专题02 实数 13大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

专题02 实数 题型1 利用算术平方根的非负性解题 题型8 实数与数轴（重点） 题型2 利用平方根解方程 题型9 实数的混合运算（常考点） 题型3 算术平方根的实际应用 题型10 程序设计与实数运算 题型4 立方根的求解 题型11 新定义下的实数运算（难点） 题型5 立方根的实际应用 题型12 与实数运算相关的规律题（难点） 题型6 算术平方根和立方根的综合应用（重点） 题型13 无理数整数部分的有关计算 题型7 实数的分类 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用算术平方根的非负性解题（共4小题） 1.（25-26七年级下·广东江门·月考）已知和互为相反数． (1)分别求出x，y的值； (2)求出的平方根． 2.（25-26八年级下·山东淄博·月考）已知实数a、b、c满足．求方程的根． 3．（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 题型二 利用平方根解方程（共4小题） 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 6．（25-26七年级下·河南周口·月考）求下列各式中的x． (1) (2) 7．（25-26七年级下·北京·月考）求等式中的值：． 8．（25-26七年级下·云南玉溪·月考）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型三 算术平方根的实际应用（共3小题） 9．（25-26七年级下·全国·期中）汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 10．（25-26七年级下·广东惠州·月考）我们都学过如图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）． (1)已知小亮站在鹳雀楼上，当时，求的长； (2)已知小明站在鹳雀楼下，当时，小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由． 11．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的行进速度（单位：），表示海水的深度（单位：），表示重力加速度近似取．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 题型四 立方根的求解（共3小题） 12．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）已知实数满足，完成下列问题： (1)分别求出的值； (2)求的算术平方根，以及的立方根． 13．（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： 因为，，又因为，所以．所以能确定的立方根是个两位数． 的个位数是，又因为，能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．求的立方根． 14．（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 题型五 立方根的实际应用（共3小题） 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 题型六 算术平方根和立方根的综合应用（共4小题） 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 19．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，求的平方根． 20．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1．求的值． 21．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 题型七 实数的分类（共3小题） 22．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 23．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 24．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 题型八 实数与数轴（共4小题） 25．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 26．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 27．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 28．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）先化简，再求值：，其中实数、在数轴上的位置如图所示． 题型九 实数的混合运算（共4小题） 29．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）计算：． 30．（2026·甘肃陇南·一模）计算：． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 32．（24-25七年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 题型十 程序设计与实数运算（共4小题） 33．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 35．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 36．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 题型十一 新定义下的实数运算（共4小题） 37．（25-26七年级下·北京·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． (1)仿照以上方法计算：____________；____________． (2)若，写出满足题意的的整数值____________． (3)对100连续求根整数，____________次之后结果为1． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____________． 38．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 39．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 40．（25-26七年级下·安徽六安·月考）新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐数”，其结果中最小的整数称为最小算术平方根，最大的整数称为最大算术平方根． 例如：这三个数，，，，其结果都是整数，所以这三个数是“和谐数”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是． (1)请说明这三个数是“和谐数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根； (2)若这三个数是“和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 41．（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 题型十二 与实数运算相关的规律题（共4小题） 42．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 43．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 44．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 45．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 题型十三 无理数整数部分的有关计算（共4小题） 46．（24-25七年级下·天津东丽·月考）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 47．（25-26七年级下·河南信阳·月考）若，且的平方根是它本身，是的整数部分． (1)分别求出的值； (2)求的平方根． 48．（25-26七年级下·山东济宁·月考）已知是16的平方根，是的整数部分，且，求的值． 49．（25-26七年级下·福建莆田·月考）任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1． (1)无理数的整数部分是________； (2)实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分． $专题02 实数 题型1 利用算术平方根的非负性解题 题型8 实数与数轴（重点） 题型2 利用平方根解方程 题型9 实数的混合运算（常考点） 题型3 算术平方根的实际应用 题型10 程序设计与实数运算 题型4 立方根的求解 题型11 新定义下的实数运算（难点） 题型5 立方根的实际应用 题型12 与实数运算相关的规律题（难点） 题型6 算术平方根和立方根的综合应用（重点） 题型13 无理数整数部分的有关计算 题型7 实数的分类 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用算术平方根的非负性解题（共4小题） 1.（25-26七年级下·广东江门·月考）已知和互为相反数． (1)分别求出x，y的值； (2)求出的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据相反数的定义列方程，再结合绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）将（1）的结果代入求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：和互为相反数， ， ，， ，， ，； （2）解：由（1）可知，，， ， 的平方根为． 2.（25-26八年级下·山东淄博·月考）已知实数a、b、c满足．求方程的根． 【答案】或1 【分析】由非负数的性质可得或、、，然后分两种情况得到一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴或，，， 当，，时，方程化为，解得； 当，，时，方程化为，解得． 综上，方程的根为或1． 3．（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质和代数式求值，掌握几个非负数的和为时，每个非负数都为是解题的关键． 绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为时，这两个非负数都为，由此建立方程求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，且， ∴ 即 解得：，， 当，时， 原式 ． 题型二 利用平方根解方程（共4小题） 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， 或， 或． 6．（25-26七年级下·河南周口·月考）求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把方程两边同时除以9，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 7．（25-26七年级下·北京·月考）求等式中的值：． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 8．（25-26七年级下·云南玉溪·月考）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用平方根的性质解方程即可得； （2）利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ∴或． 题型三 算术平方根的实际应用（共3小题） 9．（25-26七年级下·全国·期中）汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 【答案】会发生侧滑事故，见解析 【分析】先计算汽车在弯道上临界速度，比较求解即可． 【详解】解：该辆汽车会发生侧滑事故． 根据题意得，， ． ， 以的速度驶入该弯道时，会发生侧滑事故． 10．（25-26七年级下·广东惠州·月考）我们都学过如图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）． (1)已知小亮站在鹳雀楼上，当时，求的长； (2)已知小明站在鹳雀楼下，当时，小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由． 【答案】(1) (2)能看到；理由见解析 【分析】（1）把代入公式计算即可． （2）把代入公式计算即可． 再比较大小即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：能看到，理由如下： ， ∵， ∴小明能看到距离鹳雀楼处的黄河． 11．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的行进速度（单位：），表示海水的深度（单位：），表示重力加速度近似取．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，直接把，代入中计算即可求解，正确计算是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， 答：海啸行进的速度是． 题型四 立方根的求解（共3小题） 12．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）已知实数满足，完成下列问题： (1)分别求出的值； (2)求的算术平方根，以及的立方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根为；的立方根为． 【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴的立方根为． 13．（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： 因为，，又因为，所以．所以能确定的立方根是个两位数． 的个位数是，又因为，能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．求的立方根． 【答案】 【分析】仿照例题，先判断立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得解． 【详解】解：，，， ． 能确定的立方根是个两位数． 的个位数是3，， 能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数， 而， 则， ． 能确定的立方根的十位数是， 的立方根是． 14．（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 题型五 立方根的实际应用（共3小题） 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用（共4小题） 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质，解二元一次方程组，利用正数的平方根互为相反数建立方程，结合算术平方根的定义求解参数，再计算表达式的值求立方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，整理得 又的算术平方根是， 解方程组， 解得 则 的立方根为． 19．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根，立方根，解二元一次方程组，根据算术平方根和立方根的定义，列出二元一次方程组，求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3，的立方根是1， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 20．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1．求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组． 根据立方根和算术平方根的定义，列出关于和的方程，解方程组求出和的值，再计算． 【详解】解：∵的立方根是， ∴． ∵的算术平方根是， ∴． 于是，得方程组： ， 化简得： ， 将两方程相加： ， ， ， 代入： ， ， ∴． 21．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 题型七 实数的分类（共3小题） 22．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 【答案】(1)0，， (2)，，，， (3)，0，，，，，， (4)，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，…}； （2）解：分数集合：{，，，，，…}； （3）解：有理数集合：{，0，，，，，，，…}； （4）解：无理数集合：{，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），…}． 23．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 24．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 题型八 实数与数轴（共4小题） 25．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)，，图见解析 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先通过割补法计算出阴影正方形的面积为，从而得到其边长为；再构造长度为的线段，在数轴上画出表示的点． 【详解】（1）解：∵正方形面积等于边长的平方，已知大正方形面积为， ∴边长为​， 由题意，大正方形边长就是小正方形对角线长，因此小正方形对角线长为； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， ∴点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为，面积； 四周有个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为和，面积和， 因此阴影正方形面积， 正方形面积等于边长平方，因此边长， 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，如解图所示： 26．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2)见详解 (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：如图所示：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 27．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【答案】 【分析】直接利用数轴得出，再化简求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴ ． 28．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）先化简，再求值：，其中实数、在数轴上的位置如图所示． 【答案】； 【分析】先利用整式的加减法则化简，再利用数轴得出、的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 由数轴可知，， ∴原式． 题型九 实数的混合运算（共4小题） 29．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）计算：． 【答案】5 【分析】根据算术平方根的定义，分别计算、、的值，再算除法，最后算加减即可． 【详解】原式． 30．（2026·甘肃陇南·一模）计算：． 【答案】 【分析】分别计算立方根、算术平方根、绝对值和乘方，最后计算加减法，即可解题． 【详解】解：原式 ． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．（24-25七年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算立方根和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 程序设计与实数运算（共4小题） 33．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 35．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 36．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 题型十一 新定义下的实数运算（共4小题） 37．（25-26七年级下·北京·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． (1)仿照以上方法计算：____________；____________． (2)若，写出满足题意的的整数值____________． (3)对100连续求根整数，____________次之后结果为1． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（）考查根整数的定义与无理数的估算； （）考查根整数定义的应用与不等式的求解； （）考查根整数的连续运算； （）考查逆向思维与根整数定义的综合应用． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， 即， ∴； （2）解：根据定义：由， 得：， ∴平方得， ∵为整数， ∴满足条件的为； （3）解：对连续运算： 第一次：， 第二次：， 第三次：， 因此共需要次； （4）解：逆推求最大值： 三次运算后得， 说明第二次运算的结果满足，即， ∵需要进行次运算， ∴第二次运算的结果不能为，即，故， 要使最终最大，取的最大值； 说明第一次运算的结果满足，即，得，取的最大值； 说明原数满足，即，平方得， 因此最大正整数为． 38．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先判断，再根据新定义可得 ，再解方程可得答案； （2）由，且，可得，，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义运算： ∵，， ∴ ， 解得； （2）解：∵，且， ∴，， ∴根据新定义运算：． 39．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，见解析 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”． （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得． （3）解：令为“和倍数”设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∵，符合的倍数的特征， 故任意一个“和倍数”都能被整除． 40．（25-26七年级下·安徽六安·月考）新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐数”，其结果中最小的整数称为最小算术平方根，最大的整数称为最大算术平方根． 例如：这三个数，，，，其结果都是整数，所以这三个数是“和谐数”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是． (1)请说明这三个数是“和谐数”，并求出最小算术平方根与最大算术平方根； (2)若这三个数是“和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)或 【分析】（1）根据“和谐数”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵都是整数， ∴这三个数是“和谐数”，最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）解：∵， ∴当最小，最大时，，解得； 当最小，最大时，，解得（舍）； 当最小，最大时，，解得； 综上：或. 41．（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)；； (3) 【分析】（1）根据定义，运用整式的运算法则计算即可； （2）根据共轭复数的定义可得a，b的值，即可求出； （3）根据定义求出，结合得到，的值，进而根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：①； ②． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴，即，， ∴． （3）解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴． 题型十二 与实数运算相关的规律题（共4小题） 42．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式为，证明见解析 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 43．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 44．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 45．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 题型十三 无理数整数部分的有关计算（共4小题） 46．（24-25七年级下·天津东丽·月考）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为； (3)的值是． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 的立方根是， ， ， 解得； 是的算术平方根， ， ． （2）解：， 的平方根为． （3）解：由（1）得， ， ， 整数部分，小数部分， ． 47．（25-26七年级下·河南信阳·月考）若，且的平方根是它本身，是的整数部分． (1)分别求出的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据，得出，求出，根据的平方根是它本身，得出，得出答案；根据，得出的整数部分，即可得出答案； （2）先求出，再根据平方根定义得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 解得：， ∵的平方根是它本身，只有0的平方根是它本身， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：把代入得： ， 的平方根是． 48．（25-26七年级下·山东济宁·月考）已知是16的平方根，是的整数部分，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义求出x的所有可能值．再估算的大小得到y的值，结合，得到，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是16的平方根， ∴． ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（25-26七年级下·福建莆田·月考）任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1． (1)无理数的整数部分是________； (2)实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分． 【答案】(1)2 (2)44 【分析】（1）首先估算得到，然后求解即可； （2）首先由算术平方根的非负性得到，得到，然后利用平方的非负性得到，，得，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分是2， （2）解：，， ， ， ， ，， ， ∴得，则， 解得， ∵ ∴ 的算术平方根的整数部分是44． $