点H，得到，即可求得，再由，勾股定理求得； （2）延长交于点T，连接，求得，可得，，由，得到，即可得到 （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接、，当点P、Q、N、A四点共线时，的值最小，此时是等腰直角三角形的一条中线，即可求得的面积 【规范解答】（1）解：如图1，当旋转时，则， 过点G作于点H，则， 在等腰中，， 则， 则， 在等腰中， ； （2）证明：如图2，过点D作于点M，过点B作于点N， ∵， ∴ ∵，， ∴ 而， ∴ 又，， ∴四边形是矩形 ∴ 延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，将绕点B逆时针旋转得到， 连接，． 则，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当P，Q，N，A共线时，的值最小． 此时，，， 并且是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且 又， ∴，， ∴， ∴的面积． 题型讲练六 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 【变式训练1】【问题背景】 在图（1）中，①～③的三个三角形，各自是由通过怎样的全等变换得到的？ 【问题探究】 （1）我们发现： Ⅰ：图（1）中，①号三角形能由通过一次轴对称得到，请在图（1）中画出对称轴． Ⅱ：图（1）中，②号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为 　　单位． Ⅲ：图（1）中，③号三角形能由通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：③号三角形能否由绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．分析过程如下： 已知线段与线段相等，分两种情况讨论： 第一种情况：当与对应时，如图（2），分别作与的中垂线交于点，连接、、、． ∵在的中垂线上 ∴ 同理， 又∵ ∴ ∴ ∴，即对应点与点形成的夹角相等 ∴线段可以看成由线段绕点旋转一次得到 第二种情况：当与对应时，如图（3），同理可证． 综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到． 【问题解决】 （2）如图（4），已知（且满足△DEF不能由通过平移得到）．现在来解决能由绕某个点通过一次旋转得到的问题： ①通过尺规作图找到旋转中心； ②证明：能由绕点通过一次旋转得到．（提示：只要证明关键的对应点到点的距离相等和关键的对应点与点形成的夹角相等）    【答案】（1）Ⅰ：见解析；Ⅱ：8；（2）①见解析；②见解析 【思路引导】（1）根据轴对称和平移以及旋转的性质解答即可； （2）①根据题意分别作与的中垂线交于点即可； ②分别作与的中垂线交于点，连接、、、．根据中垂线的性质可得，，根据全等三角形的性质可得,,,根据全等三角形的判定和性质可得，，，，推得，即，，，，即可证明． 【规范解答】（1）Ⅰ：如图所示，直线是对称轴，    Ⅱ：②号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为8单位， 故答案为：8． （2）①图中点O即为所求的作的旋转中心．    作法：连接和，分别作与的中垂线交于点O． ②当与对应时，分别作与的中垂线交于点，连接、、、，如图：    ∵点为的中垂线和的中垂线的交点， ∴，， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述：对应点与旋转中心形成的夹角相等，即， 对应点到旋转中心的距离相等，即，，． ∴线段可以看成由线段绕点旋转一次得到； 线段可以看成由线段绕点旋转一次得到； 线段可以看成由线段绕点旋转一次得到． 故能由绕点通过一次旋转得到． 【考点剖析】本题考查了画对称轴，平移的性质、旋转的性质，画垂直平分线，全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称和平移以及旋转的性质解答． 【变式训练2】（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【思路引导】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【规范解答】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【真题演练1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【规范解答】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 【真题演练2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    【答案】 【思路引导】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】如图所示，    由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 【真题演练3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．    (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)图②：，图③： (3)1或7 【思路引导】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； （3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，    同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，,， 由，得； 如图②，，则,中，， ∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【考点剖析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键． 1．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，先求出的各点坐标，再求出，利用三角形的性质即可得点，即为点． 【规范解答】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据中心对称的性质求出顺时针或者逆时针转动的角度，然后根据极坐标的表示方法求解． 【规范解答】解：∵或或，点P关于点O成中心对称的点Q， ∴，，， ∴点Q的极坐标可以表示为或或． 3．如图所示，在中，，，点的坐标为，为边中线，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理求得，得出点的坐标为，由中点公式可得点的坐标为，根据每次旋转，次一个循环，得出点最后落点与起始点关于原点对称，即可求解． 【规范解答】解：且， 点的坐标为 由中点公式可得点的坐标为， 每次旋转，旋转次，相当于每次旋转，旋转次 每次旋转，次一个循环 ∵ ， 故点最后落点与起始点关于原点对称，坐标为 4．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点． 根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度． 【规范解答】解：∵为等边三角形，为的中点， ∴是边上的高，，，， ∴，， ∴在中，， ∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴， ∴在中，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，……，则三角形⑫的直角顶点的坐标为_____． 【答案】 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据图示，连续作旋转变换，经过三次后，直角顶点坐标为， ∵，， ∴三角形⑫的直角顶点的坐标为 ． 6．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【思路引导】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∴点； 故答案为：． 8．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)9 【思路引导】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； （3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 【答案】情境探究：（1）；（2）；类比猜想：或；拓展迁移： 【思路引导】本题考查了线段的和差、角的和差倍分、角的旋转等，关键是线段长度的计算及角的关系的求解； 【情境探究】（1）根据线段之间的和差来计算长度即可；（2）根据线段之间的和差来计算长度即可； 【类比猜想】根据三角板的角度及角度之间的倍数关系，分情况讨论求解； 【拓展迁移】根据边的旋转速度和时间得到角的表达式，再结合角的倍分关系分情况讨论求解． 【规范解答】【情境探究】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：； 【类比猜想】解：①当两块三角板没有重合部分，即时， ∵，， ， ， ； ②当两块三角板有重合部分，即时， ，， ， ， ， 综上所述，或． 【拓展迁移】的值为． 解：如图1，∵，， ， ，   ， ∴ ， ∴ ； 如图2，∵， ∴，， ， ∴ ， ∴； 如图3，∵，， ∴， ， ， ∴  ， ∴  ； 当时，，所以舍去； 如图4，因为，， ， ， 因为， ， ； 综上所述，的值为，，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $