专题4.3 公式法【知识梳理+10个考点讲练+真题演练+分层训练 共55题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学因式分解中的公式法，系统梳理平方差公式、完全平方公式等核心知识点，衔接十字相乘法、分组分解法及因式分解一般步骤，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料通过易错点剖析培养学生数学眼光，典例与变式训练提升推理能力，分层训练兼顾基础与拔高。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化用数学语言解决问题的应用意识。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.3 公式法『第四章 因式分解』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 公式法 1 知识点二 十字相乘法和分组分解法 2 知识点三 因式分解的一般步骤 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 判断能否用公式法分解因式 2 考点讲练二 平方差公式分解因式 3 考点讲练三 完全平方公式分解因式 5 考点讲练四 综合运用公式法分解因式 6 考点讲练五 综合提公因式和公式法分解因式 7 考点讲练六 实数范围内分解因式 7 考点讲练七 因式分解在有理数简算中的应用 7 考点讲练八 十字相乘法 8 考点讲练九 分组分解法 10 考点讲练十 因式分解的应用 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 闯关训练 13 【基础夯实 能力提升】 13 【创新拓展 拔尖冲刺】 15 知识点一 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点三 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点讲练一 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 考点讲练二 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）分解因式： (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 考点讲练三 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解 (1)； (2) 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【变式训练2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 考点讲练四 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式训练2】（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 考点讲练五 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·山东青岛·期中）解不等式（组）与因式分解 (1) 解不等式：； (2)解不等式组：； (2) 因式分解：； (4)因式分解：． 【变式训练2】因式分解： (1) (2) 【变式训练2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 考点讲练六 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【变式训练1】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 【变式训练2】在实数范围内因式分解：_______． 考点讲练七 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）利用因式分解计算： (1) ； (2)． 考点讲练八 十字相乘法 【典例分析】（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【变式训练1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 考点讲练九 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）我们常用的分解因式的方法有：提公因式法、公式法．当不能直接运用提公因式法或公式法分解因式时，我们可以将多项式中某些项适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组法来分解因式． 例如：． 根据上述分解因式的方法尝试解答下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知a，b，c是的三条边的长，且满足，判断的形状，并说明理由； (3)已知a，b，c是的三条边的长，求证：． 考点讲练十 因式分解的应用 【典例分析】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【变式训练1】如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【真题演练1】（2024·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·北京·中考真题）分解因式：_______． 【真题演练3】（2025·山西·中考真题）因式分解： ________． 【真题演练4】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【真题演练5】（2024·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则_____． 5．分解因式：______． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）因式分解：． 9．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 10．（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 4．（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 5．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 7．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 8．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.3 公式法『第四章 因式分解』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 公式法 1 知识点二 十字相乘法和分组分解法 2 知识点三 因式分解的一般步骤 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 判断能否用公式法分解因式 2 考点讲练二 平方差公式分解因式 4 考点讲练三 完全平方公式分解因式 7 考点讲练四 综合运用公式法分解因式 9 考点讲练五 综合提公因式和公式法分解因式 12 考点讲练六 实数范围内分解因式 14 考点讲练七 因式分解在有理数简算中的应用 15 考点讲练八 十字相乘法 17 考点讲练九 分组分解法 20 考点讲练十 因式分解的应用 23 中考真题 实战演练 25 难度分层 闯关训练 28 【基础夯实 能力提升】 28 【创新拓展 拔尖冲刺】 32 知识点一 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点三 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点讲练一 判断能否用公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【规范解答】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【规范解答】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 【变式训练2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 考点讲练二 平方差公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先将式子变形，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【思路引导】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【规范解答】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)；一 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据解答过程可知小华运用了完全平方公式，小明第一步出现了错误； （2）运用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：由解答过程可知小华运用了完全平方公式，即；小明第一步运用平方差公式时减法未变号． 故答案为：；一． （2）解：原式 ． 考点讲练三 完全平方公式分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了提公因式法与公式法的综合因式分解，解题的关键是先提取公因式，再利用完全平方公式分解，注意符号处理． （1）提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【规范解答】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解，重点考查配方法在因式分解中的应用． （1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点讲练四 综合运用公式法分解因式 【典例分析】（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式训练2】（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 考点讲练五 综合提公因式和公式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·山东青岛·期中）解不等式（组）与因式分解 (1)解不等式：； (2)解不等式组：； (3)因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】（）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为解不等式即可； （）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解； （）先利用整式的乘法进行化简，再利用完全平方公式分解因式即可得出结果； （）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出结果． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练2】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． （2）先变形后提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【规范解答】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 考点讲练六 实数范围内分解因式 【典例分析】在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【变式训练1】（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【思路引导】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【规范解答】解： 故答案为：． 【变式训练2】在实数范围内因式分解：_______． 【答案】 【规范解答】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式完成分解． 【考点剖析】解： 故答案为：． 考点讲练七 因式分解在有理数简算中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 【变式训练1】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练八 十字相乘法 【典例分析】（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【思路引导】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【规范解答】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【思路引导】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【规范解答】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 考点讲练九 分组分解法 【典例分析】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【思路引导】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）我们常用的分解因式的方法有：提公因式法、公式法．当不能直接运用提公因式法或公式法分解因式时，我们可以将多项式中某些项适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组法来分解因式． 例如：． 根据上述分解因式的方法尝试解答下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知a，b，c是的三条边的长，且满足，判断的形状，并说明理由； (3)已知a，b，c是的三条边的长，求证：． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）利用分组法分解因式，即可求解； （2）根据分组法分解因式，等式可整理为，再根据三角形三边关系，得出即可说明； （3）根据分组法对不等式左边分解因式，得，再根据三角形三边关系，即可求证． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）等腰三角形，理由如下， ， ， ，即， a，b，c是的三条边的长， ， ，即， 则是等腰三角形； （3）证明：， a，b，c是的三条边的长， ，，即， ． 考点讲练十 因式分解的应用 【典例分析】（25-26八年级下·江苏淮安·月考）把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1)大；；7 (2) 【思路引导】（1）提取负号后配方，将代数式转化为“负的完全平方加常数”的形式，根据完全平方的非负性判断代数式的最值，进而求出对应的值； （2）先通过配方将等式转化为两个完全平方和为0的形式，利用非负性求出、的长度，再结合“是最长边”和三角形三边关系确定的取值范围． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 代数式的最大值是，此时． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ，， 解得，． ∴， 又是中最长的边， ， 的取值范围是． 【变式训练1】如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【答案】图见解析， 【思路引导】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【规范解答】解：由题意得， 画出图形如图： 多项式的因式分解为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西西安·月考）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】（1）先对方程左边因式分解，再将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先对不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解后得到原不等式的解集． 【规范解答】（1）解：因式分解得， ∵如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0， ∴或， 解得或． （2）解：， 因式分解得， 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 因此不等式的解集为或． 【真题演练1】（2024·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【规范解答】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 【真题演练2】（2025·北京·中考真题）分解因式：_______． 【答案】 【思路引导】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【真题演练3】（2025·山西·中考真题）因式分解： ________． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 【真题演练4】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【考点剖析】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【真题演练5】（2024·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【思路引导】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【考点剖析】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【思路引导】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【规范解答】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【规范解答】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【规范解答】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 4．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则_____． 【答案】4 【思路引导】利用平方差公式对原式进行因式分解，再代入已知条件化简计算，即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 5．分解因式：______． 【答案】 【思路引导】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【规范解答】 ． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】①③⑥ 【思路引导】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的，逐个判断即可． 【规范解答】解：①，符合完全平方公式分解因式的条件； ②，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）因式分解：． 【答案】 【思路引导】先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解：原式 ． 9．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 【答案】 【思路引导】先对待求式提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，最后代入已知数值计算结果． 【规范解答】解：． 将，代入， 原式． 10．（24-25八年级下·山东青岛·月考）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【思路引导】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【思路引导】根据“智慧数”定义，将其变形为（，为正整数，），再逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16． 综上，说法不正确的是B． 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 【答案】B 【思路引导】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【规范解答】解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意； B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； C .当时，，可以分解，本选项不符合题意； D .当时，，可以分解，本选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【思路引导】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【规范解答】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 4．（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【答案】3 【思路引导】根据题意可得，，进一步可得，根据推出，则，据此可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【答案】16 【思路引导】根据和完全平方公式解题即可． 【规范解答】解：由图可知， ， ∴， 解得． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故． 【规范解答】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于和是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为，，． 当，时，解得，． 当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去． 当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去． 故唯一解为，，此时． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）原式直接提公因式即可； （2）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （3）原式提取公因式3后，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （4）原式提取公因式后，再运用完全平方公式进行因式分解即可 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为； （2）将凑成，再用平方差公式分解； （3）将凑成，结合即可得到的最大值． 【规范解答】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【思路引导】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【思路引导】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【规范解答】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $