专题02 认识概率（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

专题02 认识概率 3大高频考点概览 考点01 概率与统计综合（用频率估计概率） 考点02 随机事件的分类与概率意义理解 考点03 概率模型建构 地 城 考点01 概率与统计综合（用频率估计概率) 一、选择题 1．（2025秋•南京市期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 2．（2025秋•苏州市期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（　　） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．抛掷图钉，顶尖不着地 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 3．（2025春•南通市如皋市期末）袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 4．（2025春•徐州市期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 5．（2025秋•盐城市期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．0.600 6．（2025春•南京市鼓楼区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．检查“神舟十五号”载人飞船零件的质量采用抽样调查 B．调查长江中现有鱼的种类采用普查方式 C．“守株待兔”所描述的事件是随机事件 D．“若a是实数，则|a|≥0”是不可能事件 7．（2025春•无锡市江阴市期中）下列说法正确的是（　　） A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力 B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 二、填空题 8．（2025春•南京市玄武区期中）某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如表： 每批粒数m 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数n 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 0.940 0.884 0.910 0.902 0.899 0.901 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为 　 　 （精确到0.1）． 9．（2025春•苏州市姑苏区校级期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 针尖不着地的频数m 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 针尖不着地的频数 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）． 10．（2025春•江苏校级月考）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为 　 　 ．（精确到0.1） 11．（2025春•扬州市邗江区期末）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 　 　 .（精确到0.1） 三、解答题 12．（2025春•江苏省校级期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如表： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 … m：n 0.667 0.685 0.695 0.701 （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近 　 　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 　 　 附近（结果精确到0.1）； （3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 13．（2025春•徐州市铜山区期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 　 　 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 　 　 ；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是 　 　 ．（用“＞”连接） 地 城 考点02 随机事件的分类与概率意义理解 一、选择题 1．（2025春•南通市海安市期末）“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（　　） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 2．（2025春•盐城市东台市月考）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（　　） A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5 3．（2025春•无锡市江阴市期中）下列事件是必然事件的是（　　） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 4．（2025春•泰州市姜堰区期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 5．（2025•镇江市二模）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若x＞y，则﹣2x＞﹣2y D．若实数a≠0，则|a|＞0 6．（2025春•南京市期末）下列说法正确的是（　　） A．“没有水分，种子发芽”是随机事件 B．“在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C．“买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D．“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 7．（2025春•扬州市期中）下列事件中必然事件的个数有（　　） ①当x为实数时，|x|≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 8．（2025春•南京市建邺区校级月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 　 　 （填序号）． 9．（2025春•盐城市期中）一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是　 　 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 10．（2025春•无锡市惠山区校级月考）“矩形的对角线相等”是 　 　 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 11．（2025春•泰州市靖江市期中）下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，|a|＜0；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 　 　 （填写序号）． 3、 解答题 12．（2025春•泰州市姜堰区期末）在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数n 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数m 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在 　 　 附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个； （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是 　 　 （填写所有正确结论的序号）． ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 地 城 考点03 概率模型建构 一、选择题 1．（2025春•南京期末）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（　　） A．朝上一面的数字是2 B．朝上一面的数字是偶数 C．朝上一面的数字是3的倍数 D．朝上一面的数字不小于5 2．（2025春•扬州市高邮市期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 3．（2025春•苏州期末）小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•常州市期中）用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（　　） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 二、填空题 5．（2025春•苏州市校级期中）如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　 　 ． 6．（2025春•苏州市姑苏区校级期中）一个袋中装有2个红球、3个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出黑球的概率是 　 　 ． 7．（2025春•苏州市工业园区校级期中）口袋中有5个黄球和m个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则m＝ 　 　 ． 8．（2025春•无锡市江阴市校级月考）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有　 　 个． 9．（2025春•扬州市宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中　 　 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 10．（2025春•扬州市月考）任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性　 　 有一个是4的倍数的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（2025春•苏州市工业园区校级期中）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是　 　 ． 12．（2025春•盐城市期中）如图，转动右面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 　 　 ． 三、解答题 13．（2025春•苏州市姑苏区期末）在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是 　 　 ； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 14．（2025春•泰州市姜堰区期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）P（摸到黑球）＝ 　 　 ； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 认识概率 3大高频考点概览 考点01 概率与统计综合（用频率估计概率） 考点02 随机事件的分类与概率意义理解 考点03 概率模型建构 地 城 考点01 概率与统计综合（用频率估计概率) 一、选择题 1．（2025秋•南京市期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】C 【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【解答】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黑球的概率为0.4， 抽到白球的概率为0.3， 抽到蓝球的概率为0.2， 抽到红球的概率为0.1， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球． 故选C． 2．（2025秋•苏州市期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（　　） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．抛掷图钉，顶尖不着地 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” 【答案】A 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.6左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【详解】解：A、抛图钉顶尖不着地的概率需通过实验确定，但实际可能接近0.6，符合题意； B、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； D、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，不符合题意． 故选A． 3．（2025春•南通市如皋市期末）袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】A 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率约为0.3，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵随机从中摸出一个球，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3， ∴从中摸出一个红球的概率为0.3， ∴估计袋中红球的个数为100×0.3＝30（个）． 故选A． 4．（2025春•徐州市期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 【答案】D 【分析】先由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个出选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”的概率为故不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； D、从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球的概率为，故符合题意； 故选D． 5．（2025秋•盐城市期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．0.600 【答案】B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，结合图形详解即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 6．（2025春•南京市鼓楼区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．检查“神舟十五号”载人飞船零件的质量采用抽样调查 B．调查长江中现有鱼的种类采用普查方式 C．“守株待兔”所描述的事件是随机事件 D．“若a是实数，则|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查，随机时间，绝对值，绝对值的非负性，逐一判断即可详解． 【详解】解：A、检测“神舟十五号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故本选项不符合题意； B、调查长江中现有鱼的种类采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、“守株待兔”所描述的事件是随机事件，故本选项符合题意； D、若a是实数，则|a|≥0是必然事件，故本选项不符合题意； 故选C． 7．（2025春•无锡市江阴市期中）下列说法正确的是（　　） A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力 B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 【答案】C 【分析】结合选项根据样本容量、抽样调查和随机事件的概念详解即可． 【详解】解：A、为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，本选项错误； B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有一次中奖，本选项错误； C、了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，本选项正确； D、因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，本选项错误． 故选C． 二、填空题 8．（2025春•南京市玄武区期中）某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如表： 每批粒数m 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数n 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 0.940 0.884 0.910 0.902 0.899 0.901 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为 　 　 （精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】根据频率估计概率求解即可． 【详解】解：由表格知，该种水稻种子发芽的概率的估计值为0.9， 故答案为0.9． 9．（2025春•苏州市姑苏区校级期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 针尖不着地的频数m 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 针尖不着地的频数 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）． 【答案】0.6 【分析】由表中数据可判断频率在0.61左右摆动，于是利于频率估计概率即可判断． 【详解】解：由表可知，随着抛掷次数的增加，针尖不着地的频数逐渐稳定在0.6附近， 故“针尖不着地的”的概率的估计值是0.6． 故答案为0.6． 10．（2025春•江苏校级月考）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为 　 　 ．（精确到0.1） 【答案】0.8 【分析】根据图形可以发现，在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率． 【详解】解：由图形可得， 可估计这种树苗移植成活的概率约是0.8， 故答案为0.8． 11．（2025春•扬州市邗江区期末）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 　 　 .（精确到0.1） 【答案】0.1 【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以可估计柑橘损坏率大约是0.1， 故答案为0.1． 三、解答题 12．（2025春•江苏省校级期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如表： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 … m：n 0.667 0.685 0.695 0.701 （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近 　 　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 　 　 附近（结果精确到0.1）； （3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】解：（1）由表格很容易发现m：n的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7． （2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， 故答案为：0.4． （3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：0.4， 解得：a＝10π． 13．（2025春•徐州市铜山区期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 　 　 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 　 　 ；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是 　 　 ．（用“＞”连接） 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得P1、P2、P3的值后比较大小即可． 【详解】解：（1）a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148； 故答案为：0.305；148； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3； 故答案为：0.3，0.3； （3）P1；P2；P3， ∴P2＞P1＞P3， 故答案为：P2＞P3＞P1． 地 城 考点02 随机事件的分类与概率意义理解 一、选择题 1．（2025春•南通市海安市期末）“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（　　） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件， 故选B． 2．（2025春•盐城市东台市月考）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（　　） A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【分析】根据所有可能的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况， 即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种， 故点数小于5的可能性较大， 故选D． 3．（2025春•无锡市江阴市期中）下列事件是必然事件的是（　　） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意； B、买彩票中奖，是随机事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，不符合题意； D、天崩地裂，是不可能事件，不符合题意； 故选A． 4．（2025春•泰州市姜堰区期末）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选C． 5．（2025•镇江市二模）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若x＞y，则﹣2x＞﹣2y D．若实数a≠0，则|a|＞0 【答案】D 【分析】化简绝对值，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断如下： A、掷一枚骰子，点数是6的一面朝上，原说法是随机事件，不符合题意； B、下雨天，不一定每个人都打着雨伞，原说法是随机事件，不符合题意； C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，原说法是不可能事件，不符合题意； D、若实数a≠0，则|a|＞0，是必然事件，符合题意． 故选D． 6．（2025春•南京市期末）下列说法正确的是（　　） A．“没有水分，种子发芽”是随机事件 B．“在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C．“买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D．“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 【答案】B 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解：“没有水分，种子发芽”是不可能事件，则A不符合题意， “在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件，则B符合题意， “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，则C不符合题意， “抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，则D不符合题意， 故选B． 7．（2025春•扬州市期中）下列事件中必然事件的个数有（　　） ①当x为实数时，|x|≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据概率的意义及必然事件的性质逐个判断即可． 【详解】解：①当x为实数时，|x|≥0，是必然事件； ②打开数学课本时刚好翻到第12页，是随机事件； ③13个人中至少有2人的生日是同一个月，是必然事件． 所以是必然事件的有2个． 故选C． 二、填空题 8．（2025春•南京市建邺区校级月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 　 　 （填序号）． 【答案】① 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可，注意不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故本选项正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故此选项错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项错误，不符合题意； 故答案为①． 9．（2025春•盐城市期中）一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是　 　 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得解． 【详解】解：根据题意可知，从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是随机事件． 故答案为随机． 10．（2025春•无锡市惠山区校级月考）“矩形的对角线相等”是 　 　 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 【答案】必然 【分析】根据事件的分类和矩形的性质判断即可． 【详解】解：矩形的对角线相等，故“矩形的对角线相等”是必然事件． 故答案为必然． 11．（2025春•泰州市靖江市期中）下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，|a|＜0；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 　 　 （填写序号）． 【答案】①③ 【分析】根据事件的分类对各事件进行逐一分析，根据事先能确定其一定发生或一定不会发生即为确定性事件可得知． 【详解】解：∵①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件；④是随机事件； ∴确定事件是①③， 故答案为①③． 3、 解答题 12．（2025春•泰州市姜堰区期末）在某次寻宝比赛中，系统每次提供40个神秘宝箱，它们形状、大小和质地完全相同（里面装有金币等宝物）．小明进行以下试验：每次试验时，系统随机出现宝箱，然后他随机选取一个宝箱，打开并记录宝物．重复此过程多次，下表记录了试验的部分统计数据： 抽取的次数n 50 100 200 400 800 1000 2000 … 抽到金币的次数m 13 24 50 98 200 251 498 … 抽到金币的频率 0.260 0.240 0.250 0.245 0.250 0.251 0.249 … （1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在 　 　 附近摆动；（填常数，精确到0.01） （2）试估算，该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱有多少个； （3）下面事件中，与（1）中事件发生的可能性相同的事件是 　 　 （填写所有正确结论的序号）． ①买一张电影票，座位号是奇数； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内． 【分析】（1）由表中的实验数据得到选到装有金币宝箱的频率越来越接近0.25； （2）放金币的宝箱有x个，利用概率公式得到0.25，然后求出x即可； （3）分别利用概率公式计算出4个随机事件的概率，从而可判断与（1）中事件发生的可能性相同的事件． 【详解】解：（1）该比赛中，当n很大时，选到装有金币宝箱的频率在0.25附近摆动； 故答案为：0.25； （2）设放金币的宝箱有x个， 由（1）得选到装有金币宝箱的概率为0.25， 所以0.25， 解得x＝10， 即该系统设定的40个宝箱里放金币的宝箱估计有10个； （3）①买一张电影票，座位号是奇数的概率0.5； ②从一个装有1个白球，2个红球，5个黄球（这些球除颜色外完全相同）的不透明袋中，摸到红球的概率0.25； ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率0.25； ④一个质地均匀的圆形转盘，被分割成4个面积相等的扇形区域，分别标注1，2，3，4，任意转动转盘1次，指针落在标注1的区域内的概率0.25， 所以与（1）中事件发生的可能性相同的事件是②③④． 故答案为：②③④． 地 城 考点03 概率模型建构 一、选择题 1．（2025春•南京期末）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（　　） A．朝上一面的数字是2 B．朝上一面的数字是偶数 C．朝上一面的数字是3的倍数 D．朝上一面的数字不小于5 【答案】B 【分析】根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：朝上的面的数字是2的概率是； 朝上的面的数字是偶数的概率是； 朝上的面的数字是3的倍数的概率是； 朝上的面的数字不小于5的概率是． 故选B． 2．（2025春•扬州市高邮市期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黑球和3个红球， 其中红球最多，故摸到红球的概率最大． 故选C． 3．（2025春•苏州期末）小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学4页， ∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为． 故选B． 4．（2025春•常州市期中）用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（　　） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 【答案】B 【分析】根据随机事件的定义详解即可． 【详解】解：A、两个骰子面朝上的点数和为奇数，是随机事件，不符合题意； B、两个骰子面朝上的点数差为6，是不可能事件，符合题意； C、两个骰子面朝上的点数积为偶数，是随机事件，不符合题意； D、两个骰子面朝上的点数商为1，是随机事件，不符合题意， 故选B． 二、填空题 5．（2025春•苏州市校级期中）如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　 　 ． 【答案】13 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分， ∴估计黑色部分占这个区域的， ∴黑色部分的面积为2013． 故答案为13． 6．（2025春•苏州市姑苏区校级期中）一个袋中装有2个红球、3个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出黑球的概率是 　 　 ． 【答案】 【分析】用黑球的个数除以所有球的个数即可求得摸到黑球的概率． 【详解】解：∵共有2+3+5＝10个球，其中黑球有3个， ∴从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是． 故答案为：． 7．（2025春•苏州市工业园区校级期中）口袋中有5个黄球和m个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则m＝ 　 　 ． 【答案】3 【分析】根据需要的情况数和总情况数之间的关系进行详解． 【详解】解：， 8m＝3m+15， 5m＝15， m＝3， 故答案为3． 8．（2025春•无锡市江阴市校级月考）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有　 　 个． 【答案】6 【分析】根据摸到红球的频率估计出摸出红球的概率，根据概率公式求出总球数，进而得出白球个数即可． 【详解】解：根据题意得： 2÷0.25﹣2＝8﹣2＝6， 则口袋中白球个数很可能是6个． 故答案为6． 9．（2025春•扬州市宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中　 　 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 【答案】白色 【分析】用黑色小正方形和白色小正方形的个数分别除以正方形的总个数可得． 【详解】解：∵共有36个小正方形，其中黑色正方形的有16个，白色正方形有20个， ∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是， 任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是， ∵， ∴击中白色的小正方形的概率较大． 故答案为白色． 10．（2025春•扬州市月考）任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性　 　 有一个是4的倍数的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】根据题意判断出是3的倍数的可能性和是4的倍数的可能性，进而求解即可． 【详解】解：任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性为1，是4的倍数的可能性为0到1， ∴有一个是3的倍数的可能性＞有一个是4的倍数的可能性． 故答案为＞． 11．（2025春•苏州市工业园区校级期中）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是　 　 ． 【答案】 【分析】第6位数字共有0～9这10种等可能结果，其中一次解锁该手机密码的只有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：第6位数字共有0～9这10种等可能结果，其中一次解锁该手机密码的只有1种结果， 所以一次解锁该手机密码的概率为， 故答案为． 12．（2025春•盐城市期中）如图，转动右面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 　 　 ． 【答案】②①③ 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较阴影部分的面积即可． 【详解】解：指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 故答案为②①③． 三、解答题 13．（2025春•苏州市姑苏区期末）在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． （1）将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是 　 　 ； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【分析】（1）利用摸到红球的概率表示摸到红球的可能性； （2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：； （2）∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得m＝3， 即m的值为3． 14．（2025春•泰州市姜堰区期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）P（摸到黑球）＝ 　 　 ； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 【分析】（1）根据不可能事件的概率为0即可得出答案； （2）根据概率公式计算出各自的概率，然后判断即可； （3）使得球的数量相同即可得到概率相同． 【详解】解：（1）∵从中任意摸出1个球，摸到黑球是不可能事件， ∴P（摸到黑球）＝0； 故答案为：0； （2）∵P（摸到白球），P（摸到黄球），P（摸到红球）， ， ∴这些事件发生的可能性从大到小排序为③②①； （3）再添加2个白球、1个黄球，摸到这三种颜色的球的概率相等． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $