专题3.2 图形的旋转【知识梳理+16个考点讲练+真题演练+分层训练 共59题】-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.2 图形的旋转『第三章 图形的平移与旋转』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共59题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 生活中的旋转现象 2 知识点二 旋转的性质 2 知识点三 旋转对称图形 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 根据旋转的性质说明线段或角相等 2 考点讲练二 旋转中的规律性问题 4 考点讲练三 求绕原点旋转90度的点的坐标 6 考点讲练四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 9 考点讲练五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 11 考点讲练六 坐标与旋转规律问题 15 考点讲练七 线段问题（旋转综合题） 18 考点讲练八 面积问题（旋转综合题） 21 考点讲练九 角度问题（旋转综合题） 23 考点讲练十 其他问题（旋转综合题） 27 考点讲练十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 31 考点讲练十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 33 考点讲练十三 中心对称图形规律问题 35 考点讲练十四 求关于原点对称的点的坐标 37 考点讲练十五 已知两点关于原点对称求参数 40 考点讲练十六 按图形的变换要求画出另一个图形 41 中考真题 实战演练 44 难度分层 闯关训练 51 【基础夯实 能力提升】 51 【创新拓展 拔尖冲刺】 58 知识点一 生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点二 旋转的性质 （1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点三 旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 考点讲练一 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例分析】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式训练】（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【规范解答】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 考点讲练二 旋转中的规律性问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【思路引导】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【规范解答】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【思路引导】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【规范解答】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 考点讲练三 求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．已知点和点的坐标分别为和． (1)将线段先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，画出线段； (2)将线段绕逆时针旋转，得到线段，画出线段； (3)在平面直角坐标系的第四象限内描出一个格点（要在网格内），使得，并写出格点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据旋转性质得到对应点的位置，再顺次连接即可； （3）根据网格特点，结合勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：线段如图； （2）解：线段如图； （3）解：取格点（答案不唯一），如图，，此时满足题意． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标分别为，． (1)只用直尺，在图中作出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段；点坐标为__________，点坐标为__________； (2)在轴上找一点，使得最小，标记点并写出点坐标为__________． 【答案】(1)作图见解析，， (2)作图见解析， 【思路引导】本题考查了旋转作图，一次函数与几何综合，轴对称的性质等知识点． （1）将点绕点按顺时针方向旋转后得到点，即可作图，写出坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点，则，则，由两点间线段最短可得此时最小，然后求出直线的表达式，即可求解点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； ∴，； （2）解：如图，点即为所求． 作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点，则， ∴， ∴此时最小， ∵， ∴设直线， 则 解得 ∴直线， 当， ∴， 故答案为：． 考点讲练四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【答案】(1)画图见解析，点坐标为，点坐标为 (2)画图见解析 【思路引导】（1）根据旋转的性质描出点和点，连接成，并结合网格写出点和点的坐标； （2）取点，连接交于点，取点，，容易证明，则，因此，即，符合题意． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，点坐标为，点坐标为； （2）解：如图，即为所求． 【变式训练】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析，点的坐标为 【思路引导】（1），根据点C的对应点可知将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，再画出图形即可； （2），将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，再依次连接可得答案 【规范解答】（1）解：根据题意可得点的对应点为， ∴将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度， 所以如图所示即为所求作； （2）解：如图所示，点． 考点讲练五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为 ．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路引导】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接、、C即可； （2）先根据平移后的坐标为，确定平移的方式，再找出平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：∵平移，A的对应点的坐标为，， ∴向右平移3个单位，向下平移6个单位， ∵，， ∴，， ∴如图所示； （3）解：如图，连接、交于点P，点P即为所求 考点讲练六 坐标与旋转规律问题 【典例分析】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，， ，推出，根据，求出点的坐标即可． 【规范解答】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先确定点的初始坐标，再依次计算每次变换后的坐标，找出坐标变换的周期规律，最后根据周期计算第次变换后的坐标． 【规范解答】解：如图， 点的初始坐标为． 第一次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第二次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为； 第三次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第四次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为，即回到点的初始坐标． 由此可知，坐标变换周期为． ． 余数为，说明的坐标与的坐标相同，即． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了平面直角坐标系中的旋转对称变换和周期规律，解题关键是通过计算前几次变换的坐标，找出周期规律，再利用周期求解最终坐标． 考点讲练七 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 考点讲练八 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【思路引导】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【规范解答】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知和点在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请在网格图中作出； (2)接第（1）小问，将绕点顺时针旋转之后得到的，请在网格图中作出； (3)在上述信息下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【思路引导】本题考查平移，旋转，网格图中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据旋转的性质，作图即可； （3）根据三角形的面积等于矩形的面积减去周围三角形的面积，即可解答． 【规范解答】（1）解：作图如图，为所求作； （2）作图如图，为所求作； （3）如下图： ， ． 考点讲练九 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【思路引导】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【规范解答】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式训练】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【思路引导】本题考查作图的旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）取格点D，连接，使，连接，由勾股定理可得，则∠BAD=90°，进而可得答案． （3）由旋转的性质可得答案． 【规范解答】（1）如图，线段即为所求． （2）取格点D，连接，则，连接BD， ，，， ， 与所在直线的夹角为． 故答案为：90． （3）由旋转可知，点P旋转后对应点的坐标为． 故答案为：． 考点讲练十 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【思路引导】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【规范解答】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 【变式训练】如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【规范解答】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【考点剖析】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 考点讲练十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)8 【思路引导】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据平面直角坐标系中坐标的确定方法，在图中找到、对应的坐标，即可得出答案； （3）根据平移的性质作图即可； （4）通过割补法，将四边形放在一个长为6宽为4的矩形中，用矩形的面积减去周围四个直角三角形的面积，从而得出四边形的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）解：由图可得，． （3）解：如图所示． （4）解：由图可得， 【考点剖析】本题主要考查中心对称、图形的平移以及图形面积的计算，涉及中心对称图形的性质、平面直角坐标系中坐标的确定、图形的平移变换以及利用割补法求不规则图形的面积知识点． 【变式训练】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【规范解答】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 考点讲练十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例分析】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，的坐标为 【思路引导】本题考查的是图形的旋转、中心对称图形的绘制以及平面直角坐标系中坐标的变换． （1）根据题意所述的旋转三要素，依次找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得出点的坐标． 【规范解答】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求，的坐标为． 【变式训练】（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【规范解答】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 考点讲练十三 中心对称图形规律问题 【典例分析】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【规范解答】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式训练】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【规范解答】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 考点讲练十四 求关于原点对称的点的坐标 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【思路引导】（1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （3）连接，结合成中心对称的图形特点，以及中点坐标公式求解，即可解题； （4）利用割补法求出三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接， 由图知，， 对称中心的坐标为，即； （4）解：的面积为：． 【变式训练】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为 ； (2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标分别为 ； (3)的面积为 ； (4)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1) (2) (3) (4)见详解 【思路引导】（1）根据点平移可知平移情况； （2）根据中心对称的性质可得答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）根据旋转的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：∵，， 向左移动3个单位，向下移动2个单位得到， ∵， ∴， （2）解：∵和关于原点O成中心对称，， ∴； （3）解：为：， （4）解：根据题意得 考点讲练十五 已知两点关于原点对称求参数 【典例分析】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【思路引导】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【规范解答】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【规范解答】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 考点讲练十六 按图形的变换要求画出另一个图形 【典例分析】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． (2)画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； (3)画出与关于点成中心对称的图形． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【思路引导】（）根据平移方式，横坐标加，纵坐标减计算即可求解； （）根据题意画出绕点顺时针旋转后得到； （）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出的三个顶点，再画出即可； 本题考查了直角坐标系中的平移问题，旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，掌握点的平移规律、旋转作图与中心对称作图是解题的关键． 【规范解答】（1）根据题意得：点先向下平移格，再向右平移格， ∵ ∴，即， 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）∵与关于点成中心对称的图形，，， ∴，，， ∴即为所求． 【变式训练】如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（－3，1） 【思路引导】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）． 【考点剖析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 【真题演练1】（2025·四川绵阳·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念，逐一分析各选项是否符合题意即可． 【规范解答】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意， 故选：C． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【规范解答】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【真题演练3】（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【规范解答】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 【真题演练4】（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【规范解答】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 【真题演练5】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路引导】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【考点剖析】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：平面直角坐标系中，任意一点关于原点中心对称的点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标为． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：四个选项中，选项A、B、C、D中图形是轴对称图形；选项C中图形是中心对称图形， 选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【规范解答】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若点与关于原点对称，则代数式的值为________． 【答案】 【思路引导】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，求出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【规范解答】解：点与关于原点对称， ，． 解得：，． ． 5．在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了求绕原点旋转的点的坐标，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴于，过点作轴于，进而证明是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ∵绕坐标原点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【规范解答】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【思路引导】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据已作图形求解即可． 【规范解答】（1）解：作图如下； （2）解：作图如下： （3）解：由图可得，点和点的坐标分别为． 9．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为_____； (2)画出关于y轴对称的； (3)将绕点逆时针旋转后得到． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)作图见解析 【思路引导】（1）根据平移的性质即可得出结果； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可 【规范解答】（1）解：∵向下平移3个单位后得到，， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，即为所求， 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标； (3)作出关于成中心对称的，并写出坐标． 【答案】(1) (2)见解析, (3)见解析, 【思路引导】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）根据成中心对称的特点画出图形解答即可． 【规范解答】（1）解：的面积； （2）解：如图所示： 坐标为； （3）如图所示： 坐标为． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【思路引导】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【规范解答】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 2．已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 【答案】B 【思路引导】根据点坐标的平移、旋转、中心对称、轴对称的变换规律，逐项判断即可得解． 【规范解答】解：A、点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位后，点的坐标为，即，原说法错误，该选项不符合题意； B、将绕原点顺时针旋转后，坐标变为，说法正确，该选项符合题意； C、点关于原点中心对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意； D、点关于轴对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意． 3．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【规范解答】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 4．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 【规范解答】解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 5．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【思路引导】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【规范解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【考点剖析】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键． 利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果． 【规范解答】解：如图，过点B作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈， ， ， ∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了， 由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时， 故答案为： ． 7．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，．以为边作等边（点C、D在直线的同侧），分别延长、至点P、点Q，使得，连接、，延长交于点K． (1)请你依据题意，补全图形； (2)求的大小； (3)连接，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】（1）根据题干作图即可； （2）证明，得出，再利用，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转，使和重合，设点旋转后为点，连接，过点作于点，由旋转可知，，，，证明，，再利用即可求证． 【规范解答】（1）解：补全图形如图： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转， ∵，， ∴绕点逆时针旋转后和重合， 设点旋转后为点，连接，过点作于点， 由旋转可知，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 8．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为，请画出平移后的，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是________； (3)点P在y轴的正半轴上，的面积为12，直接写出点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析；； (3) 【思路引导】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）由点的坐标的变化得出平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据平移的性质画图即可，从而得出点P的对应点的坐标； （3）设点P的坐标为，利用，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所作； （2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， ， 则点的对应点的坐标是； （3）解：设点P的坐标为， ∵的面积为12，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·山东·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为___________； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； (3)在轴上求作一点，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)图见解析，坐标为 (3)图见解析 【思路引导】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点、、的位置，描出，并顺次连接、、即可； （3）作出点C关于x轴对称的点，连接，此时交x轴于点P，连接，此时点P即为所作；根据对称性和两点之间线段最短即可得到的值最小． 【规范解答】（1）解：由图可得，的面积． （2）解：如图所示： 由图可得，坐标为； （3）解：如图所示： 10．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【规范解答】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题3.2 图形的旋转『第三章 图形的平移与旋转』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共59题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 生活中的旋转现象 2 知识点二 旋转的性质 2 知识点三 旋转对称图形 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 根据旋转的性质说明线段或角相等 2 考点讲练二 旋转中的规律性问题 3 考点讲练三 求绕原点旋转90度的点的坐标 4 考点讲练四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 5 考点讲练五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 6 考点讲练六 坐标与旋转规律问题 7 考点讲练七 线段问题（旋转综合题） 8 考点讲练八 面积问题（旋转综合题） 9 考点讲练九 角度问题（旋转综合题） 10 考点讲练十 其他问题（旋转综合题） 11 考点讲练十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 12 考点讲练十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 12 考点讲练十三 中心对称图形规律问题 13 考点讲练十四 求关于原点对称的点的坐标 14 考点讲练十五 已知两点关于原点对称求参数 16 考点讲练十六 按图形的变换要求画出另一个图形 16 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 19 【基础夯实 能力提升】 19 【创新拓展 拔尖冲刺】 22 知识点一 生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点二 旋转的性质 （1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点三 旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 考点讲练一 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例分析】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式训练】（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 考点讲练二 旋转中的规律性问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 考点讲练三 求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．已知点和点的坐标分别为和． (1)将线段先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，画出线段； (2)将线段绕逆时针旋转，得到线段，画出线段； (3)在平面直角坐标系的第四象限内描出一个格点（要在网格内），使得，并写出格点的坐标． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标分别为，． (1)只用直尺，在图中作出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段；点坐标为__________，点坐标为__________； (2)在轴上找一点，使得最小，标记点并写出点坐标为__________． 考点讲练四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例分析】如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【变式训练】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标． 考点讲练五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为 ．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 考点讲练六 坐标与旋转规律问题 【典例分析】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点讲练七 线段问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 考点讲练八 面积问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知和点在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请在网格图中作出； (2)接第（1）小问，将绕点顺时针旋转之后得到的，请在网格图中作出； (3)在上述信息下，求的面积． 考点讲练九 角度问题（旋转综合题） 【典例分析】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式训练】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 考点讲练十 其他问题（旋转综合题） 【典例分析】（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【变式训练】如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 考点讲练十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 考点讲练十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例分析】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 【变式训练】（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 考点讲练十三 中心对称图形规律问题 【典例分析】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【变式训练】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 考点讲练十四 求关于原点对称的点的坐标 【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为 ； (2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标分别为 ； (3)的面积为 ； (4)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． 考点讲练十五 已知两点关于原点对称求参数 【典例分析】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点讲练十六 按图形的变换要求画出另一个图形 【典例分析】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． (2)画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； (3)画出与关于点成中心对称的图形． 【变式训练】如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【真题演练1】（2025·四川绵阳·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练3】（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【基础夯实 能力提升】 1．点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若点与关于原点对称，则代数式的值为________． 5．在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 6．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 7．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 8．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，O为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为． (1)以O为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 9．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为_____； (2)画出关于y轴对称的； (3)将绕点逆时针旋转后得到． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标； (3)作出关于成中心对称的，并写出坐标． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 2．已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 3．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 5．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____． 7．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，．以为边作等边（点C、D在直线的同侧），分别延长、至点P、点Q，使得，连接、，延长交于点K． (1)请你依据题意，补全图形； (2)求的大小； (3)连接，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 8．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为，请画出平移后的，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是________； (3)点P在y轴的正半轴上，的面积为12，直接写出点P的坐标是________． 9．（25-26八年级下·山东·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为___________； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出，并写出坐标； (3)在轴上求作一点，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 10．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $