专题4.1-4.2 因式分解与提公因式法【知识梳理+4个考点讲练+真题演练+分层训练 共37题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦因式分解与提公因式法核心知识点，系统梳理因式分解的定义、公因式的确定方法及提公因式法步骤，前承整式乘法逆运算，后启后续因式分解方法，通过知识梳理与考点讲练搭建递进式学习支架。 资料以分层训练（基础夯实到创新拓展）、易错点拨及中考真题融入为特色，助力学生在概念辨析中培养抽象能力，在参数求解等问题中发展推理意识，课中辅助教学实施，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.1-4.2 因式分解与提公因式法『第四章 因式分解』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共37题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 判断是否是因式分解 2 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 3 考点讲练三 公因式 4 考点讲练四 提公因式法分解因式 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 闯关训练 6 【基础夯实 能力提升】 6 【创新拓展 拔尖冲刺】 7 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【易错点拨】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分 因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘 法是一种运算. 知识点二 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【易错点拨】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点三 提公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是（a+b+c），即ma+mb+mc=m（a+b+c），而（a+b+c）正好是ma+mb+mc除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【易错点拨】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m（a+b+c） . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 考点讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 考点讲练三 公因式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 考点讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【真题演练1】（2024·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________． 【真题演练4】（2025·江西·中考真题）因式分解：________ 【真题演练5】（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：______． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如果，，那么的值为______． 6．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·广西贵港·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 6．分解因式：______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 8．完成下列各题： (1)分解因式：； (2) 解不等式，并在数轴上表示解集． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.1-4.2 因式分解与提公因式法『第四章 因式分解』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共37题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 判断是否是因式分解 2 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 3 考点讲练三 公因式 6 考点讲练四 提公因式法分解因式 7 中考真题 实战演练 10 难度分层 闯关训练 11 【基础夯实 能力提升】 11 【创新拓展 拔尖冲刺】 15 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【易错点拨】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分 因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘 法是一种运算. 知识点二 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【易错点拨】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点三 提公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是（a+b+c），即ma+mb+mc=m（a+b+c），而（a+b+c）正好是ma+mb+mc除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【易错点拨】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m（a+b+c） . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 考点讲练一 判断是否是因式分解 【典例分析】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，）对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A、是整数乘法，故不是因式分解，不符合题意； B、，不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、，是单项式，故不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此即可判断求解，理解因式分解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、，从左到右是因式分解，该选项符合题意； 、，从左到右是整式的乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是多项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是单项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练2】（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【思路引导】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【规范解答】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 考点讲练二 已知因式分解的结果求参数 【典例分析】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【规范解答】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【思路引导】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【规范解答】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【思路引导】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【规范解答】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 考点讲练三 公因式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【思路引导】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【规范解答】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【思路引导】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【规范解答】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 考点讲练四 提公因式法分解因式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【思路引导】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【规范解答】解：(1) ； (2) 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【思路引导】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 【真题演练1】（2024·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【规范解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【考点剖析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 【真题演练2】（2024·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【规范解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【考点剖析】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 【真题演练3】（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________． 【答案】 【思路引导】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键． 【规范解答】解： 故答案为： ． 【真题演练4】（2025·江西·中考真题）因式分解：________ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【真题演练5】（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【规范解答】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【规范解答】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如果，，那么的值为______． 【答案】3 【思路引导】先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可． 【规范解答】解：对因式分解，得， 将，代入上式，得 原式． 6．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【规范解答】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【规范解答】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 8．（25-26八年级上·广西贵港·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【思路引导】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】运用提公因式法分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【答案】6 【思路引导】本题考查了因式分解和整体代入求值的知识点，掌握先因式分解再整体代入的方法，可避免解复杂的二元一次方程组，简化计算过程． 先对代数式提取公因式进行因式分解，再将括号内的式子化简，最后利用已知条件和整体代入求值． 【规范解答】解：原式 ． ，， 原式． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【思路引导】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【规范解答】解：∵，， ∴ ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【规范解答】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【规范解答】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【考点剖析】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 4．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查因式分解的判断，熟练掌握因式分解的形式是做题的关键．根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，逐一判断各变形是否符合定义即可． 【规范解答】解： ① 左边为单项式，不是多项式，故不是因式分解； ② 左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故不是因式分解； ③ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ④ 右边不是积的形式，故不是因式分解； ⑤ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ⑥ 右边括号内分式分母含字母，不是整式，故不是因式分解． ∴ 是因式分解的有③和⑤，共2个． 故选：B． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则_________． 【答案】6 【思路引导】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【规范解答】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 6．分解因式：______． 【答案】 【思路引导】利用提取公因式法因式分解解题即可． 【规范解答】解：原式． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 8．完成下列各题： (1)分解因式：； (2)解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】（1）先将原式变形为，提取公因式即可得到结果； （2）根据不等式的性质即可得到解集，在数轴上表示出解集即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：， ， 解得：， 如图所示： 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【规范解答】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $