专题3.5 图形的平移与旋转章节培优复习讲义【知识梳理+22个考点讲练+真题演练+分层训练 共57题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.5 图形的平移与旋转『章节培优复习讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 平移变换 2 知识点二 旋转变换 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 利用平移解决实际问题平移(（作图） 4 考点讲练二 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 6 考点讲练三 由平移方式确定点的坐标 8 考点讲练四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 10 考点讲练五 已知图形的平移，求点的坐标 12 考点讲练六 已知平移后的坐标求原坐标 15 考点讲练七 平移综合题(几何变换） 17 考点讲练八 坐标系中的平移 21 考点讲练九 根据旋转的性质说明线段或角相等 23 考点讲练十 旋转中的规律性问题 26 考点讲练十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 28 考点讲练十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 30 考点讲练十三 坐标与旋转规律问题 34 考点讲练十四 线段问题（旋转综合题） 36 考点讲练十五 面积问题（旋转综合题） 40 考点讲练十六 角度问题（旋转综合题） 43 考点讲练十七 其他问题（旋转综合题） 46 考点讲练十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 51 考点讲练十九 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 52 考点讲练二十 中心对称图形规律问题 55 考点讲练二十一 说出一个图形到另一个图形的运动过程 56 考点讲练二十二 按图形的变换要求画出另一个图形 58 中考真题 实战演练 62 难度分层 闯关训练 66 【基础夯实 能力提升】 66 【创新拓展 拔尖冲刺】 70 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点讲练一 利用平移解决实际问题平移(（作图） 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)40，= (2) (3)448 【思路引导】本题考查了图形的平移，理解平移的性质是解题的关键． （1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【规范解答】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 则平方米，平方米； ∴． （2）解：原长方形的长为a米，宽为b米，小路的宽度是1米， ∵原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为a米，宽为米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的耕地的面积是平方米． 【变式训练】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 【答案】96 【思路引导】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，再利用长方形空地的面积减去绿化部分的面积求解即可． 【规范解答】解析：解：根据题意，得， 故答案为：96． 考点讲练二 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)将向右平移4个单位长度，得到，请在图中画出； (2)画出关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了轴对称变换和三角形面积． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析． 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离． 【规范解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示， 图书馆，宿舍楼，实验楼； （2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的， ，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的． 考点讲练三 由平移方式确定点的坐标 【典例分析】如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，以为底边在轴右侧作等腰，将点C向左平移5个单位，使其对应点在直线上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【规范解答】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形DEF； (3)求三角形DEF的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)7 【思路引导】（1）直接利用点平移变换规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【规范解答】（1）解：为上的点，点平移后得到，表示点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位； ∴，，先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，分别得到，，； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解： ． 考点讲练四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，，． (1)若将点平移到，请写出点进行相同平移后对应点的坐标 ；若平移后落在坐标原点上，则 ； (2)在轴上是否存在点，使以A、B、C三点为顶点的三角形的面积为4？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【思路引导】本题考查了点的平移，三角形面积公式． （1）根据“将点平移到”得到平移方式，可知点的坐标，根据原点坐标即可求出； （2）设，根据三角形面积公式解方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵将平移到， ∴平移方式为右移1个单位、下移b个单位， ∴坐标为； ∵平移后落在坐标原点上， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：设， 三角形面积， ， ， 解得或， 故或． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． (2)直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查平移及轴对称，这里需要注意得出正确的对应点，面积的计算借助网格图直接补全长方形即可求得最后答案． （1）先根据点平移后的坐标得出平移方式，再根据平移方式得出点坐标即可； （2）根据轴对称的性质画出图形即可； （3）用四边形所在长方形减去周围个小三角形的面积即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵内有一点随着平移后到了点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 由图可知，点坐标为， ∴点平移后对应点的坐标为， （2）解：如图，即为所求． （3）解：如（2）中图，连接， ∴四边形的面积． 考点讲练五 已知图形的平移，求点的坐标 【典例分析】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)画出； (2)中任意一点，经平移后对应点的坐标为______（用含，的式子表示） (3)将各顶点的横、纵坐标都乘，画出缩小后的（点，，的对应点分别为点，，），并写出与相比，形状和大小有什么变化． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析，与相比，形状相同，大小为的 【思路引导】（1）根据平移规则，画出； （2）根据平移规则，写出相应的坐标即可； （3）按要求画出，进行判断即可. 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意，点的坐标为； （3）解：如图即为所求；由图可知，与相比，形状相同，大小为的； 【变式训练】（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3) 【思路引导】（1）根据平移规律描出点、、，再连接成三角形即可； （2）根据平移规律写出点的坐标； （3）利用割补法计算三角形的面积即可 【规范解答】（1）解：如图所示： 由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由平移的规律可知，点平移后得到点； （3）解：． 考点讲练六 已知平移后的坐标求原坐标 【典例分析】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【思路引导】本题主要考查了平移作图，根据平移确定点的坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可，根据图形求出，，的坐标即可； （2）利用割补法求出三角形的面积即可． （3）根据平移列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可； 【规范解答】（1）解：为所求作的三角形．   ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 【变式训练】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路引导】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【规范解答】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【考点剖析】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 考点讲练七 平移综合题(几何变换） 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【思路引导】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【规范解答】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 考点讲练八 坐标系中的平移 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【思路引导】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【规范解答】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【变式训练】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)画出关于轴对称的图形，并直接写出点的对应点的坐标； (3)在第二象限找一点，使得轴且，请直接写出点的坐标； (4)已知为轴上一点，若的面积为4，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为； (4)点的坐标为或． 【思路引导】本题主要考查了利用网格画轴对称图形，两点之间的距离． （1）确定点的坐标画出三角形即可； （2）根据轴对称的性质确定对称点的坐标，然后进行连接即可； （3）根据两点之间的距离确定点的坐标即可； （4）根据三角形的面积公式确定点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求， 点D的坐标为； （4）解：由图形得点B的坐标为，点的坐标为， ∴， 设的边上的高为， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 考点讲练九 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例分析】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式训练】如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路引导】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【规范解答】（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 考点讲练十 旋转中的规律性问题 【典例分析】24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【思路引导】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【规范解答】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【变式训练】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【规范解答】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 考点讲练十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【答案】(1)画图见解析，点坐标为，点坐标为 (2)画图见解析 【思路引导】（1）根据旋转的性质描出点和点，连接成，并结合网格写出点和点的坐标； （2）取点，连接交于点，取点，，容易证明，则，因此，即，符合题意． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，点坐标为，点坐标为； （2）解：如图，即为所求． 【变式训练】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； （3）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 考点讲练十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长度即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点B．   将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， ，点在第一象限， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为 ．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路引导】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 考点讲练十三 坐标与旋转规律问题 【典例分析】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【规范解答】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【规范解答】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 考点讲练十四 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式训练】已知： 中，，，将绕点B按顺时针方向旋转．    (1)当转到边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)仍然成立，理由见详解 【思路引导】（1）易证和都是等边三角形，从而可以求出，，进而可以证到； （2）过点作，交的延长线于点，由“”可证 ，可得； 【规范解答】（1）．理由如下：如图1， ， ，， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）仍然成立：， 如图2：过点作，交的延长线于点，则，，    由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 考点讲练十五 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【答案】或 【思路引导】本题考查图形的旋转，画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形的形状相同． 【规范解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵长方形中，，，是的中点， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴； 综上所述，的面积是或． 故答案为：或． 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 【答案】或12 【思路引导】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【规范解答】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 考点讲练十六 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25七年级上·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【规范解答】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【思路引导】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【规范解答】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 考点讲练十七 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【规范解答】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【考点剖析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式训练】已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 考点讲练十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)8 【思路引导】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据平面直角坐标系中坐标的确定方法，在图中找到、对应的坐标，即可得出答案； （3）根据平移的性质作图即可； （4）通过割补法，将四边形放在一个长为6宽为4的矩形中，用矩形的面积减去周围四个直角三角形的面积，从而得出四边形的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）解：由图可得，． （3）解：如图所示． （4）解：由图可得， 【考点剖析】本题主要考查中心对称、图形的平移以及图形面积的计算，涉及中心对称图形的性质、平面直角坐标系中坐标的确定、图形的平移变换以及利用割补法求不规则图形的面积知识点． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【思路引导】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 考点讲练十九 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例分析】图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【规范解答】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【规范解答】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 考点讲练二十 中心对称图形规律问题 【典例分析】．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【规范解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【变式训练】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 考点讲练二十一 说出一个图形到另一个图形的运动过程 【典例分析】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】(1)见解析 (2)是轴对称图形，对称轴见解析 (3)见解析 (4)见解析，答案不唯一． 【思路引导】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求， （3）与是轴对称图形，对称轴如图所示 （4）将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 【变式训练】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【规范解答】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 考点讲练二十二 按图形的变换要求画出另一个图形 【典例分析】（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)3 【思路引导】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【规范解答】（1）解：如图 （2）解：如图 （3）解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【真题演练1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【规范解答】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 【真题演练2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点），画出线段，，； (2)在方格纸中，画出以线段为斜边的等腰（点在小正方形的顶点上），且为钝角，，交于点，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】本题考查了平移变换，画图，涉及到平行四边形，等腰直角三角形的性质的应用，关键是能够利用小正方形格子的边长，求出，的长度，得到结果． （1）在图形中直接作图即可； （2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果． 【规范解答】（1）解：所求图形，如图所示： （2）解：如图所示： 得到． ∵每个小正方形的边长均为1个单位长度， ∴等腰直角三角形中，， ∵O是平行四边形对角线的交点， ∴， ， ∴， ∴． 【真题演练3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．    (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)图②：，图③： (3)1或7 【思路引导】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； （3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，    同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，,， 由，得； 如图②，，则,中，， ∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【考点剖析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平移的规律进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 2．（25-26八年级下·湖南·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【规范解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 【答案】 【思路引导】先利用等边三角形的性质求出顶点的坐标，再通过直线的解析式确定平移后点的坐标，进而得到平移向量，最后将点按照该平移向量平移，即可求出点的坐标． 【规范解答】解：过点作于点， ∵是等边三角形，的坐标是，， ∴， ∴， ∴的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴直线的解析式为， ∴的坐标为， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴的坐标为． 4．已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【思路引导】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为． (1)点E的坐标为______，点B的坐标为______； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿折线向终点D移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ①当______时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②若点P的横坐标与纵坐标的和为，求此时t的值； ③当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①2；②4；③点P的坐标为或 【思路引导】（1）根据平移的性质即可得出结论； （2）①由点C的坐标得到和的长度，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数，于是确定点P在线段上，有，即可得到结果； ②分别得出当点P在线段上时和当点P在线段上时，点P的坐标表达式，再根据点P的横坐标与纵坐标的和为计算出此时t的值即可； ③分两种情况讨论：点P在上时，直线将四边形面积分成两部分，点P在上时，直线将四边形面积分成两部分，列出方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：根据题意，可得沿x轴负方向平移3个单位得到， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵， ∴，， ∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴点P在线段上， ∴， 即， ∴当时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②由题意知，点P的运动分为两段： 当时，点P在线段上，坐标为； 当时，点P在线段上，坐标为， ∵点P的横坐标与纵坐标的和为， ∴或， 解得， ∴此时t的值为4； ③a.当时，点P在线段上，坐标为, ∴，，，，， ∴，， 由题意得，或， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点P的坐标为； b.当时，点P在线段上，坐标为, ∴，， ∴，， 由题意得，或， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 2．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【规范解答】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 【答案】6 【思路引导】根据平移的性质得出，，，然后证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵沿射线方向平移3个单位长度，得到， ∴，，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】根据题意得出点坐标变化规律． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 【答案】情境探究：（1）；（2）；类比猜想：或；拓展迁移： 【思路引导】本题考查了线段的和差、角的和差倍分、角的旋转等，关键是线段长度的计算及角的关系的求解； 【情境探究】（1）根据线段之间的和差来计算长度即可；（2）根据线段之间的和差来计算长度即可； 【类比猜想】根据三角板的角度及角度之间的倍数关系，分情况讨论求解； 【拓展迁移】根据边的旋转速度和时间得到角的表达式，再结合角的倍分关系分情况讨论求解． 【规范解答】【情境探究】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：； 【类比猜想】解：①当两块三角板没有重合部分，即时， ∵，， ， ， ； ②当两块三角板有重合部分，即时， ，， ， ， ， 综上所述，或． 【拓展迁移】的值为． 解：如图1，∵，， ， ，   ， ∴ ， ∴ ； 如图2，∵， ∴，， ， ∴ ， ∴； 如图3，∵，， ∴， ， ， ∴  ， ∴  ； 当时，，所以舍去； 如图4，因为，， ， ， 因为， ， ； 综上所述，的值为，，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.5 图形的平移与旋转『章节培优复习讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 平移变换 2 知识点二 旋转变换 3 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 利用平移解决实际问题平移(（作图） 4 考点讲练二 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 5 考点讲练三 由平移方式确定点的坐标 6 考点讲练四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 7 考点讲练五 已知图形的平移，求点的坐标 8 考点讲练六 已知平移后的坐标求原坐标 9 考点讲练七 平移综合题(几何变换） 10 考点讲练八 坐标系中的平移 11 考点讲练九 根据旋转的性质说明线段或角相等 12 考点讲练十 旋转中的规律性问题 13 考点讲练十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 14 考点讲练十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15 考点讲练十三 坐标与旋转规律问题 16 考点讲练十四 线段问题（旋转综合题） 17 考点讲练十五 面积问题（旋转综合题） 18 考点讲练十六 角度问题（旋转综合题） 18 考点讲练十七 其他问题（旋转综合题） 20 考点讲练十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 21 考点讲练十九 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 21 考点讲练二十 中心对称图形规律问题 22 考点讲练二十一 说出一个图形到另一个图形的运动过程 23 考点讲练二十二 按图形的变换要求画出另一个图形 24 中考真题 实战演练 25 难度分层 闯关训练 26 【基础夯实 能力提升】 26 【创新拓展 拔尖冲刺】 28 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点讲练一 利用平移解决实际问题平移(（作图） 【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【变式训练】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 考点讲练二 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)将向右平移4个单位长度，得到，请在图中画出； (2)画出关于轴对称的； (3)求的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 考点讲练三 由平移方式确定点的坐标 【典例分析】如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，以为底边在轴右侧作等腰，将点C向左平移5个单位，使其对应点在直线上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． ∴点的坐标为，即， 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形DEF； (3)求三角形DEF的面积． 考点讲练四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，，． (1)若将点平移到，请写出点进行相同平移后对应点的坐标 ；若平移后落在坐标原点上，则 ； (2)在轴上是否存在点，使以A、B、C三点为顶点的三角形的面积为4？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． (2)直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） (3)求四边形的面积． 考点讲练五 已知图形的平移，求点的坐标 【典例分析】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． (1)画出； (2)中任意一点，经平移后对应点的坐标为______（用含，的式子表示） (3)将各顶点的横、纵坐标都乘，画出缩小后的（点，，的对应点分别为点，，），并写出与相比，形状和大小有什么变化． 【变式训练】（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． (3)求的面积． 考点讲练六 已知平移后的坐标求原坐标 【典例分析】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【变式训练】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点讲练七 平移综合题(几何变换） 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 考点讲练八 坐标系中的平移 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【变式训练】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)画出关于轴对称的图形，并直接写出点的对应点的坐标； (3)在第二象限找一点，使得轴且，请直接写出点的坐标； (4)已知为轴上一点，若的面积为4，请直接写出点的坐标． 考点讲练九 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例分析】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式训练】如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点讲练十 旋转中的规律性问题 【典例分析】24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【变式训练】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点讲练十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【变式训练】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 考点讲练十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为 ．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 考点讲练十三 坐标与旋转规律问题 【典例分析】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 考点讲练十四 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式训练】已知： 中，，，将绕点B按顺时针方向旋转．    (1)当转到边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 考点讲练十五 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 考点讲练十六 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】（24-25七年级上·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【变式训练】【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 考点讲练十七 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【变式训练】已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 考点讲练十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 考点讲练十九 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例分析】图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 考点讲练二十 中心对称图形规律问题 【典例分析】．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【变式训练】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 考点讲练二十一 说出一个图形到另一个图形的运动过程 【典例分析】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【变式训练】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 考点讲练二十二 按图形的变换要求画出另一个图形 【典例分析】（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【真题演练1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点），画出线段，，； (2)在方格纸中，画出以线段为斜边的等腰（点在小正方形的顶点上），且为钝角，，交于点，连接，直接写出的值． 【真题演练3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．    (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：； (2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 4．已知点与点关于原点对称，则_________． 5．（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为． (1)点E的坐标为______，点B的坐标为______； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿折线向终点D移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ①当______时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②若点P的横坐标与纵坐标的和为，求此时t的值； ③当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出点P的坐标． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 4．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $