专题01 整式的乘法 10大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

专题01 整式的乘法 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型6 完全平方公式（重点） 题型2 幂的乘方运算及其逆用 题型7 乘法公式的混合应用与逆用（难点） 题型3 积的乘方运算及其逆用（常考点） 题型8 整式的化简求值（重点） 题型4多项式乘多项式（重点，常考点） 题型9 与几何图形的综合应用（重点） 题型5 平方差公式（重点） 题型10 规律探索问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1.（25-26七年级下·广东清远·月考）若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2.（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知，则________． 【答案】81 【分析】由得到，再利用同底数幂的乘方运算法则将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，，则______； 【答案】 【分析】利用同底数幂逆用得出 ，代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 将，代入得∶ ． 题型二 幂的乘方运算及其逆用（共3小题） 4.（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用幂的乘方法则计算，把底数化为相同的，再比较指数即可． 【详解】解：，，， ， ． 5.（25-26七年级下·广东茂名·月考）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： …，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 【答案】 【分析】先根据已知计算归纳出多项式乘法的一般规律，再结合已知等式推导出，求出或，结合求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据已知计算可归纳规律得：， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 题型三 积的乘方运算及其逆用（共4小题） 7.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 8.（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 【答案】2 【分析】将拆分为，再结合积的乘方法则计算. 【详解】解： ． 9．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四 多项式乘多项式（共4小题） 11．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 题型五 平方差公式（共3小题） 15．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 16．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式的应用．先利用乘法交换律调整因式顺序．再连续运用平方差公式化简等号左边．对比等式两边对应项的次数即可求出的值． 【详解】解： 又 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ． 题型六 完全平方公式（共4小题） 18（2026·河北沧州·二模）计算：，则被“”盖住的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 则被“”盖住的算式为． 19．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）利用整式乘法公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行简便计算即可； （2）利用平方差公式进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 乘法公式的混合应用与逆用（共5小题） 22．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则等于______． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，将和的值代入变形后的式子，即可求出的值． 【详解】根据完全平方公式，可得：， 对公式变形得：， 将，代入上式得：． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）若x满足，则的值为_______． 【答案】80 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先利用偶次方的性质得到，再通过换元法设，，得到与的值，再利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】解：由偶次方的性质可知 设， 25．（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：， ∴． 26．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知，求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ， ∴原式； （2）解：． 题型八 整式的化简求值（共4小题） 27．（25-26八年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 28．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 29．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 30．（2026·甘肃兰州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解： 当，时，． 题型九 与几何图形的综合应用（共6小题） 31．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 32．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）． (1)求绿化面积是多少平方米 (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘法、完全平方公式及代数式求值．解题的关键是利用绿化面积等于长方形面积减去正方形面积，正确列式并化简，再代入数值求解． （1）先分别表示出长方形和正方形的面积，再相减并化简； （2）将代入第（1）问化简后的代数式直接计算． 【详解】（1）解：由题意，长方形空地的面积为，中间正方形小景点的边长为，面积为， 绿化面积为： ， ， ， ； 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时， ， ， ． 答：当时，绿化面积为150平方米． 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．    (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系________． (2)利用（）中的结论解决下列问题，，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （）利用（）的结论进行解答即可； （）设，，则，根据，图中阴影部分面积为，可得，，由（）可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（）可得，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设，，则， ∵，图中阴影部分面积为， ∴，， 由（）可得，； ∴， ∵， ∴，即， ∴的值为． 34．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)36 (3) 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）根据平方差公式求出，即可求解； （3）将式子中的4化为，运用平方差计算即可． 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解： ． 35．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3)5050 【分析】（1）用代数式表示出图1中剩余部分的面积及图2中长方形的面积，根据这两部分面积相等即可得出答案； （2）利用（1）中的结论代入进行计算即可； （3）利用（1）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即， 将剩余的部分拼成一个长方形，则长方形的长为，宽为，因此面积为， ； （2）解： ，， ， ； （3）解： ． 36．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． （2）解：∵ ∴当，时， 解得：． （3）解： ． 题型十 规律探索问题（共5小题） 37．（25-26七年级下·江苏南京·月考）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）仿照题干计算即可； （2）根据（1）作答即可； （3）将化为，根据（2）的规律计算即可； （4）根据（1）求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 （3）解： （4）解：由（1）知 ∵ ∴ 即 ∴ 当时， 当时， 38．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． (2)【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二项式定理、多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项式展开式的规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，令代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【详解】（1）解：由图表可得：； （2）解：①由图表得： ，，，，，，， ； ②令，则变形为 ， 即， ． 39．（25-26七年级下·山东青岛·月考）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题干中给出的等式，即可得出规律； （2）①将原式化为，利用规律求解即可；②根据规律得到，进而得到，再进行计算即可. 【详解】（1）解：由题意可知：； （2）解：①原式 ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，. 40．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 41．（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明见解析 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． $专题01 整式的乘法 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型6 完全平方公式（重点） 题型2 幂的乘方运算及其逆用 题型7 乘法公式的混合应用与逆用（难点） 题型3 积的乘方运算及其逆用（常考点） 题型8 整式的化简求值（重点） 题型4多项式乘多项式（重点，常考点） 题型9 与几何图形的综合应用（重点） 题型5 平方差公式（重点） 题型10 规律探索问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1.（25-26七年级下·广东清远·月考）若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 2.（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知，则________． 3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，，则______； 题型二 幂的乘方运算及其逆用（共3小题） 4.（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5.（25-26七年级下·广东茂名·月考）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： …，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 题型三 积的乘方运算及其逆用（共4小题） 7.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 8.（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 9．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 题型四 多项式乘多项式（共4小题） 11．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若规定新运算：，则当时，________． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算： 13．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 题型五 平方差公式（共3小题） 15．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则_____． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）计算：． 题型六 完全平方公式（共4小题） 18（2026·河北沧州·二模）计算：，则被“”盖住的算式为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 20．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）利用整式乘法公式计算： (1)； (2) 题型七 乘法公式的混合应用与逆用（共5小题） 22．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 23．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则等于______． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）若x满足，则的值为_______． 25．（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 26．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知，求： (1)的值； (2)求的值． 题型八 整式的化简求值（共4小题） 27．（25-26八年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中． 28．（25-26七年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 29．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 30．（2026·甘肃兰州·一模）先化简，再求值：，其中，． 题型九 与几何图形的综合应用（共6小题） 31．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 32．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）． (1)求绿化面积是多少平方米 (2)求出当，时的绿化面积． 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．    (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系________． (2)利用（）中的结论解决下列问题，，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）． 34．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 35．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 36．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 题型十 规律探索问题（共5小题） 37．（25-26七年级下·江苏南京·月考）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 38．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． (2)【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 39．（25-26七年级下·山东青岛·月考）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 40．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 41．（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． $