专题4.6 十字相乘法【10个题型讲练+真题演练+能力提升分层练 共53题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义以“十字相乘法”为核心，系统梳理因式分解知识体系，通过表格归纳分组分解法的分组方法与特点，结合易错点拨突出重难点，构建从基础到进阶的知识脉络，清晰呈现各方法内在联系。 讲义亮点在于题型设计融合几何直观与实际应用，如通过图形拆分推导十字相乘法培养数学眼光，结合三角形形状判断等问题提升推理意识，分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算与应用能力。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习讲义【题型讲练】 专题4.6 十字相乘法『第四章 因式分解』 （题型讲练+真题演练+能力提升练 共53题） 〔解析版〕 知识梳理指导 2 知识点一 十字相乘法 2 知识点二 首项系数不为1的十字相乘法 2 知识点三 分组分解法 2 知识点四 添、拆项法 3 题型分类讲练 3 题型讲练一 十字相乘法 3 题型讲练二 十字相乘法的推导过程 5 题型讲练三 十字相乘法的阅读材料题 9 题型讲练四 几何图形拆分推导十字相乘法 13 题型讲练五 分组分解法 16 题型讲练六 判断三角形形状或周长问题-分组分解法 18 题型讲练七 几何图形问题-分组分解法 21 题型讲练八 求最值问题-分组分解法 26 题型讲练九 阅读材料题-分组分解法 29 题型讲练十 因式分解的实际应用 32 真题实战演练 35 能力提升分层训练 36 【基础夯实 能力检测】 36 【思维训练 智慧闯关】 41 知识点一 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【易错点拨】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点二 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【易错点拨】 （1）分解思路为“看两端，凑中间”　　 （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点三 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【易错点拨】 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点四 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型讲练一 十字相乘法 【典例分析】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）将下列各式因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用提公因式法解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用十字相乘法解答即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： （3）解：． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【规范解答】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 【变式训练2】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）因式分解：． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 先分组，将与分开；对用因式分解，对提取；最后提取公因式，得到结果． 【规范解答】解： ． 题型讲练二 十字相乘法的推导过程 【典例分析】（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【思路引导】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【规范解答】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）54或 【思路引导】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （4）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解； （5）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解． 【规范解答】 解：（1）， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴，， ∴ 故答案为： （5）当时， ∴，，， ∴ 当时， ∴，，， ∴ ∴关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 的值为54或． 【变式训练2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 题型讲练三 十字相乘法的阅读材料题 【典例分析】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【思路引导】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【规范解答】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 【答案】(1)9 (2) (3)4，5，2 (4) 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可； （3）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （4）根据配方法即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ； 故答案为：9 （2）解：； （3）解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； （4）解： ， ∴． 【变式训练2】阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【思路引导】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 题型讲练四 几何图形拆分推导十字相乘法 【典例分析】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)2，3 (2) (3)作图见解析， 【思路引导】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【规范解答】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）解： 故答案为； （3）利用拼图分解因式： 如图所示： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【规范解答】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【规范解答】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 题型讲练五 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 【变式训练1】（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【规范解答】解： 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）因式分解 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【思路引导】（1）观察发现多项式是平方差形式，直接用平方差公式分解； （2）先提取公因式，剩余部分为完全平方式，再用完全平方公式分解； （3）将两个整体平方项看作平方差的形式，先利用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式； （4）采用分组分解法，将多项式分组后分别提取公因式，再提取整体的公因式完成分解． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型讲练六 判断三角形形状或周长问题-分组分解法 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【思路引导】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【思路引导】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 题型讲练七 几何图形问题-分组分解法 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； (2)已知，为的两条直角边，且满足，则斜边长为________． (3)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为22．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了勾股定理，因式分解的应用，完全平方公式的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据分组分解法进行因式分解，即可作答． （2）先整理得，再根据完全平方公式得，即可得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． （3）整理得，根据题意得，，整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ， （2）解：∵， ∴， ∴， 则， 解得， ∵，为的两条直角边， ∴， 则斜边长为； （3）解： ， ∵小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为22． ∴，， 即， 整理得， ∴， 则． 【变式训练1】八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3），9 【思路引导】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 【变式训练2】【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）， 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义． （1）根据分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形； （3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ， ∵，，均为正数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵长为，长为 ， ∴长方形试验田的面积为， 当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为， 即，， 根据题意可得：， 整理得出：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 分别求解，得出或（舍去）， 故，． 题型讲练八 求最值问题-分组分解法 【典例分析】阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式 (2)， (3) 【思路引导】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【规范解答】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； （2）解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． （3）解： ． 【变式训练1】对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，二次三项式取得最小值，最小值为 【思路引导】（）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可； 本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为． 【变式训练2】【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【思路引导】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【规范解答】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 题型讲练九 阅读材料题-分组分解法 【典例分析】（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1) ； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【思路引导】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【规范解答】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 【变式训练1】（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例1：分解因式：； 原式； 例2：求代数式的最小值． 原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)求多项式的最小值； (3)已知，求m，n的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为，n的值为3 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式即可得到结论； （2）根据完全平方公式即可得到结论； （3）把原式配方，然后根据非负数的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵ 多项式 有最小值，最小值是； （3）解：， ， 即， ，， 解得：，， 的值为，的值为3． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 题型讲练十 因式分解的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）【知识生成】图①所示的是边长为的正方形剪掉一个边长为的小正方形（）并把余下的部分沿虚线剪开拼成的一个长方形．根据裁剪拼接前后图形的面积相等，可以得到等式． 【知识应用】 （1）直接写出图②中所表示的等式：____________________________________（因式分解的形式）． （2）利用（1）中所得到的等式把因式分解，并仿照图②画出该等式可表示的图形． 【知识迁移】 （3）通过计算，几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图③所示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，求出一个代数恒等式． 【答案】（1） （2），图见解析 （3） 【思路引导】本题考查了因式分解的几何意义、图形面积与体积的计算等知识点，掌握通过图形拼接前后的面积或体积相等推导代数恒等式的方法是解题的关键． （1）观察图②中图形拼接前后的面积，用两种方式表示面积，得到因式分解等式； （2）仿照（1）的面积法，把表示为长方形面积，分解因式并画出对应图形； （3）计算图③中几何体拼接前后的体积，根据体积相等列出代数恒等式． 【规范解答】解：（1）∵大长方形的面积=各小部分面积之和 ∴ 即 （2）．画出图形如图（画法不唯一）． （3）根据题意可得，新几何体是一个长为、宽为、高为的长方体， ∴原几何体的体积为，新几何体的体积为． 根据前后几何体的体积相等，可得， ∴代数恒等式为 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【答案】浇制一节这样的管道需要的混凝土 【思路引导】用两个圆柱的体积之差来表示即可． 【规范解答】解：由题意，得 ． 故浇制一节这样的管道需要的混凝土. 【考点剖析】本题主要考查了因式分解的应用，利用因式分解可使运算简便． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且． (1)观察图形，发现代数式可以因式分解为 ． (2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)平方厘米 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式与图形面积，完全平方公式变形求值． （1）根据长方形的面积的两种表示方法，即可求解； （2）根据已知得出，，进而得出 ，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图形大长方形纸板可以表示为代数式，也可以表示为 ∴ （2）解：图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米， ，， ∴，． ∵，，解得 ． 空白部分的面积 平方厘米)． 【真题演练1】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【真题演练2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：_______． 【答案】 【思路引导】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【真题演练3】（2024·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【规范解答】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【考点剖析】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 【基础夯实 能力检测】 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【规范解答】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京·期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A、等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法、公式法等因式分解的方法． 对每个选项逐一进行因式分解，判断其正确性． 【规范解答】A、对提取公因式5a，可得，故选项因式分解正确； B、在实数范围内不能因式分解，故该选项因式分解错误； C、对分组分解，，故选项因式分解正确； D、先对中前三项用完全平方公式，，再用平方差公式可得，故选项因式分解正确． 故选：B． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【思路引导】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【规范解答】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知，，则的值是_________． 【答案】8 【思路引导】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入求值即可. 【规范解答】解：对所求多项式因式分解，得 ， ， 将，代入得， 原式. 6．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）分解因式：______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【规范解答】解： 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【规范解答】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）提取公因式分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：． 9．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式． 【方法深化】 分解因式 【拓展创新】 已知多项式，通过“多项式分裂重组法”可分解为，求的值． 【答案】[基础应用；方法深化 ；拓展创新 ，， 【思路引导】本题考查了因式分解，多项式分裂重组法的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 基础应用仿照示例，把和各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； 方法深化仿照示例，把和各分成一组，提取公因式，即可进行因式分解； 拓展创新把展开后，与对照，即可得到、、的值． 【规范解答】解：基础应用 ； 方法深化 ； 拓展创新 ，，． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有因式和，则__________，__________． (2)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)  30 (2)， 【思路引导】（1）设（为整式），分别取和得关于和的二元一次方程组，求解即可； （2）设，将等式右边展开，比较系数，得关于的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：，． 【提示】设（为整式）， 分别取和得 解得： （2）解：设． ， 解得 多项式， ． 【考点剖析】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． 【思维训练 智慧闯关】 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用不等式的基本性质，对给出的不等式变形因式分解，结合、、均为正数的条件，即可推出三个数的大小关系． 【规范解答】解：、、均为正数， ，，，， 由，两边同乘正数，得， 展开整理得 因式分解得. ， ，即 由，两边同乘正数，得 展开整理得. 因式分解得， ， ，即； ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【规范解答】解： ． 故答案为： 5．（24-25七年级上·上海·月考）因式分解：______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解中的换元法与十字相乘法，解题的关键是通过换元将含多项式的二次式转化为常见的二次三项式，再利用十字相乘法分解因式． 设，则原多项式转化为二次三项式；用十字相乘法分解该二次式（寻找两个数，积为且和为，即和），得到；最后将换回，得到原多项式的因式分解结果． 【规范解答】解：设，则原多项式可化为： 用十字相乘法分解：寻找两个数，使其积为，和为，这两个数为和， 故： 将代回，得： 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）分解因式：______． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 【规范解答】解： 故答案为：． 7．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （2）用十字相乘法分解因式即可． 【规范解答】（1）解：原式，          ； （2）解：原式． 8．（24-25七年级下·广西贺州·期中）（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）55． 【思路引导】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． （1）把分组为，再提取公因式分解即可； （2）把分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解； （3）把分组为，再因式分解，整体代入求值即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； 当，时， 原式． 9．（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【答案】(1) (2) (3)S的最小值为6 【思路引导】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键． （1）根据题意分组分解即可； （2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值； （3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值． 【规范解答】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见解析 【思路引导】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【规范解答】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习讲义【题型讲练】 专题4.6 十字相乘法『第四章 因式分解』 （题型讲练+真题演练+能力提升练 共53题） 〔原卷版〕 知识梳理指导 2 知识点一 十字相乘法 2 知识点二 首项系数不为1的十字相乘法 2 知识点三 分组分解法 2 知识点四 添、拆项法 3 题型分类讲练 3 题型讲练一 十字相乘法 3 题型讲练二 十字相乘法的推导过程 4 题型讲练三 十字相乘法的阅读材料题 6 题型讲练四 几何图形拆分推导十字相乘法 9 题型讲练五 分组分解法 10 题型讲练六 判断三角形形状或周长问题-分组分解法 11 题型讲练七 几何图形问题-分组分解法 13 题型讲练八 求最值问题-分组分解法 16 题型讲练九 阅读材料题-分组分解法 18 题型讲练十 因式分解的实际应用 19 真题实战演练 21 能力提升分层训练 21 【基础夯实 能力检测】 21 【思维训练 智慧闯关】 23 知识点一 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【易错点拨】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点二 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【易错点拨】 （1）分解思路为“看两端，凑中间”　　 （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点三 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【易错点拨】 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点四 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 题型讲练一 十字相乘法 【典例分析】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）将下列各式因式分解 (1)； (2)； (3) 【变式训练1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）因式分解：． 题型讲练二 十字相乘法的推导过程 【典例分析】（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【变式训练2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) ； (2)； 题型讲练三 十字相乘法的阅读材料题 【典例分析】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 【变式训练2】阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 题型讲练四 几何图形拆分推导十字相乘法 【典例分析】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 题型讲练五 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练1】（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）因式分解 (1) ； (2) (3) (4) 题型讲练六 判断三角形形状或周长问题-分组分解法 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 题型讲练七 几何图形问题-分组分解法 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； (2)已知，为的两条直角边，且满足，则斜边长为________． (3)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为22．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【变式训练1】八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【变式训练2】【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 题型讲练八 求最值问题-分组分解法 【典例分析】阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【变式训练1】对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【变式训练2】【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 题型讲练九 阅读材料题-分组分解法 【典例分析】（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【变式训练1】（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例1：分解因式：； 原式； 例2：求代数式的最小值． 原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)求多项式的最小值； (3)已知，求m，n的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 题型讲练十 因式分解的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）【知识生成】图①所示的是边长为的正方形剪掉一个边长为的小正方形（）并把余下的部分沿虚线剪开拼成的一个长方形．根据裁剪拼接前后图形的面积相等，可以得到等式． 【知识应用】 （1）直接写出图②中所表示的等式：____________________________________（因式分解的形式）． （2）利用（1）中所得到的等式把因式分解，并仿照图②画出该等式可表示的图形． 【知识迁移】 （3）通过计算，几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图③所示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，求出一个代数恒等式． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（结果保留）． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且． (1)观察图形，发现代数式可以因式分解为 ． (2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【真题演练1】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则______． 【真题演练2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：_______． 【真题演练3】（2024·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础夯实 能力检测】 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知，，则的值是_________． 6．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）分解因式：______． 7．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）因式分解： (1)； (2)． 9．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解．具体步骤如下： 例如：分解因式 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式． 【方法深化】 分解因式 【拓展创新】 已知多项式，通过“多项式分裂重组法”可分解为，求的值． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有因式和，则__________，__________． (2)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 【思维训练 智慧闯关】 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 5．（24-25七年级上·上海·月考）因式分解：______． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）分解因式：______． 7．分解因式： (1) (2) 8．（24-25七年级下·广西贺州·期中）（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 9．（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $